Непрекидна Фуријеова трансформација

Непрекидна фуријеова трансформација је линеарна математичка операција пресликавања функције у функцију, која нам омогућава да разделимо непрекидне, непериодичне функције (на пример сигнале) у непрекидан спектар. Ова трансформација се често назива скраћено Фуријеова трансформација.

Дефинисана је за неку функцију f(t) на следећи начин:

$ℱ\{f(t)\}=F(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-\mathrm{i}\omega t}dt,$

а трансформација у обрнутом смеру је инверзна Фуријеова трансформација (Фуријеова синтеза) и гласи

${ℱ}^{-1}\{F(\omega )\}=f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\omega )e^{\mathrm{i}\omega t}d\omega .$

Примена ове трансформације је кључна у многим областима технике где се проучава простирање осцилација или зрачења које су функција промене амплитуде неке величине (веома често електричног сигнала) у зависности од времена. Тада Фуријеова трансформација представља амплитуде које су функција фреквенција, значи, свакој фреквенцији ($\omega =2\pi \cdot \nu$) додељује се амплитуда из реалног домена.

Фуријеова трансформација и диференцијалне једначине

Путем Фуријеове трансформације ми прво претварамо линеарне диференцијалне једначине у „обичне“ линеарне једначине, у том простору их решавамо и на крају решења трансформишемо назад у простор одакле смо и кренули.

Посматрамо периодичне функције. Оне су у ствари елементи једног векторског простора. Унутрашњи производ две функције је тада овако дефинисан: $f(t)\cdot g(t)=\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(t)\overline{g(t)}dt$

Као што су то у уобичајеном тродимензионалном простору ${ℝ}^3$ $[1,0,0],[0,1,0]$ и $[0,0,1]$, и у овом простору са функцијама имамо неке базе. Док у ${ℝ}^3$ имамо само три димензије и три базна вектора који у потпуности дефинишу простор, у простору са функцијама је то бесконачан број, тј. број димензија (и тиме базних вектора) је бесконачан.

Назовимо тај простор $B$, а његове базе $b_i$. Онда сваку функцију можемо да раставимо:

$f(t)=\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_i{b}_i$

${\lambda }_i$ су коефицијенти који дефинишу дату функцију, што значи да трансформацију можемо да обрнемо и вратимо је у првобитни простор (илити облик). Цео процес, трансформацију, треба замислити као капију два паралелна простора. Када прођемо кроз капију, налазимо се у простору где ствари из првобитног простора изгледају другачије (а некад имају и другачије особине), али ипак представљају једне те исте ствари. То управо овде радимо. Нашу функцију шаљемо кроз капију, у другом простору је обрађујемо јер нам је тако згодније, а онда је тако обрађену шаљемо кроз неку другу капију да нам се врати у облику у којем можемо даље да је користимо у „свакодневном животу“.

Вратимо се Фуријеовој трансформацији. Претходно смо је означили као $ℱ\{f(t)\}=F(\omega )$ што ће у поласку бити наша прва капија.

Погледајмо шта се дешава са изводом:

${ℱ}^{-1}\{F(\omega )\}=f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\omega )e^{\mathrm{i}\omega t}d\omega$

$f^{\prime }(t)=\frac{\partial f(t)}{\partial t}=\frac{\partial f(t)\cdot (\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\omega )e^{\mathrm{i}\omega t}d\omega )}{\partial t}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\partial (F(\omega )e^{\mathrm{i}\omega t})}{\partial t}d\omega$

$=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\omega )\frac{\partial (e^{\mathrm{i}\omega t})}{\partial t}d\omega =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\omega )\mathrm{i}\omega e^{\mathrm{i}\omega t}d\omega$

Станимо на овом колосеку и кренимо из једног другог смера:

$ℱ\{f(t)\}=F(\omega ),F_1(\omega )=F(\omega )\mathrm{i}\omega$

Онда је инверзна функција:

${ℱ}^{-1}\{F_1(\omega )\}={ℱ}^{-1}\{F(\omega )\mathrm{i}\omega \}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\omega )\mathrm{i}\omega e^{\mathrm{i}\omega t}d\omega =f^{\prime }(t)$

На крају закључимо:

$ℱ\{{ℱ}^{-1}\{F(\omega )\mathrm{i}\omega \}\}=F(\omega )\mathrm{i}\omega$

$ℱ\{f^{\prime }(t)\}=\mathrm{i}\omega ℱ\{f(t)\}$

Хајде да погледамо како још Фуријеова трансформација реагује на збир две функције:

$ℱ\{f(t)+g(t)\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(f(t)+g(t))e^{-\mathrm{i}\omega t}dt$

$=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-\mathrm{i}\omega t}+g(t)e^{-\mathrm{i}\omega t}dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-\mathrm{i}\omega t}dt+\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(t)e^{-\mathrm{i}\omega t}dt)$

$=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-\mathrm{i}\omega t}dt+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(t)e^{-\mathrm{i}\omega t}dt=ℱ\{f(t)\}+ℱ\{g(t)\}$

У рукама нам је сав алат неопходан да се посветимо диференцијалним једначинама.

Фуријеова трансформација као алат за решавање једначине топлотног провода

Узмимо да имамо неки прстен обима L и да нас интересује распоред температуре током времена. Добијамо проблем:

$\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x,t),-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty },t\ge 0$

$u(x,0)=f(x),-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$

$u(x,t)$ је распоред температуре у том прстену, $\alpha$ је нека позитивна константа, а $f(x)$ је функција која дефинише распоред температуре на самом почетку ($t=0$).

$u(x,t)$ трансформишемо помоћу Фуријеове трансформације:

$u(x,t)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{u}(k,t)e^{\mathrm{i}kx}dk,\hat{u}(k,t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}u(x,t)e^{-\mathrm{i}kx}dx$

Правимо парцијални извод функције $u(x,t)$ мењајући места и изводећи унутар интеграла:

$\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=\frac{\partial u}{\partial t}(\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{u}(k,t)e^{\mathrm{i}kx}dk)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\partial u}{\partial t}(\hat{u}(k,t))e^{\mathrm{i}kx}dk$

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x,t)=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{u}(k,t)e^{\mathrm{i}kx}dk)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(\hat{u}(k,t))e^{\mathrm{i}kx}dk=$

$=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\mathrm{i}k{)}^2\hat{u}(k,t)e^{\mathrm{i}kx}dk=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\mathrm{i}k{)}^2\hat{u}(k,t)e^{\mathrm{i}kx}dk=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}-k^2\hat{u}(k,t)e^{\mathrm{i}kx}dk$

Трансформишимо и другу једначину (наш полазни услов):

$ℱ\{u(x,0)\}=ℱ\{f(x)\}\Rightarrow \hat{u}(k,0)=\hat{f}(k)$

Сада наша диференцијална једначина постаје:

$\frac{\partial }{\partial t}\hat{u}(k,t)=-\alpha k^2\hat{u}(k,t)$

$\hat{u}(k,0)=\hat{f}(k)$

То је сада постала уобичајена диференцијална једначина, коју можемо да решимо на стандардан начин:

$\hat{u}(k,t)=\hat{f}(k)e^{-\alpha k^{2}t}$

Одатле можемо да дођемо до нашег решења за $u(x,t)$ путем инверзне Фуријеове трансформације, а $\hat{f}(k)$ добијамо тако што трансформишемо $f(x)$:

$u(x,t)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{f}(k)e^{-\alpha k^{2}t+\mathrm{i}kx}dk$

$\hat{f}(k)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-\mathrm{i}kx}dx$

Да би израз мало појаснили и разговетније написали, уводимо корен топлотног провода:

$K_t(x-x^{\prime })=\frac{1}{\sqrt{4\pi \alpha t}}{e}^{-\frac{(x-x^{\prime }{)}^2}{4\alpha t}}$

$x^{\prime }$ не би требало да нас збуњује. Није реч о изводу или нечему сличном, већ је $x^{\prime }$ просто једна друга променљива која такође означава положај. Када убацимо корен топлотног провода у нашу $u(x,t)$:

$u(x,t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{K}_t(x-x^{\prime })f(x^{\prime })d{x}^{\prime }$

У прстену обима L важи тада:

$u(x,t)=\underset{0}{\overset{L}{\int }}{K}_t(x-x^{\prime })f(x^{\prime })d{x}^{\prime }$

Конкретан пример

Имамо два дужа штапа. Један има температуру $T_1=T$, а други $T_2=-T$. За време $t<0$ су раздвојени и задржавају константно своју температуру, а у тренутку $t=0$ их спајамо. Интересује нас како ће се температура распоредити. Нулту тачку постављамо у тачку где се та два штапа спајају.

Из датог изводимо полазну функцију $f(x)$:

$f(x)=\{\begin{array}{c}{T}_1=T,x>0\\ T_2=-T,x\le 0\end{array}$

Из поставе проблема знамо да мора да важи:

$\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x,t),-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty },t\ge 0$

$u(x,0)=f(x),-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$

Наш циљ је да израчунамо $u(x,t)$:

$u(x,t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{K}_t(x-x^{\prime })f(x^{\prime })d{x}^{\prime }=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}{K}_t(x-x^{\prime })(-T)d{x}^{\prime }+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{K}_t(x-x^{\prime })(-T)d{x}^{\prime }=$

$=\frac{T}{\sqrt{4\pi \alpha t}}(-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}{e}^{-\frac{(x-x^{\prime }{)}^2}{4\alpha t}}d{x}^{\prime }+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{(x-x^{\prime }{)}^2}{4\alpha t}}d{x}^{\prime })=$

$=\frac{T}{\sqrt{2\pi }}(-\underset{\frac{x}{\sqrt{2\alpha t}}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{\frac{-y^2}{2}}dy+\underset{-\frac{x}{\sqrt{2\alpha t}}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{\frac{-y^2}{2}}dy)=$

$=\frac{T}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\frac{x}{\sqrt{2\alpha t}}}{\overset{\frac{x}{\sqrt{2\alpha t}}}{\int }}{e}^{\frac{-y^2}{2}}dy$

При интегрисању смо се послужили супституцијом $y=\frac{(x-x^{\prime })}{\sqrt{2\alpha t}}$ односно $y=-\frac{(x-x^{\prime })}{\sqrt{2\alpha t}}=\frac{(x^{\prime }-x)}{\sqrt{2\alpha t}}$.

У овом конкретном примеру је важило $T_1=-T_2=T$, али када желимо да уопштимо формулу, довољно је за полазну тачку узети аритметичку средину двеју температура и мало претумбати крајњу функцију:

$u(x,t)=\frac{T_1+T_2}{2}+\frac{T_1+T_2}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\frac{x}{\sqrt{2\alpha t}}}{\overset{\frac{x}{\sqrt{2\alpha t}}}{\int }}{e}^{\frac{-y^2}{2}}dy$

Види још

• Дуалност по Понтрјагину