Хамилтонова механика

Сер Вилијам Роуан Хамилтон

Шаблон:Sidebar with collapsible lists У физици, Хамилтонова механика је реформулација Лагранжеве механике која се појавила 1833. године. Увео ју је сер Вилијам Роуан Хамилтон, и Хамилтонова механика замењује (уопштене) брзине ${\dot{q}}^i$ коришћене у Лагранжевој механици са (уопштеним) импулсима. Обе теорије пружају интерпретације класичне механике и описују исте физичке појаве.

Хамилтонова механика има блиску везу са геометријом (посебно са симплектичком геометријом и Поасоновим структурама) и служи као веза између класичне и квантне механике.

Преглед

Координате фазног простора (p, q) и Хамилтонијан H

Нека је $(M,ℒ)$ механички систем са конфигурационим простором $M$ и глатким Лагранжијаном $ℒ.$ Изаберимо стандардни координатни систем $(𝒒,\dot{𝒒})$ на тангентном свежњу $TM.$ Величине $p_i(𝒒,\dot{𝒒},t)\stackrel{\text{def}}{=}\partial ℒ/\partial {\dot{q}}^i$ се називају импулсима. (Такође уопштени импулси, коњуговани импулси и канонски импулси). За тренутак времена $t,$ Лежандрова трансформација функције $ℒ$ се дефинише као пресликавање $(𝒒,\dot{𝒒})\to (𝒑,𝒒)$ за које се претпоставља да има глатки инверз $(𝒑,𝒒)\to (𝒒,\dot{𝒒}).$ За систем са $n$ степени слободе, Лагранжева механика дефинише функцију енергије $$E_{ℒ}(𝒒,\dot{𝒒},t)\stackrel{\text{def}}{=}\sum _{i=1}^n{\dot{q}}^i\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}^i}-ℒ.$$

Лежандрова трансформација функције $ℒ$ претвара $E_{ℒ}$ у функцију $\mathscr{H}(𝒑,𝒒,t)$ познату као Шаблон:Vanchor. Хамилтонијан задовољава $$\mathscr{H}(\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{𝒒}},𝒒,t)=E_{ℒ}(𝒒,\dot{𝒒},t)$$ што имплицира да је $$\mathscr{H}(𝒑,𝒒,t)=\sum _{i=1}^n{p}_i{\dot{q}}^i-ℒ(𝒒,\dot{𝒒},t),$$ где се брзине $\dot{𝒒}=({\dot{q}}^1,\dots ,{\dot{q}}^n)$ налазе из ($n$-димензионалне) једначине $𝒑=\partial ℒ/\partial \dot{𝒒}$ која је, по претпоставци, јединствено решива за Шаблон:Tmath. Пар ($2n$-димензионални) $(𝒑,𝒒)$ назива се координатама фазног простора. (Такође и канонским координатама).

Од Ојлер-Лагранжове једначине до Хамилтонових једначина

У координатама фазног простора Шаблон:Tmath, ($n$-димензионална) Ојлер-Лагранжова једначина $$\frac{\partial ℒ}{\partial 𝒒}-\frac{d}{dt}\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{𝒒}}=0$$ постаје Хамилтонове једначине у $2n$ димензија

$\frac{\mathrm{d}𝒒}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial 𝒑},\frac{\mathrm{d}𝒑}{\mathrm{d}t}=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial 𝒒}.$

Од принципа стационарног дејства до Хамилтонових једначина

Нека је $𝒫(a,b,{𝒙}_a,{𝒙}_b)$ скуп глатких путања $𝒒:[a,b]\to M$ за које важи $𝒒(a)={𝒙}_a$ и $𝒒(b)={𝒙}_b.$ Функционал дејства $𝒮:𝒫(a,b,{𝒙}_a,{𝒙}_b)\to ℝ$ дефинисан је преко $$𝒮[𝒒]={\int }_a^bℒ(t,𝒒(t),\dot{𝒒}(t))dt={\int }_a^b(\sum _{i=1}^n{p}_i{\dot{q}}^i-\mathscr{H}(𝒑,𝒒,t))dt,$$ где је Шаблон:Tmath, и $𝒑=\partial ℒ/\partial \dot{𝒒}$ (погледати изнад). Путања $𝒒\in 𝒫(a,b,{𝒙}_a,{𝒙}_b)$ је стационарна тачка функционала $𝒮$ (и стога је једначина кретања) ако и само ако путања $(𝒑(t),𝒒(t))$ у координатама фазног простора задовољава Хамилтонове једначине.

Основна физичка интерпретација

Једноставна интерпретација Хамилтонове механике долази из њене примене на једнодимензионални систем који се састоји од једне нерелативистичке честице масе Шаблон:Mvar. Вредност $H(p,q)$ Хамилтонијана је укупна енергија система, у овом случају збир кинетичке и потенцијалне енергије, традиционално означених са Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar, респективно. Овде је Шаблон:Mvar импулс Шаблон:Mvar, а Шаблон:Mvar је просторна координата. Тада је $$\mathscr{H}=T+V,T=\frac{p^2}{2m},V=V(q)$$ Шаблон:Mvar је функција само Шаблон:Mvar, док је Шаблон:Mvar функција само Шаблон:Mvar (тј., Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar су склерономне).

У овом примеру, временски извод координате Шаблон:Mvar је брзина, па тако прва Хамилтонова једначина значи да је брзина честице једнака изводу њене кинетичке енергије по импулсу. Временски извод импулса Шаблон:Mvar једнак је Њутновој сили, па друга Хамилтонова једначина значи да је сила једнака негативном градијенту потенцијалне енергије.

Пример

Сферно клатно се састоји од масе m која се креће без трења по површини сфере. Једине силе које делују на масу су реакција подлоге (сфере) и гравитација. Сферне координате се користе за описивање положаја масе преко Шаблон:Math, где је Шаблон:Math фиксно, Шаблон:Math.

Сферно клатно: углови и брзине.

Лагранжијан за овај систем је $$L=\frac{1}{2}m{\ell }^2({\dot{\theta }}^2+{\sin }^2\theta {\dot{\phi }}^2)+mg\ell \cos \theta .$$

Тако је Хамилтонијан $$H=P_{\theta }\dot{\theta }+P_{\phi }\dot{\phi }-L$$ где је $$P_{\theta }=\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}=m{\ell }^2\dot{\theta }$$ и $$P_{\phi }=\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=m{\ell }^2{\sin }^2\theta \dot{\phi }.$$ Преко координата и импулса, Хамилтонијан гласи $$\begin{array}{cc}H& =\underset{T}{\underbrace{[\frac{1}{2}m{\ell }^2{\dot{\theta }}^2+\frac{1}{2}m{\ell }^2{\sin }^2\theta {\dot{\phi }}^2]}}+\underset{V}{\underbrace{[-mg\ell \cos \theta ]}}\\ & =\frac{P_{\theta }^2}{2m{\ell }^2}+\frac{P_{\phi }^2}{2m{\ell }^2{\sin }^2\theta }-mg\ell \cos \theta .\end{array}$$ Хамилтонове једначине дају временску еволуцију координата и коњугованих импулса кроз четири диференцијалне једначине првог реда, $$\begin{array}{cc}\dot{\theta }& =\frac{P_{\theta }}{m{\ell }^2}\\ \dot{\phi }& =\frac{P_{\phi }}{m{\ell }^2{\sin }^2\theta }\\ \dot{P_{\theta }}& =\frac{P_{\phi }^2}{m{\ell }^2{\sin }^3\theta }\cos \theta -mg\ell \sin \theta \\ \dot{P_{\phi }}& =0.\end{array}$$ Импулс Шаблон:Tmath, који одговара вертикалној компоненти угаоног момента Шаблон:Tmath, је константа кретања. То је последица ротационе симетрије система око вертикалне осе. Пошто није присутан у Хамилтонијану, азимут $\phi$ је циклична координата, што имплицира очување његовог коњугованог импулса.

Извођење Хамилтонових једначина

Хамилтонове једначине се могу извести рачуном који укључује Лагранжијан Шаблон:Tmath, уопштене координате Шаблон:Mvar и уопштене брзине Шаблон:Math, где је Шаблон:Tmath. Овде радимо ван љуске (енгл. off-shell), што значи да су Шаблон:Tmath, Шаблон:Tmath и Шаблон:Tmath независне координате у фазном простору, нису ограничене да следе било какве једначине кретања (посебно, ${\dot{q}}^i$ није извод од Шаблон:Tmath). Тотални диференцијал Лагранжијана је: $$\mathrm{d}ℒ=\sum _i(\frac{\partial ℒ}{\partial q^i}\mathrm{d}{q}^i+\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}^i}\mathrm{d}{\dot{q}}^i)+\frac{\partial ℒ}{\partial t}\mathrm{d}t.$$ Координате уопштеног импулса су дефинисане као Шаблон:Tmath, па можемо преписати једначину као: $$\begin{array}{cc}\mathrm{d}ℒ=& \sum _i(\frac{\partial ℒ}{\partial q^i}\mathrm{d}{q}^i+p_i\mathrm{d}{\dot{q}}^i)+\frac{\partial ℒ}{\partial t}\mathrm{d}t\\ =& \sum _i(\frac{\partial ℒ}{\partial q^i}\mathrm{d}{q}^i+\mathrm{d}(p_i{\dot{q}}^i)-{\dot{q}}^i\mathrm{d}{p}_i)+\frac{\partial ℒ}{\partial t}\mathrm{d}t.\end{array}$$

Након преуређивања, добија се: $$\mathrm{d}(\sum _i{p}_i{\dot{q}}^i-ℒ)=\sum _i(-\frac{\partial ℒ}{\partial q^i}\mathrm{d}{q}^i+{\dot{q}}^i\mathrm{d}{p}_i)-\frac{\partial ℒ}{\partial t}\mathrm{d}t.$$

Израз у загради на левој страни је управо Хамилтонијан $\mathscr{H}=\sum p_i{\dot{q}}^i-ℒ$ дефинисан раније, па следи: $$\mathrm{d}\mathscr{H}=\sum _i(-\frac{\partial ℒ}{\partial q^i}\mathrm{d}{q}^i+{\dot{q}}^i\mathrm{d}{p}_i)-\frac{\partial ℒ}{\partial t}\mathrm{d}t.$$

Такође се може израчунати тотални диференцијал Хамилтонијана $\mathscr{H}$ у односу на координате Шаблон:Tmath, Шаблон:Tmath и Шаблон:Tmath уместо Шаблон:Tmath, Шаблон:Tmath и Шаблон:Tmath, што даје: $$\mathrm{d}\mathscr{H}=\sum _i(\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial q^i}\mathrm{d}{q}^i+\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_i}\mathrm{d}{p}_i)+\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial t}\mathrm{d}t.$$

Сада можемо изједначити ова два израза за Шаблон:Tmath, један преко Шаблон:Tmath, а други преко Шаблон:Tmath: $$\sum _i(-\frac{\partial ℒ}{\partial q^i}\mathrm{d}{q}^i+{\dot{q}}^i\mathrm{d}{p}_i)-\frac{\partial ℒ}{\partial t}\mathrm{d}t=\sum _i(\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial q^i}\mathrm{d}{q}^i+\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_i}\mathrm{d}{p}_i)+\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial t}\mathrm{d}t.$$

Пошто су ови прорачуни ван љуске (off-shell), можемо изједначити одговарајуће коефицијенте уз Шаблон:Tmath, Шаблон:Tmath и Шаблон:Tmath са обе стране: $$\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial q^i}=-\frac{\partial ℒ}{\partial q^i},\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_i}={\dot{q}}^i,\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial t}=-\frac{\partial ℒ}{\partial t}.$$

На љуски (on-shell), замењујемо параметарске функције $q^i=q^i(t)$ које дефинишу путању у фазном простору са брзинама Шаблон:Tmath, поштујући Лагранжове једначине: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}^i}-\frac{\partial ℒ}{\partial q^i}=0.$$

Преуређивањем и писањем у смислу функција на љуски $p_i=p_i(t)$ добијамо: $$\frac{\partial ℒ}{\partial q^i}={\dot{p}}_i.$$

Тако су Лагранжове једначине еквивалентне Хамилтоновим једначинама: $$\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial q^i}=-{\dot{p}}_i,\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_i}={\dot{q}}^i,\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial t}=-\frac{\partial ℒ}{\partial t}.$$

У случају када $\mathscr{H}$ и Шаблон:Tmath не зависе од времена, тј. Шаблон:Tmath, Хамилтонове једначине се састоје од Шаблон:Math диференцијалних једначина првог реда, док се Лагранжове једначине састоје од Шаблон:Mvar једначина другог реда. Хамилтонове једначине обично не смањују тежину проналажења експлицитних решења, али из њих се могу извести важни теоријски резултати, јер су координате и импулси независне променљиве са готово симетричним улогама.

Хамилтонове једначине имају још једну предност у односу на Лагранжове једначине: ако систем поседује симетрију, тако да се нека координата $q_i$ не појављује у Хамилтонијану (тј. то је циклична координата), одговарајући импулс $p_i$ се очувава дуж сваке путање, и та координата се може свести на константу у осталим једначинама система. Ово ефективно редукује проблем са Шаблон:Mvar координата на Шаблон:Math координата: ово је основа симплектичке редукције у геометрији. У Лагранжевом оквиру, очување импулса такође следи одмах, међутим све уопштене брзине ${\dot{q}}_i$ се и даље појављују у Лагранжијану, те се систем једначина у Шаблон:Mvar координата и даље мора решавати.

Лагранжев и Хамилтонов приступ пружају основу за дубље резултате у класичној механици, и сугеришу аналогне формулације у квантној механици: формулацију интеграла путање и Шредингерову једначину.

Својства Хамилтонијана

• Вредност Хамилтонијана $\mathscr{H}$ је укупна енергија система ако и само ако функција енергије $E_{ℒ}$ има исто својство. (Видети дефиницију Шаблон:Tmath).Шаблон:Clarify
• $\frac{d\mathscr{H}}{dt}=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial t}$ када Шаблон:Tmath, Шаблон:Tmath чине решење Хамилтонових једначина.Шаблон:Pb Заиста, $\frac{d\mathscr{H}}{dt}=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial 𝒑}\cdot \dot{𝒑}+\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial 𝒒}\cdot \dot{𝒒}+\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial t},$ и све осим последњег члана се поништава.
• $\mathscr{H}$ се не мења при тачкастим трансформацијама, тј. глатким променама $𝒒\leftrightarrow {𝒒}^{\prime }$ просторних координата. (Следи из инваријантности функције енергије $E_{ℒ}$ при тачкастим трансформацијама. Инваријантност $E_{ℒ}$ се може утврдити директно).
• $\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial t}=-\frac{\partial ℒ}{\partial t}.$ (Видети Шаблон:Slink).
• Шаблон:Tmath. (Упоредите Хамилтонове и Ојлер-Лагранжове једначине или погледајте Шаблон:Slink).
• $\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial q^i}=0$ ако и само ако је Шаблон:Tmath.Шаблон:PbКоордината за коју важи последња једначина назива се циклична (или игнорисана). Свака циклична координата $q^i$ смањује број степени слободе за Шаблон:Tmath, узрокује да се одговарајући импулс $p_i$ очува, и чини Хамилтонове једначине лакшим за решавање.

Хамилтонијан као укупна енергија система

У примени на дати систем, Хамилтонијан се често узима као $$\mathscr{H}=T+V$$

где је $T$ кинетичка енергија, а $V$ потенцијална енергија. Коришћење ове релације може бити једноставније него прво израчунати Лагранжијан, а затим извести Хамилтонијан из Лагранжијана. Међутим, ова релација није тачна за све системе.

Релација важи за нерелативистичке системе када су испуњени сви следећи услови $$\frac{\partial V(𝒒,\dot{𝒒},t)}{\partial {\dot{q}}_i}=0,\mathrm{\forall }i$$ $$\frac{\partial T(𝒒,\dot{𝒒},t)}{\partial t}=0$$ $$T(𝒒,\dot{𝒒})=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(c_{ij}(𝒒){\dot{q}}_i{\dot{q}}_j)$$

где је $t$ време, $n$ је број степени слободе система, а свако $c_{ij}(𝒒)$ је произвољна скаларна функција од $𝒒$.

Речима, ово значи да релација $\mathscr{H}=T+V$ важи ако $T$ не садржи време као експлицитну променљиву (он је склерономан), $V$ не садржи уопштену брзину као експлицитну променљиву, а сваки члан функције $T$ је квадратан по уопштеној брзини.

Доказ

Пре самог доказа, важно је осврнути се на двосмисленост у повезаној математичкој нотацији. Иако се смена променљивих може користити да би се изједначило $ℒ(𝒑,𝒒,t)=ℒ(𝒒,\dot{𝒒},t)$, важно је приметити да је $\frac{\partial ℒ(𝒒,\dot{𝒒},t)}{\partial {\dot{q}}_i}\ne \frac{\partial ℒ(𝒑,𝒒,t)}{\partial {\dot{q}}_i}$. У овом случају, десна страна се увек евалуира као 0. Да би се извршила промена променљивих унутар парцијалног извода, требало би користити правило ланца за више променљивих. Стога, да би се избегла двосмисленост, треба навести аргументе функције сваког члана унутар парцијалног извода.

Додатно, овај доказ користи нотацију $f(a,b,c)=f(a,b)$ да би имплицирао да је $\frac{\partial f(a,b,c)}{\partial c}=0$.

Примена на системе тачкастих маса

За систем тачкастих маса, услов да је $T$ квадратна функција у односу на уопштену брзину је увек испуњен за случај када је $T(𝒒,\dot{𝒒},t)=T(𝒒,\dot{𝒒})$, што је свакако захтев да би важило $\mathscr{H}=T+V$.

Очување енергије

Ако су услови за $\mathscr{H}=T+V$ задовољени, онда очување Хамилтонијана имплицира очување енергије. Ово захтева додатни услов да $V$ не садржи време као експлицитну променљиву.

$$\frac{\partial V(𝒒,\dot{𝒒},t)}{\partial t}=0$$

Укратко, услови који морају бити испуњени да би важило $\mathscr{H}=T+V=\text{константа у времену}$ за нерелативистички систем су

1. $V=V(𝒒)$
2. $T=T(𝒒,\dot{𝒒})$
3. $T$ је хомогена квадратна функција по $\dot{𝒒}$

Што се тиче проширења Ојлер-Лагранжове формулације која користе функције дисипације (погледати Шаблон:Slink), нпр. Рејлијева функција дисипације, енергија није очувана када функција дисипације има ефекат. Могуће је објаснити везу између овога и претходних захтева повезујући проширене и конвенционалне Ојлер-Лагранжове једначине: груписање проширених чланова у потенцијалну функцију производи потенцијал који зависи од брзине. Због тога захтеви нису испуњени када функција дисипације делује.

Хамилтонијан наелектрисане честице у електромагнетном пољу

Довољно добра илустрација Хамилтонове механике дата је преко Хамилтонијана наелектрисане честице у електромагнетном пољу. У Декартовим координатама Лагранжијан нерелативистичке класичне честице у електромагнетном пољу је (у СИ јединицама): $$ℒ=\sum _i\frac{1}{2}m{\dot{x}}_i^2+\sum _{i}q{\dot{x}}_i{A}_i-q\phi ,$$ где је Шаблон:Mvar наелектрисање честице, Шаблон:Mvar је електрични скаларни потенцијал, а Шаблон:Mvar су компоненте магнетног векторског потенцијала које све могу експлицитно зависити од $x_i$ и Шаблон:Tmath.

Овај Лагранжијан, у комбинацији са Ојлер-Лагранжовим једначинама, даје закон за Лоренцову силу $$m\ddot{𝐱}=q𝐄+q\dot{𝐱}\times 𝐁,$$ и назива се минимално купловање.

Канонски импулси су дати са: $$p_i=\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{x}}_i}=m{\dot{x}}_i+q{A}_i.$$

Хамилтонијан, као Лежандрова трансформација Лагранжијана, стога је: $$\mathscr{H}=\sum _i{\dot{x}}_i{p}_i-ℒ=\sum _i\frac{{(p_i-q{A}_i)}^2}{2m}+q\phi .$$

Ова једначина се често користи у квантној механици.

При баждарној трансформацији: $$𝐀\to 𝐀+\mathrm{\nabla }f,\phi \to \phi -\dot{f},$$ где је Шаблон:Math било која скаларна функција простора и времена. Поменути Лагранжијан, канонски импулси и Хамилтонијан трансформишу се као: $$L\to L^{\prime }=L+q\frac{df}{dt},𝐩\to {𝐩}^{\prime }=𝐩+q\mathrm{\nabla }f,H\to H^{\prime }=H-q\frac{\partial f}{\partial t},$$ што и даље производи исту Хамилтонову једначину: $$\begin{array}{cc}{\frac{\partial H^{\prime }}{\partial x_i}|}_{p{\text{'}}_i}& ={\frac{\partial }{\partial x_i}|}_{p{\text{'}}_i}({\dot{x}}_{i}p{\text{'}}_i-L^{\prime })=-{\frac{\partial L^{\prime }}{\partial x_i}|}_{p{\text{'}}_i}\\ & =-{\frac{\partial L}{\partial x_i}|}_{p{\text{'}}_i}-q{\frac{\partial }{\partial x_i}|}_{p{\text{'}}_i}\frac{df}{dt}\\ & =-\frac{d}{dt}({\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_i}|}_{p{\text{'}}_i}+q{\frac{\partial f}{\partial x_i}|}_{p{\text{'}}_i})\\ & =-\dot{p}{\text{'}}_i\end{array}$$

У квантној механици, таласна функција ће такође проћи кроз локалну U(1) групну трансформацију током баждарне трансформације, што имплицира да сви физички резултати морају бити инваријантни на локалне U(1) трансформације.

Од симплектичке геометрије до Хамилтонових једначина

Геометрија Хамилтонових система

Хамилтонијан може индуковати симплектичку структуру на глаткој многострукости парне димензије Шаблон:Math на неколико еквивалентних начина, од којих је најпознатији следећи:Шаблон:Sfn

Као затворена недегенерисана симплектичка форма 2-форма ω. Према Дарбуовој теореми, у малој околини око било које тачке на Шаблон:Mvar постоје одговарајуће локалне координате $p_1,\cdots ,p_n,q_1,\cdots ,q_n$ (канонске координате или симплектичке координате) у којима симплектичка форма постаје: $$\omega =\sum _{i=1}^{n}d{p}_i\wedge d{q}_i.$$ Форма $\omega$ индукује природни изоморфизам тангентног простора са котангентним простором: Шаблон:Tmath. То се ради пресликавањем вектора $\xi \in T_{x}M$ у 1-форму Шаблон:Tmath, где је ${\omega }_{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi )$ за све Шаблон:Tmath. Због билинеарности и недегенерисаности форме Шаблон:Tmath, и чињенице да је Шаблон:Tmath, пресликавање $\xi \to {\omega }_{\xi }$ је заиста линеарни изоморфизам. Овај изоморфизам је природан у смислу да се не мења приликом промене координата на $M.$ Понављањем преко свих Шаблон:Tmath, добија се изоморфизам $J^{-1}:\text{Vect}(M)\to {\mathrm{\Omega }}^1(M)$ између бесконачно-димензионалног простора глатких векторских поља и простора глатких 1-форми. За свако $f,g\in C^{\mathrm{\infty }}(M,ℝ)$ и Шаблон:Tmath, $$J^{-1}(f\xi +g\eta )=f{J}^{-1}(\xi )+g{J}^{-1}(\eta ).$$

Ако је Шаблон:Tmath, тада, за свако фиксирано Шаблон:Tmath, Шаблон:Tmath, и Шаблон:Tmath. $J(dH)$ је познато као Хамилтоново векторско поље. Одговарајућа диференцијална једначина на $M$ $$\dot{x}=J(dH)(x)$$ назива се Шаблон:Em. Овде је $x=x(t)$ а $J(dH)(x)\in T_{x}M$ је (временски зависна) вредност векторског поља $J(dH)$ у Шаблон:Tmath.

Хамилтонов систем може се разумети као свежањ Шаблон:Mvar над временом Шаблон:Mvar, са влакном Шаблон:Mvar које представља простор положаја у тренутку Шаблон:Math. Лагранжијан је тако функција на џет свежњу Шаблон:Mvar над Шаблон:Mvar; узимање Лежандрове трансформације дуж влакна Лагранжијана производи функцију на дуалном свежњу над временом чије је влакно у Шаблон:Mvar котангентни простор Шаблон:Math, који долази опремљен природном симплектичком формом, а ова последња функција је Хамилтонијан.

Свака глатка реална функција Шаблон:Mathcal на симплектичкој многострукости може се користити за дефинисање Хамилтоновог система. Функција Шаблон:Mathcal је позната као „Хамилтонијан” или „функција енергије”. Симплектичка многострукост се тада назива фазни простор. Хамилтонијан индукује специјално векторско поље на симплектичкој многострукости, познато као Хамилтоново векторско поље.

Симплектичка структура индукује Поасонову заграду. Поасонова заграда даје простору функција на многострукости структуру Лијеве алгебре.

Ако су Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar глатке функције на Шаблон:Mvar, тада је глатка функција Шаблон:Math правилно дефинисана; назива се Поасонова заграда функција Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar и означава се са Шаблон:Math. Поасонова заграда има следећа својства:

1. билинеарност
2. антисиметричност
3. Лајбницово правило: $\{F_1\cdot F_2,G\}=F_1\{F_2,G\}+F_2\{F_1,G\}$
4. Јакобијев идентитет: $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$
5. недегенерисаност: ако тачка Шаблон:Mvar на Шаблон:Mvar није критична за Шаблон:Mvar, тада постоји глатка функција Шаблон:Mvar таква да Шаблон:Tmath.

За дату функцију Шаблон:Mvar $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f=\frac{\partial }{\partial t}f+\{f,\mathscr{H}\},$$ ако постоји расподела вероватноће Шаблон:Mvar, онда се може показати да је конвективни извод нула па стога $$\frac{\partial }{\partial t}\rho =-\{\rho ,\mathscr{H}\}$$

Ово се назива Лиувилова теорема.

Хамилтонијан може имати више очуваних величина Шаблон:Math. Ако симплектичка многострукост има димензију Шаблон:Math и постоји Шаблон:Mvar функционално независних очуваних величина Шаблон:Mvar које су у инволуцији (тј., Шаблон:Math), тада је Хамилтонијан Лиувил интеграбилан. Трансформисани Хамилтонијан зависи само од Шаблон:Math, те стога једначине кретања имају једноставан облик $${\dot{G}}_i=0,{\dot{\phi }}_i=F_i(G)$$ за неку функцију Шаблон:Mvar.

Интеграбилност Хамилтонових векторских поља је отворено питање. У општем случају, Хамилтонови системи су хаотични.

Риманове многострукости

Важан специјалан случај чине они Хамилтонијани који су квадратне форме, односно Хамилтонијани који се могу записати као $$\mathscr{H}(q,p)=\frac{1}{2}⟨p,p{⟩}_q$$ где је Шаблон:Math глатко променљив скаларни производ на влакнима котангентног простора.

Ако се разматра Риманова многострукост или псеудо-Риманова многострукост, Риманова метрика индукује линеарни изоморфизам између тангентних и котангентних свежњева. Решења Хамилтон-Јакобијевих једначина за овај Хамилтонијан тада су иста као геодезијске линије на многострукости. У овом случају, Хамилтонов ток је иста ствар као и геодезијски ток.

Подриманове многострукости

Када је кометрика дегенерисана, онда није инвертибилна. У овом случају немамо Риманову многострукост. Међутим, Хамилтонијан и даље постоји. У случају где је кометрика дегенерисана у свакој тачки Шаблон:Mvar конфигурационог простора Шаблон:Mvar, ради се о подримановој многострукости.

Хамилтонијан у овом случају је познат као подриманов Хамилтонијан.

Континуирана Хајзенбергова група реалних вредности пружа једноставан пример подриманове многострукости. За Хајзенбергову групу, Хамилтонијан је дат са $$\mathscr{H}(x,y,z,p_x,p_y,p_z)=\frac{1}{2}(p_x^2+p_y^2).$$ Шаблон:Mvar није укључено у Хамилтонијан.

Поасонове алгебре

Хамилтонови системи могу бити генерализовани на више начина. Уместо гледања алгебре глатких функција преко симплектичке многострукости, Хамилтонова механика се може формулисати на општим комутативним Поасоновим алгебрама.

Даља генерализација дата је кроз Намбу динамику.

Уопштење на квантну механику кроз Поасонову заграду

Хамилтонове једначине добро функционишу за класичну механику, али не и за квантну механику, пошто диференцијалне једначине претпостављају да се може одредити тачна позиција и импулс честице симултано у било ком тренутку времена. Међутим, једначине се могу даље уопштити како би се примениле и на квантну механику, кроз деформацију Поасонове алгебре преко Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar на алгебру Мојалових заграда.

Специфично, општији облик Хамилтонове једначине гласи $$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\{f,\mathscr{H}\}+\frac{\partial f}{\partial t},$$ где је Шаблон:Mvar нека функција од Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar, а Шаблон:Mathcal је Хамилтонијан.

Види још

• Канонска трансформација
• Класична теорија поља
• Хамилтонова теорија поља
• Хамилтонова оптичко-механичка аналогија
• Коваријантна Хамилтонова теорија поља
• Класична механика
• Теорија динамичких система
• Хамилтонов систем
• Хамилтон-Јакобијева једначина
• Хамилтон-Јакоби-Ајнштајнова једначина
• Лагранжева механика
• Максвелове једначине
• Хамилтонијан (квантна механика)
• Квантне Хамилтонове једначине
• Квантна теорија поља
• Хамилтонова оптика
• Геометријска механика
• Раутијанска механика
• Намбу механика
• Хамилтонова механика флуида
• Хамилтоново векторско поље

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Citation

Спољашње везе

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation