Лапласова трансформација

Лапласова трансформација (названа по Пјер-Симон Лапласу) је интегрална трансформација, која дату каузалну функцију f(t) (оригинал) пресликава из временског домена (t = време) у функцију F(s) у комплексном спектралном домену. Лапласова трансформација, иако је добила име у његову част, јер је ову трансформацију користио у свом раду о теорији вероватноће, трансформацију је заправо открио Леонард Ојлер, швајцарски математичар из осамнаестог века.

Појам оригинала

Функција t->f(t) назива се оригиналом ако испуњава следеће услове:

1. f је интеграбилна на сваком коначном интервалу t осе

2. за свако t<0, f(t)=0

3. постоје M и s₀, тако да је $|f(t)|\le M{e}^{s_{0}t}$

Дефиниција Лапласове трансформације

$F(s)=ℒ\{f(t)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-st}f(t)dt.(s=\sigma +\mathrm{i}\omega ;\sigma >0;t\ge 0)$

Функција F(s) је »слика« или Лапласова трансформација »оригинала« f(t).

За случај да је $s=i\omega$ добија се једнострана Фуријеова трансформација:

$F(\omega )=ℱ\{f(t)\}$

$=ℒ\{f(t)\}{|}_{s=i\omega }=F(s){|}_{s=i\omega }$

$={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-ı\omega t}f(t)\mathrm{d}t.$

Особине

Линеарност

$ℒ\{\sum _{k=1}^n{\alpha }_k{f}_k(t)\}=\sum _{k=1}^n{\alpha }_k{F}_k(s)$

Теорема сличности

Ако је $a>0$, тада је $ℒ\{f(at)\}=\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$, при чему је $ℒ\{f(t)\}=F(s)$

Диференцирање оригинала

Ако је $a>0$ и $ℒ\{f(t)\}=F(s)$, тада је $ℒ\{f^{\prime }(t)\}=sF(s)-f(0)$

Диференцирање слике

Ако је $ℒ\{f(t)\}=F(s)$, тада је $ℒ\{tf(t)\}=-F^{\prime }(s)$, односно индукцијом се потврђује да важи $ℒ\{t^{n}f(t)\}=(-1{)}^n{F}^{(n)}(s)$

Интеграција оригинала

Ако је $a>0$ и $ℒ\{f(t)\}=F(s)$, тада је $ℒ\{{\int }_0^{t}t(\tau )d\tau \}=\frac{1}{s}F(s)$

Интеграција слике

Ако постоји интеграл ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}F(s)ds$, тада је $ℒ\{\frac{f(t)}{t}\}={\int }_s^{\mathrm{\infty }}F(\sigma )d\sigma$

Теорема померања

$ℒ\{e^{s_{0}t}f(t)\}=F(s-s_0)$

Теорема кашњења

$ℒ\{f(t-\tau )\}=e^{-s\tau }F(s),\tau \ge 0$

Лапласова трансформација конволуције функција

$ℒ\{f\ast g\}=ℒ\{f\}ℒ\{g\}$

Ова особина је позната као Борелова теорема. Напомена: дефиниција конволуције је: $(f\ast g)(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x-t)\cdot g(t)\cdot dt={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t)\cdot g(x-t)\cdot dt$

Лапласова трансформација периодичних функција

Ако $f(t)$ има особину $f(t+T)=f(t)$, тада важи $ℒ\{f(t)\}={\int }_0^T\frac{e^{-su}}{1-e^{-sT}}f(u)du$

Доказ

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-st}f(t)dt={\int }_0^T{e}^{-st}f(t)dt{\mid }_{t=u}+{\int }_T^{2T}{e}^{-st}f(t)dt{\mid }_{t=u+T}{\int }_{2T}^{3T}{e}^{-st}f(t)dt{\mid }_{t=u+2T}+\mathrm{...}$

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-st}f(t)dt={\int }_0^T{e}^{-st}f(u)du+{\int }_T^{2T}{e}^{-s(u+T)}f(u+T)du+{\int }_{2T}^{3T}{e}^{-s(u+2T)}f(u+2T)du+\mathrm{...}$

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-st}f(t)dt={\int }_0^T{e}^{-su}f(u)du+e^{-sT}{\int }_0^T{e}^{-su}f(u)du+e^{-2sT}{\int }_0^T{e}^{-su}f(u)dT+\mathrm{...}$

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-st}f(t)dt=(1+e^{-sT}+e^{-2sT}+\mathrm{...}){\int }_0^T{e}^{-sT}f(T)du{\mid }_{u=t}$

Одакле следи: $ℒ\{f\}=\frac{1}{1-e^{-Ts}}{\int }_0^T{e}^{-st}f(t)dt$

Табела најчешће коришћених Лапласових трансформација

Једнострана Лапласова трансформација има смисла само за не-негативне вредности -{t}-, стога су све временске функције у табели помножене са Хевисајдовом функцијом.

ID	Функција	Временски домен $x(t)={ℒ}^{-1}\{X(s)\}$	Лапласов -{s}--домен (фреквентни домен) $X(s)=ℒ\{x(t)\}$	Област конвергенције за каузалне системе
1	идеално кашњење	$\delta (t-\tau )$	$e^{-\tau s}$
1a	јединични импулс	$\delta (t)$	$1$	$s$
2	закашњени -{n}--ти степен са фреквенцијским померањем	$\frac{(t-\tau {)}^n}{n!}{e}^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	$\frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha {)}^{n+1}}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2a	-{n}--ти степен (за цео број -{n}-)	$\frac{t^n}{n!}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^{n+1}}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2a.1	-{q}--ти степен (за реално -{q}-)	$\frac{t^q}{\mathrm{\Gamma }(q+1)}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^{q+1}}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2a.2	Хевисајдова функција	$u(t)$	$\frac{1}{s}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2b	закашњена Хевисајдова функција	$u(t-\tau )$	$\frac{e^{-\tau s}}{s}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2c	рампа функција	$t\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^2}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2d	фреквенцијско померање -{n}--тог реда	$\frac{t^n}{n!}{e}^{-\alpha t}\cdot u(t)$	$\frac{1}{(s+\alpha {)}^{n+1}}$	$\text{Re}\{s\}>-\alpha$
2d.1	експоненцијално опадање	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s+\alpha }$	$\text{Re}\{s\}>-\alpha$
3	експоненцијално приближавање	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)$	$\frac{\alpha }{s(s+\alpha )}$	$\text{Re}\{s\}>0$
4	синус	$\sin (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$	$\text{Re}\{s\}>0$
5	косинус	$\cos (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$	$\text{Re}\{s\}>0$
6	синус хиперболикус	$\sinh (\alpha t)\cdot u(t)$	$\frac{\alpha }{s^2-{\alpha }^2}$	$\text{Re}\{s\}>|\alpha |$
7	косинус хиперболикус	$\cosh (\alpha t)\cdot u(t)$	$\frac{s}{s^2-{\alpha }^2}$	$\text{Re}\{s\}>|\alpha |$
8	експоненцијално опадајући синус	$e^{\alpha t}\sin (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{\omega }{(s-\alpha {)}^2+{\omega }^2}$	$\text{Re}\{s\}>\alpha$
9	експоненцијално опадајући косинус	$e^{\alpha t}\cos (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{s-\alpha }{(s-\alpha {)}^2+{\omega }^2}$	$\text{Re}\{s\}>\alpha$
10	-{n}--ти корен	$\sqrt[n]{t}\cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n}\cdot \mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{n})$	$\text{Re}\{s\}>0$
11	природни логаритам	$\ln (t)\cdot u(t)$	$-\frac{1}{s}[\ln (s)+\gamma ]$	$\text{Re}\{s\}>0$
12	Беселова функција прве врсте, реда -{n}-	$J_n(\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{{\omega }^n{(s+\sqrt{s^2+{\omega }^2})}^{-n}}{\sqrt{s^2+{\omega }^2}}$	$\text{Re}\{s\}>0$ $(n>-1)$
13	модификована Беселова функција прве врсте, реда -{n}-	$I_n(\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{{\omega }^n{(s+\sqrt{s^2-{\omega }^2})}^{-n}}{\sqrt{s^2-{\omega }^2}}$	$\text{Re}\{s\}>|\omega |$
14	Беселова функција друге врсте, нултог реда	$Y_0(\alpha t)\cdot u(t)$	$-\frac{2{\sinh }^{-1}(s/\alpha )}{\pi \sqrt{s^2+{\alpha }^2}}$	$\text{Re}\{s\}>0$
15	модификована Беселова функција друге врсте, нултог реда	$K_0(\alpha t)\cdot u(t)$
16	функција грешке	$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(t)\cdot u(t)$	$\frac{e^{s^2/4}(1-\mathrm{erf}(s/2))}{s}$	$\text{Re}\{s\}>0$
Објашњења: $u(t)$ представља Хевисајдову функцију. $\delta (t)$ представља Диракову делта функцију. $\mathrm{\Gamma }(z)$ представља Гама функцију. $\gamma$ је Ојлер-Маскеронијева константа. $t$, је реалан број који обично представља време, иако може да се односи на било коју димензију. $s$ је комплексна угаона фреквенција, а $\text{Re}\{s\}$ је њен реални део. $\alpha$, $\beta$, $\tau$, and $\omega$ су реални бројеви. $n$, је цео број. Каузални систем је систем у коме је импулсни одзив -{h(t)}- нула за свако време -{t<0}-. Види још: каузалност.

Инверзна Лапласова трансформација

У општем случају, оригинал f(t) дате слике F(s) добија се решавањем Бромвичовог интеграла:

${ℒ}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi ı}{\int }_{\gamma -ı\mathrm{\infty }}^{\gamma +ı\mathrm{\infty }}{e}^{st}F(s)ds\gamma >s_0,$

где је $s_0$ реални део било ког сингуларитета функције $F(s)$.

С обзиром да се овде интеграли комплексна променљива, потребно је користити методе комплексне математичке анализе. Многи примери инверзне Лапласове трансформације наведени су у табели изнад. У пракси, функције се трансформишу у примере из таблице, на пример разлагањем на просте факторе.

Дискретна Лапласова трансформација

За функцију целобројне променљиве $f(n)$ њена дискретна Лапласова трансформација се дефинише као:

$F^{\ast }(s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-sn}f(n)$

Конвергенција овог реда зависи од $s$.

Све особине и теореме регуларне Лапласове трансформације имају своје еквиваленте у дискретној Лапласовој трансформацији.

Примена

У математици Лапласова трансформација се користи за анализирање линеарних, временски непроменљивих система, као: електричних кола, хармонијских осцилатора, оптичких уређаја и механичких система. Има примене у решавању диференцијалних једначина и теорији вероватноће.

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal, Chapters 3–5
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book. A. Benjamin.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book - See Chapter VI. The Laplace transform.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation

Спољашње везе

• Шаблон:Springer
• -{Wolfram, Laplace Transform}-
• Шаблон:Cite web
• -{Laplace-Transformation}-
• -{Шаблон:Cite web Шаблон:Wayback}-
• -{Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (AMS55)}-
• -{Online Computation of the transform or inverse transform, wims.unice.fr}-
• -{Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.}-
• Шаблон:MathWorld
• -{Шаблон:Cite web Шаблон:Wayback}-
• -{Laplace Transforms at MathPages}-
• -{Шаблон:Cite web allows to easily calculate Laplace Transforms and its inverse Transform.}-
• -{Шаблон:Cite web Шаблон:Wayback to calculate Laplace Transforms online easily.}-