База (линеарна алгебра)

Исти вектор може бити представљен у две различите базе (љубичасте и црвене стрелице).

База неког векторског простора -{V}- над пољем -{K}- је уређени скуп међусобно линеарно независних и не-нула вектора -{e = {e₁, e₂, ..., e_n}}-, којима се, уз множење скаларима, једнозначно може представити сваки други вектор -{a}- из -{V}-:

$a={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\cdots +{\alpha }_n{e}_n,{\alpha }_i\in K$

Одавде следи да је овакав скуп такође и минималан, јер ако би се, на пример -{e_i}- могло изразити као α-{e_ј}- + β-{e_k}-, то би значило да се вектор -{e_i}- може изразити на још један начин, што више није једнозначно.

Како се у векторском простору димензије -{n}- може представити -{n}- линеарно независних вектора, његову базу мора чинити најмање -{n}- вектора, што заједно са закључком горе даје да база -{n}--димензионог векторског простора -{V}- има тачно -{n}- вектора.

Канонска база

Једна од база -{n}--димензионог векторског простора -{V}- се може дефинисати на следећи начин:

$e:\{e_i=(\underset{i-1}{\underbrace{0,\dots ,0}},1,\underset{n-i}{\underbrace{0,\dots ,0}}),i=1,\dots ,n\}$

Ова база се назива канонском базом тог простора, а по дефиницији је и ортонормирана.

Види још

• Ортонормирана база