Кејли-Хамилтонова теорема

Артур Кејли, F.R.S. (1821–1895) сматра се водећим британским чистим математичарем 19. века. Кејли је 1848. отишао у Даблин да присуствује предавањима о кватернионима које је држао Хамилтон, њихов откривач. Касније га је Кејли импресионирао тиме што је био други који је објавио рад о њима. Кејли је формулисао теорему за матрице димензија 3 или мање, и објавио доказ за дводимензионални случај.

Вилијам Роуан Хамилтон (1805–1865), ирски физичар, астроном и математичар, први инострани члан америчке Националне академије наука. Иако је имао супротан став о томе како геометрија треба да се проучава, Хамилтон је увек остао у најбољим односима са Кејлијем.

Хамилтон је доказао да за линеарну функцију кватерниона постоји одређена једначина, која зависи од линеарне функције, а коју задовољава сама линеарна функција.

У линеарној алгебри, Кејли—Хамилтонова теорема (названа по математичарима Артуру Кејлију и Вилијаму Роуану Хамилтону) тврди да свака квадратна матрица над комутативним прстеном (као што су реални или комплексни бројеви или цели бројеви) задовољава своју карактеристичну једначину.

Карактеристични полином $n\times n$ матрице Шаблон:Mvar дефинисан је као $p_A(\lambda )=det(\lambda I_n-A)$, где је Шаблон:Math операција детерминанте, Шаблон:Mvar је променљива скаларног елемента базног прстена, а Шаблон:Math је $n\times n$ јединична матрица. Пошто је сваки елемент матрице $(\lambda I_n-A)$ или константа или линеаран по Шаблон:Mvar, детерминанта од $(\lambda I_n-A)$ је монични полином степена Шаблон:Mvar по Шаблон:Mvar, па се може записати као $$p_A(\lambda )={\lambda }^n+c_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +c_1\lambda +c_0.$$ Заменом скаларне променљиве Шаблон:Mvar матрицом Шаблон:Mvar, може се дефинисати аналогни матрични полином, $$p_A(A)=A^n+c_{n-1}{A}^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_0{I}_n.$$ (Овде је $A$ дата матрица — није променљива, за разлику од $\lambda$ — тако да је $p_A(A)$ константа, а не функција.) Кејли—Хамилтонова теорема тврди да је овај полиномијални израз једнак нула-матрици, што значи да је $p_A(A)=0;$ то јест, карактеристични полином $p_A$ је анулирајући полином за $A.$

Једна од употреба Кејли—Хамилтонове теореме је то што омогућава да се Шаблон:Mvar^{Шаблон:Mvar} изрази као линеарна комбинација нижих степена матрице Шаблон:Mvar: $$A^n=-c_{n-1}{A}^{n-1}-\cdots -c_{1}A-c_0{I}_n.$$ Када је прстен поље, Кејли—Хамилтонова теорема је еквивалентна тврдњи да минимални полином квадратне матрице дели њен карактеристични полином.

Специјалан случај теореме први је доказао Хамилтон 1853. године у терминима инверза линеарних функција кватерниона. Ово одговара специјалном случају одређених $4\times 4$ реалних или $2\times 2$ комплексних матрица. Кејли је 1858. формулисао резултат за $3\times 3$ и мање матрице, али је објавио доказ само за случај $2\times 2$. Што се тиче $n\times n$ матрица, Кејли је изјавио: „..., нисам сматрао потребним да предузимам рад на формалном доказу теореме у општем случају матрице било ког степена”. Општи случај је први доказао Фердинанд Фробенијус 1878. године.

Примери

1 × 1 матрице

За $1\times 1$ матрицу Шаблон:Math, карактеристични полином је дат са Шаблон:Math, па је Шаблон:Math тривијално.

2 × 2 матрице

Као конкретан пример, нека је $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right).$$ Њен карактеристични полином је дат са $$\begin{array}{cc}p(\lambda )& =det(\lambda I_2-A)=det\left(\begin{array}{cc}\lambda -1& -2\\ -3& \lambda -4\end{array}\right)\\ & =(\lambda -1)(\lambda -4)-(-2)(-3)={\lambda }^2-5\lambda -2.\end{array}$$

Кејли—Хамилтонова теорема тврди да, ако дефинишемо $$p(X)=X^2-5X-2I_2,$$ онда је $$p(A)=A^2-5A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$$ Рачунањем можемо проверити да заиста важи: $$A^2-5A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}7& 10\\ 15& 22\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}5& 10\\ 15& 20\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$$

За општу $2\times 2$ матрицу, $$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),$$

карактеристични полином је дат са Шаблон:Math, па Кејли—Хамилтонова теорема тврди да је $$p(A)=A^2-(a+d)A+(ad-bc)I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right);$$ што је заиста увек случај, што је очигледно израчунавањем елемената Шаблон:Math.... Шаблон:Math proof

Примене

Детерминанта и инверзна матрица

Шаблон:Види још За општу $n\times n$ инверзибилну матрицу Шаблон:Mvar, тј. ону са детерминантом различитом од нуле, Шаблон:Mvar⁻¹ се може записати као полиномијални израз реда $(n-1)$ по Шаблон:Mvar: Као што је назначено, Кејли—Хамилтонова теорема се своди на идентитет

$p(A)=A^n+c_{n-1}{A}^{n-1}+\cdots +c_{1}A+(-1{)}^{n}det(A)I_n=0.$

Коефицијенти Шаблон:Math су дати елементарним симетричним полиномима сопствених вредности матрице Шаблон:Mvar. Користећи Њутнове идентитете, елементарни симетрични полиноми се заузврат могу изразити преко степених збирова симетричних полинома сопствених вредности: $$s_k=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^k=\mathrm{tr}(A^k),$$ где је Шаблон:Math траг матрице Шаблон:Mvar. Дакле, можемо изразити Шаблон:Math преко трага степена матрице Шаблон:Mvar.

Уопштено, формула за коефицијенте Шаблон:Math дата је преко комплетних експоненцијалних Белових полинома као $$c_{n-k}=\frac{(-1{)}^k}{k!}{B}_k(s_1,-1!s_2,2!s_3,\dots ,(-1{)}^{k-1}(k-1)!s_k).$$

Посебно, детерминанта од Шаблон:Math је једнака Шаблон:Math. Дакле, детерминанта се може записати као идентитет трага: $$det(A)=\frac{1}{n!}{B}_n(s_1,-1!s_2,2!s_3,\dots ,(-1{)}^{n-1}(n-1)!s_n).$$

Слично томе, карактеристични полином се може записати као $$-(-1{)}^{n}det(A)I_n=A(A^{n-1}+c_{n-1}{A}^{n-2}+\cdots +c_1{I}_n),$$ и, множењем обе стране са Шаблон:Math (приметимо да је Шаблон:Math), долази се до израза за инверз матрице Шаблон:Mvar као идентитет трага, $$\begin{array}{cc}{A}^{-1}& =\frac{(-1{)}^{n-1}}{detA}(A^{n-1}+c_{n-1}{A}^{n-2}+\cdots +c_1{I}_n),\\ & =\frac{1}{detA}\sum _{k=0}^{n-1}(-1{)}^{n+k-1}\frac{A^{n-k-1}}{k!}{B}_k(s_1,-1!s_2,2!s_3,\dots ,(-1{)}^{k-1}(k-1)!s_k).\end{array}$$

Други метод за добијање ових коефицијената Шаблон:Math за општу $n\times n$ матрицу, под условом да ниједан корен није нула, ослања се на следећи алтернативни израз за детерминанту, $$p(\lambda )=det(\lambda I_n-A)={\lambda }^n\exp (\mathrm{tr}(\log (I_n-A/\lambda ))).$$ Отуда, на основу Меркаторовог реда, $$p(\lambda )={\lambda }^n\exp (-\mathrm{tr}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\frac{A}{\lambda }{)}^m}{m}),$$ где експоненцијал треба развити само до реда Шаблон:Math, пошто је Шаблон:Math реда Шаблон:Math, а нето негативни степени од Шаблон:Math аутоматски нестају према К—Х теореми. (Опет, ово захтева прстен који садржи рационалне бројеве.) Диференцирање овог израза по Шаблон:Mvar омогућава да се коефицијенти карактеристичног полинома за опште Шаблон:Mvar изразе као детерминанте Шаблон:Math матрица, $$c_{n-m}=\frac{(-1{)}^m}{m!}\left|\begin{array}{cccc}\mathrm{tr}A& m-1& 0& \cdots \\ \mathrm{tr}{A}^2& \mathrm{tr}A& m-2& \cdots \\ ⋮& ⋮& & & ⋮\\ \mathrm{tr}{A}^{m-1}& \mathrm{tr}{A}^{m-2}& \cdots & \cdots & 1\\ \mathrm{tr}{A}^m& \mathrm{tr}{A}^{m-1}& \cdots & \cdots & \mathrm{tr}A\end{array}\right|.$$

Примери

На пример, првих неколико Белових полинома су Шаблон:Math = 1, Шаблон:Math, Шаблон:Math, и Шаблон:Math.

Коришћењем ових за одређивање коефицијената Шаблон:Math карактеристичног полинома $2\times 2$ матрице добија се

$$\begin{array}{c}{c}_2=B_0=1,\\ c_1=\frac{-1}{1!}{B}_1(s_1)=-s_1=-\mathrm{tr}(A),\\ c_0=\frac{1}{2!}{B}_2(s_1,-1!s_2)=\frac{1}{2}(s_1^2-s_2)=\frac{1}{2}((\mathrm{tr}(A){)}^2-\mathrm{tr}(A^2)).\end{array}$$

Коефицијент Шаблон:Math даје детерминанту $2\times 2$ матрице, Шаблон:Math минус њен траг, док је њен инверз дат са $$A^{-1}=\frac{-1}{detA}(A+c_1{I}_2)=\frac{-2(A-\mathrm{tr}(A)I_2)}{(\mathrm{tr}(A){)}^2-\mathrm{tr}(A^2)}.$$

Очигледно је из опште формуле за c_n−k, изражене преко Белових полинома, да изрази $$-\mathrm{tr}(A)\text{и}\frac{1}{2}(\mathrm{tr}(A{)}^2-\mathrm{tr}(A^2))$$

увек дају коефицијенте Шаблон:Math уз Шаблон:Math и Шаблон:Math уз Шаблон:Math у карактеристичном полиному било које $n\times n$ матрице, редом. Дакле, за $3\times 3$ матрицу Шаблон:Mvar, исказ Кејли—Хамилтонове теореме се такође може записати као $$A^3-(\mathrm{tr}A)A^2+\frac{1}{2}((\mathrm{tr}A{)}^2-\mathrm{tr}(A^2))A-det(A)I_3=O,$$ где десна страна означава $3\times 3$ матрицу са свим елементима једнаким нули. Слично томе, ова детерминанта у случају Шаблон:Math, је сада $$\begin{array}{cc}det(A)& =\frac{1}{3!}{B}_3(s_1,-1!s_2,2!s_3)=\frac{1}{6}(s_1^3+3s_1(-s_2)+2s_3)\\ & =\frac{1}{6}[(\mathrm{tr}A{)}^3-3\mathrm{tr}(A^2)(\mathrm{tr}A)+2\mathrm{tr}(A^3)].\end{array}$$ Овај израз даје негативну вредност коефицијента Шаблон:Math уз Шаблон:Math у општем случају, као што се види испод.

Слично томе, може се записати за $4\times 4$ матрицу Шаблон:Mvar, $$A^4-(\mathrm{tr}A)A^3+\frac{1}{2}[(\mathrm{tr}A{)}^2-\mathrm{tr}(A^2)]A^2-\frac{1}{6}[(\mathrm{tr}A{)}^3-3\mathrm{tr}(A^2)(\mathrm{tr}A)+2\mathrm{tr}(A^3)]A+det(A)I_4=O,$$

где је сада детерминанта Шаблон:Math,

$$\frac{1}{24}[(\mathrm{tr}A{)}^4-6\mathrm{tr}(A^2)(\mathrm{tr}A{)}^2+3{(\mathrm{tr}(A^2))}^2+8\mathrm{tr}(A^3)\mathrm{tr}(A)-6\mathrm{tr}(A^4)],$$

и тако даље за веће матрице. Све сложенији изрази за коефицијенте Шаблон:Math могу се извести из Њутнових идентитета или Фадев—Леверијеовог алгоритма.

n-ти степен матрице

Кејли—Хамилтонова теорема увек пружа везу између степена матрице Шаблон:Mvar (иако не увек најједноставнију), која омогућава поједностављење израза који укључују такве степене, и њихово израчунавање без потребе за рачунањем степена Шаблон:Mvarⁿ или било којих виших степена од Шаблон:Mvar.

Као пример, за $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ теорема даје $$A^2=5A+2I_2.$$... Тада, за израчунавање Шаблон:Math, приметимо $$\begin{array}{cc}{A}^3& =(5A+2I_2)A=5A^2+2A=5(5A+2I_2)+2A=27A+10I_2,\\ A^4& =A^{3}A=(27A+10I_2)A=27A^2+10A=27(5A+2I_2)+10A=145A+54I_2.\end{array}$$ Слично томе, $$\begin{array}{cc}{A}^{-1}& =\frac{1}{2}(A-5I_2).\\ A^{-2}& =A^{-1}{A}^{-1}=\frac{1}{4}(A^2-10A+25I_2)=\frac{1}{4}((5A+2I_2)-10A+25I_2)=\frac{1}{4}(-5A+27I_2).\end{array}$$

Приметимо да смо успели да запишемо степен матрице као збир два члана. Заправо, степен матрице било ког реда Шаблон:Math може се записати као матрични полином степена највише Шаблон:Math, где је Шаблон:Math величина квадратне матрице. Ово је пример где се Кејли—Хамилтонова теорема може користити за изражавање матричне функције, о чему ћемо систематично расправљати у наставку.

Матричне функције

Дата је аналитичка функција $$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k$$ и карактеристични полином Шаблон:Math степена Шаблон:Math матрице Шаблон:Mvar димензија Шаблон:Math, функција се може изразити коришћењем дељења полинома као $$f(x)=q(x)p(x)+r(x),$$ где је Шаблон:Math неки полином количника, а Шаблон:Math полином остатка такав да је Шаблон:Math.

Према Кејли—Хамилтоновој теореми, заменом Шаблон:Mvar матрицом Шаблон:Mvar добија се Шаблон:Math, па имамо $$f(A)=r(A).$$

Дакле, аналитичка функција матрице Шаблон:Mvar може се изразити као матрични полином степена мањег од Шаблон:Mvar.

Нека је полином остатка $$r(x)=c_0+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}{x}^{n-1}.$$ Пошто је Шаблон:Math, израчунавање функције Шаблон:Math у Шаблон:Math сопствених вредности матрице Шаблон:Math даје $$f({\lambda }_i)=r({\lambda }_i)=c_0+c_1{\lambda }_i+\cdots +c_{n-1}{\lambda }_i^{n-1},\text{за }i=1,2,\mathrm{...},n.$$ Ово се своди на систем од Шаблон:Math линеарних једначина, који се може решити ради одређивања коефицијената Шаблон:Math. Дакле, имамо $$f(A)=\sum _{k=0}^{n-1}{c}_k{A}^k.$$

Када се сопствене вредности понављају, односно Шаблон:Math за неко Шаблон:Math, две или више једначина су идентичне; па се линеарне једначине не могу јединствено решити. За такве случајеве, за сопствену вредност Шаблон:Math вишеструкости Шаблон:Math, првих Шаблон:Math извода од Шаблон:Math нестаје у сопственој вредности. Ово доводи до додатних Шаблон:Math линеарно независних решења $${\frac{{\mathrm{d}}^{k}f(x)}{\mathrm{d}{x}^k}|}_{x=\lambda }={\frac{{\mathrm{d}}^{k}r(x)}{\mathrm{d}{x}^k}|}_{x=\lambda }\text{за }k=1,2,\dots ,m-1,$$ која, комбинована са осталима, дају потребних Шаблон:Math једначина за решавање по Шаблон:Math.

Проналажење полинома који пролази кроз тачке Шаблон:Math је суштински проблем интерполације, и може се решити коришћењем техника Лагранжове или Њутнове интерполације, што води до Силвестерове формуле.

На пример, претпоставимо да је задатак пронаћи полиномијалну репрезентацију за $f(A)=e^{At}$ где је $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right).$$

Карактеристични полином је Шаблон:Math, а сопствене вредности су Шаблон:Math. Нека је Шаблон:Math. Израчунавањем Шаблон:Math у сопственим вредностима, добијамо две линеарне једначине, Шаблон:Math и Шаблон:Math.

Решавање једначина даје Шаблон:Math и Шаблон:Math. Дакле, следи да је $$e^{At}=c_0{I}_2+c_{1}A=\left(\begin{array}{cc}{c}_0+c_1& 2c_1\\ 0& c_0+3c_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{e}^t& e^{3t}-e^t\\ 0& e^{3t}\end{array}\right).$$

Ако би, уместо тога, функција била Шаблон:Math, онда би коефицијенти били Шаблон:Math и Шаблон:Math; отуда $$\sin (At)=c_0{I}_2+c_{1}A=\left(\begin{array}{cc}\sin t& \sin 3t-\sin t\\ 0& \sin 3t\end{array}\right).$$

Као даљи пример, када разматрамо $f(A)=e^{At}$ где је $$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),$$ онда је карактеристични полином Шаблон:Math, а сопствене вредности су Шаблон:Math.... Као и раније, израчунавање функције у сопственим вредностима даје нам линеарне једначине Шаблон:Math и Шаблон:Math; чије решење даје, Шаблон:Math и Шаблон:Math. Дакле, за овај случај, $$e^{At}=(\cos t)I_2+(\sin t)A=\left(\begin{array}{cc}\cos t& \sin t\\ -\sin t& \cos t\end{array}\right),$$ што је матрица ротације.

Стандардни примери такве употребе су експоненцијално пресликавање из Лијеве алгебре матричне Лијеве групе у групу. Дато је матричним експоненцијалом, $$\exp :𝔤\to G;tX\mapsto e^{tX}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n{X}^n}{n!}=I+tX+\frac{t^2{X}^2}{2}+\cdots ,t\in ℝ,X\in 𝔤.$$ Такви изрази су дуго познати за Шаблон:Math, $$e^{i(\theta /2)(\widehat{𝐧}\cdot \sigma )}=I_2\cos \frac{\theta }{2}+i(\widehat{𝐧}\cdot \sigma )\sin \frac{\theta }{2},$$ где су Шаблон:Mvar Паулијеве матрице и за Шаблон:Math, $$e^{i\theta (\widehat{𝐧}\cdot 𝐉)}=I_3+i(\widehat{𝐧}\cdot 𝐉)\sin \theta +(\widehat{𝐧}\cdot 𝐉{)}^2(\cos \theta -1),$$ што је Родригезова формула ротације. За нотацију, погледати 3D rotation group#A note on Lie algebras.

Недавно су се појавили изрази за друге групе, попут Лоренцове групе Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math, као и Шаблон:Math. Група Шаблон:Math је конформна група простор-времена, Шаблон:Math њен једноструко повезан омотач (да будемо прецизни, једноструко повезан омотач повезане компоненте Шаблон:Math од Шаблон:Math). Добијени изрази важе за стандардну репрезентацију ових група. Захтевају познавање (неких од) сопствених вредности матрице за експоненцирање. За Шаблон:Math (и тиме за Шаблон:Math), затворени изрази су добијени за све иредуцибилне репрезентације, тј. било ког спина.

Фердинанд Георг Фробенијус (1849–1917), немачки математичар. Његова главна интересовања била су елиптичке функције, диференцијалне једначине, и касније теорија група.
Он је 1878. дао први потпун доказ Кејли–Хамилтонове теореме.

Алгебарска теорија бројева

Кејли—Хамилтонова теорема је ефикасан алат за израчунавање минималног полинома алгебарских целих бројева. На пример, дато је коначно проширење $\mathbb{Q}[{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k]$ од $\mathbb{Q}$ и алгебарски цео број $\alpha \in \mathbb{Q}[{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k]$ који је не-нула линеарна комбинација ${\alpha }_1^{n_1}\cdots {\alpha }_k^{n_k}$ можемо израчунати минимални полином од $\alpha$ проналажењем матрице која представља $\mathbb{Q}$-линеарно пресликавање $$\cdot \alpha :\mathbb{Q}[{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k]\to \mathbb{Q}[{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k]$$ Ако назовемо ову матрицу трансформације $A$, онда можемо пронаћи минимални полином применом Кејли—Хамилтонове теореме на $A$.

Докази

Кејли—Хамилтонова теорема је непосредна последица постојања Жорданове нормалне форме за матрице над алгебарски затвореним пољима, види Шаблон:Section link. У овом одељку су представљени директни докази.

Као што примери изнад показују, добијање исказа Кејли—Хамилтонове теореме за $n\times n$ матрицу

$$A={\left(a_{ij}\right)}_{i,j=1}^n$$ захтева два корака: прво се коефицијенти Шаблон:Math карактеристичног полинома одређују развојем детерминанте као полинома по Шаблон:Math

$$\begin{array}{cc}p(t)& =det(t{I}_n-A)=\left|\begin{array}{cccc}t-a_{1,1}& -a_{1,2}& \cdots & -a_{1,n}\\ -a_{2,1}& t-a_{2,2}& \cdots & -a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -a_{n,1}& -a_{n,2}& \cdots & t-a_{n,n}\end{array}\right|\\ & =t^n+c_{n-1}{t}^{n-1}+\cdots +c_{1}t+c_0,\end{array}$$

а затим се ови коефицијенти користе у линеарној комбинацији степена матрице Шаблон:Math која се изједначава са $n\times n$ нула-матрицом: $$A^n+c_{n-1}{A}^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_0{I}_n=\left(\begin{array}{ccc}0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0\end{array}\right).$$

Лева страна се може развити у $n\times n$ матрицу чији су елементи (огромни) полиномијални изрази у скупу елемената Шаблон:Math од Шаблон:Math, па Кејли—Хамилтонова теорема тврди да је сваки од ових Шаблон:Math израза једнак Шаблон:Math. За било коју фиксну вредност Шаблон:Math, ови идентитети се могу добити заморним али праволинијским алгебарским манипулацијама. Ниједан од ових прорачуна, међутим, не може показати зашто би Кејли—Хамилтонова теорема требало да важи за матрице свих могућих димензија Шаблон:Math, па је потребан униформан доказ за све Шаблон:Math....

Прелиминарна разматрања

Ако је вектор Шаблон:Math димензије Шаблон:Math сопствени вектор од Шаблон:Math са сопственом вредношћу Шаблон:Math, другим речима ако је Шаблон:Math, онда $$\begin{array}{cc}p(A)\cdot v& =A^n\cdot v+c_{n-1}{A}^{n-1}\cdot v+\cdots +c_{1}A\cdot v+c_0{I}_n\cdot v\\ & ={\lambda }^{n}v+c_{n-1}{\lambda }^{n-1}v+\cdots +c_1\lambda v+c_{0}v=p(\lambda )v,\end{array}$$ што је нула-вектор пошто је Шаблон:Math (сопствене вредности од Шаблон:Math су управо нуле од Шаблон:Math). Ово важи за све могуће сопствене вредности Шаблон:Math, тако да две матрице изједначене теоремом сигурно дају исти (нула) резултат када се примене на било који сопствени вектор. Сада, ако Шаблон:Math допушта базу сопствених вектора, другим речима ако је Шаблон:Math дијагонализабилна, онда Кејли—Хамилтонова теорема мора важити за Шаблон:Math, пошто две матрице које дају исте вредности када се примене на сваки елемент базе морају бити једнаке. $$A=XD{X}^{-1},D=\mathrm{diag}({\lambda }_i),i=1,2,\mathrm{...},n$$ $$p_A(\lambda )=|\lambda I-A|=\prod _{i=1}^n(\lambda -{\lambda }_i)\equiv \sum _{k=0}^n{c}_k{\lambda }^k$$ $$p_A(A)=\sum c_k{A}^k=X{p}_A(D)X^{-1}=XC{X}^{-1}$$ $$C_{ii}=\sum _{k=0}^n{c}_k{\lambda }_i^k=\prod _{j=1}^n({\lambda }_i-{\lambda }_j)=0,C_{i,j\ne i}=0$$ $$\therefore p_A(A)=XC{X}^{-1}=O.$$

Размотримо сада функцију $e:M_n\to M_n$ која пресликава $n\times n$ матрице у $n\times n$ матрице дату формулом $e(A)=p_A(A)$, тј. која узима матрицу $A$ и убацује је у њен сопствени карактеристични полином. Нису све матрице дијагонализабилне, али за матрице са комплексним коефицијентима многе од њих јесу: скуп $D$ дијагонализабилних комплексних квадратних матрица дате величине је густ у скупу свих таквих квадратних матрица (да би матрица била дијагонализабилна довољно је на пример да њен карактеристични полином нема ниједну вишеструку нулу). Сада посматрано као функција $e:{ℂ}^{n^2}\to {ℂ}^{n^2}$ (пошто матрице имају $n^2$ елемената) видимо да је ова функција непрекидна. Ово је тачно јер су елементи слике матрице дати полиномима елемената матрице. Пошто је $$e(D)=\left\{\left(\begin{array}{ccc}0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0\end{array}\right)\right\}$$

и пошто је скуп $D$ густ, због непрекидности ова функција мора пресликавати цео скуп $n\times n$ матрица у нула-матрицу. Стога је Кејли—Хамилтонова теорема тачна за комплексне бројеве, и стога мора важити и за $\mathbb{Q}$- или $ℝ$-вредносне матрице.

Иако ово пружа валидан доказ, аргумент није сасвим задовољавајући, јер идентитети представљени теоремом ни на који начин не зависе од природе матрице (дијагонализабилна или не), нити од врсте дозвољених елемената (за матрице са реалним елементима дијагонализабилне не чине густ скуп, и изгледа чудно да би се морале разматрати комплексне матрице да би се видело да Кејли—Хамилтонова теорема важи за њих). Стога ћемо сада разматрати само аргументе који доказују теорему директно за било коју матрицу користећи само алгебарске манипулације; оне такође имају предност што раде за матрице са елементима у било ком комутативном прстену.

Адјунгована матрица

Сви докази испод користе појам адјунговане матрице Шаблон:Math $n\times n$ матрице Шаблон:Math, што је транспонат њене кофакторске матрице. Ово је матрица чији су коефицијенти дати полиномијалним изразима коефицијената матрице Шаблон:Math (заправо, одређеним $(n-1)\times (n-1)$ детерминантама), на такав начин да важе следеће фундаменталне релације, $$\mathrm{adj}(M)\cdot M=det(M)I_n=M\cdot \mathrm{adj}(M).$$ Ове релације су директна последица основних особина детерминанти.

Директан алгебарски доказ

Овај доказ користи управо ону врсту објеката потребних за формулисање Кејли—Хамилтонове теореме: матрице са полиномима као елементима. Матрица $t{I}_n-A$ чија детерминанта је карактеристични полином од Шаблон:Mvar је таква матрица, и пошто полиноми чине комутативни прстен, она има адјунговану матрицу $$B=\mathrm{adj}(t{I}_n-A).$$ Тада, према десној фундаменталној релацији адјунговане матрице, имамо $$(t{I}_n-A)B=det(t{I}_n-A)I_n=p(t)I_n.$$

Пошто је Шаблон:Math такође матрица са полиномима по Шаблон:Math као елементима, може се, за свако Шаблон:Math, прикупити коефицијенте уз $t^i$ у сваком елементу да би се формирала матрица Шаблон:Math бројева, тако да имамо $$B=\sum _{i=0}^{n-1}{t}^i{B}_i.$$ (Начин на који су дефинисани елементи матрице Шаблон:Math јасно показује да се не јављају степени виши од Шаблон:Math). Иако ово изгледа као полином са матрицама као коефицијентима, нећемо разматрати такав појам; то је само начин да се запише матрица са полиномијалним елементима као линеарна комбинација Шаблон:Mvar константних матрица, а коефицијент $t^i$ је записан лево од матрице да би се нагласила ова тачка гледишта.... Сада, може се развити производ матрица у нашој једначини: $$\begin{array}{cc}p(t)I_n& =(t{I}_n-A)B\\ & =(t{I}_n-A)\sum _{i=0}^{n-1}{t}^i{B}_i\\ & =\sum _{i=0}^{n-1}t{I}_n\cdot t^i{B}_i-\sum _{i=0}^{n-1}A\cdot t^i{B}_i\\ & =\sum _{i=0}^{n-1}{t}^{i+1}{B}_i-\sum _{i=0}^{n-1}{t}^{i}A{B}_i\\ & =t^n{B}_{n-1}+\sum _{i=1}^{n-1}{t}^i(B_{i-1}-A{B}_i)-A{B}_0.\end{array}$$

Пишући $$p(t)I_n=t^n{I}_n+t^{n-1}{c}_{n-1}{I}_n+\cdots +t{c}_1{I}_n+c_0{I}_n,$$ добија се једнакост две матрице са полиномијалним елементима, записане као линеарне комбинације константних матрица са степенима Шаблон:Math као коефицијентима.

Таква једнакост може важити само ако је у било којој позицији матрице елемент који се множи датим степеном $t^i$ исти на обе стране; следи да константне матрице са коефицијентом $t^i$ у оба израза морају бити једнаке. Пишући ове једначине за Шаблон:Math од Шаблон:Math наниже до 0, налазимо $$B_{n-1}=I_n,B_{i-1}-A{B}_i=c_i{I}_n\text{за }1\le i\le n-1,-A{B}_0=c_0{I}_n.$$

Коначно, помножимо једначину коефицијената уз $t^i$ са леве стране са $A^i$, и саберимо:

$$A^n{B}_{n-1}+\sum _{i=1}^{n-1}(A^i{B}_{i-1}-A^{i+1}{B}_i)-A{B}_0=A^n+c_{n-1}{A}^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_0{I}_n.$$

Леве стране чине телескопску суму и потпуно се поништавају; десне стране се сабирају у $p(A)$: $$0=p(A).$$ Ово комплетира доказ.

Синтеза прва два доказа

У првом доказу, било је могуће одредити коефицијенте Шаблон:Math од Шаблон:Math само на основу десне фундаменталне релације за адјунговану матрицу. Заправо, првих Шаблон:Math изведених једначина могу се тумачити као одређивање количника Шаблон:Math Еуклидског дељења полинома Шаблон:Math са леве стране моничним полиномом Шаблон:Math, док последња једначина изражава чињеницу да је остатак нула. Ово дељење се врши у прстену полинома са матричним коефицијентима. Заиста, чак и над некомутативним прстеном, Еуклидско дељење моничним полиномом Шаблон:Math је дефинисано и увек даје јединствен количник и остатак са истим условом степена као у комутативном случају, под условом да је прецизирано са које стране се жели да Шаблон:Math буде фактор (овде је то са леве стране).

Да би се видело да су количник и остатак јединствени (што је овде битан део тврдње), довољно је записати $PQ+r=P{Q}^{\prime }+r^{\prime }$ као $P(Q-Q^{\prime })=r^{\prime }-r$ и приметити да пошто је Шаблон:Math моничан, Шаблон:Math не може имати степен мањи од степена Шаблон:Math, осим ако је Шаблон:Math.

Али дељеник Шаблон:Math и делилац Шаблон:Math који се овде користе леже у подпрстену Шаблон:Math, где је Шаблон:Math подпрстен матричног прстена Шаблон:Math генерисан са Шаблон:Math: Шаблон:Math-линеарни омотач свих степена од Шаблон:Math. Стога се Еуклидско дељење заправо може извршити унутар тог комутативног полиномијалног прстена, и наравно тада даје исти количник Шаблон:Math и остатак 0 као у већем прстену; посебно, ово показује да Шаблон:Math заправо лежи у Шаблон:Math.

Али, у овом комутативном окружењу, валидно је поставити Шаблон:Math на Шаблон:Math у једначини

$$p(t)I_n=(t{I}_n-A)B;$$

другим речима, применити евалуационо пресликавање

$${\mathrm{ev}}_A:(R[A])[t]\to R[A]$$

које је хомоморфизам прстена, дајући

$$p(A)=0\cdot {\mathrm{ev}}_A(B)=0$$

баш као у другом доказу, што је и требало показати.

Поред доказивања теореме, горњи аргумент нам говори да су коефицијенти Шаблон:Math од Шаблон:Math полиноми по Шаблон:Math, док смо из другог доказа само знали да леже у централизатору Шаблон:Math од Шаблон:Math; уопштено Шаблон:Math је већи подпрстен од Шаблон:Math и није нужно комутативан. Посебно, слободни члан Шаблон:Math лежи у Шаблон:Math. Пошто је Шаблон:Math произвољна квадратна матрица, ово доказује да се Шаблон:Math увек може изразити као полином по Шаблон:Math (са коефицијентима који зависе од Шаблон:Math).

Заправо, једначине пронађене у првом доказу омогућавају сукцесивно изражавање $B_{n-1},\dots ,B_1,B_0$ као полинома по Шаблон:Math, што води до идентитета

$\mathrm{adj}(-A)=\sum _{i=1}^n{c}_i{A}^{i-1},$

важећег за све Шаблон:Math матрице, где је $$p(t)=t^n+c_{n-1}{t}^{n-1}+\cdots +c_{1}t+c_0$$ карактеристични полином од Шаблон:Mvar.

Приметимо да овај идентитет такође имплицира исказ Кејли—Хамилтонове теореме: може се пребацити Шаблон:Math на десну страну, помножити добијену једначину (са леве или десне стране) са Шаблон:Math и искористити чињеницу да је $$-A\cdot \mathrm{adj}(-A)=\mathrm{adj}(-A)\cdot (-A)=det(-A)I_n=c_0{I}_n.$$

Доказ коришћењем матрица ендоморфизама

Као што је горе поменуто, матрица p(A) у исказу теореме добија се прво израчунавањем детерминанте, а затим заменом матрице A за t; вршење те замене у матрицу $t{I}_n-A$ пре израчунавања детерминанте нема смисла. Ипак, могуће је дати интерпретацију где се Шаблон:Math добија директно као вредност одређене детерминанте, али то захтева сложеније окружење, оно са матрицама над прстеном у којем се могу интерпретирати и елементи $A_{i,j}$ од Шаблон:Math и сама матрица Шаблон:Math. За ово би се могао узети прстен Шаблон:Math Шаблон:Math матрица над Шаблон:Math, где се елемент $A_{i,j}$ реализује као $A_{i,j}{I}_n$, а Шаблон:Math као она сама. Али разматрање матрица са матрицама као елементима може изазвати забуну са блок матрицама, што није намера, јер то даје погрешан појам детерминанте (подсетимо се да је детерминанта матрице дефинисана као збир производа њених елемената, а у случају блок матрице то углавном није исто што и одговарајући збир производа њених блокова!). Јасније је разликовати Шаблон:Math од ендоморфизма Шаблон:Math Шаблон:Mvar-димензионалног векторског простора V (или [[слободан модул|слободног Шаблон:Math-модула]] ако Шаблон:Math није поље) дефинисаног њоме у бази $e_1,\dots ,e_n$, и узети матрице над прстеном End(V) свих таквих ендоморфизама. Тада је Шаблон:Math могући елемент матрице, док Шаблон:Mvar означава елемент Шаблон:Math чији је Шаблон:Math елемент ендоморфизам скаларног множења са $A_{i,j}$; слично ће $I_n$ бити интерпретиран као елемент Шаблон:Math. Међутим, пошто Шаблон:Math није комутативан прстен, детерминанта није дефинисана на Шаблон:Math; то се може урадити само за матрице над комутативним подпрстеном од Шаблон:Math. Сада елементи матрице $\phi I_n-A$ сви леже у подпрстену Шаблон:Math генерисаном идентитетом и Шаблон:Math, који је комутативан. Тада је дефинисано пресликавање детерминанте Шаблон:Math, и $det(\phi I_n-A)$ се израчунава у вредност Шаблон:Math карактеристичног полинома од Шаблон:Math у Шаблон:Math (ово важи независно од релације између Шаблон:Math и Шаблон:Math); Кејли—Хамилтонова теорема тврди да је Шаблон:Math нула-ендоморфизам.

У овом облику, следећи доказ се може добити из оног у Шаблон:Harvtxt (који је заправо општији исказ везан за Накајамину лему; за идеал у тој пропозицији узима се цео прстен Шаблон:Math). Чињеница да је Шаблон:Math матрица од Шаблон:Math у бази Шаблон:Math значи да је $$\phi (e_i)=\sum _{j=1}^n{A}_{j,i}{e}_j\text{за }i=1,\dots ,n.$$ Ово се може тумачити као Шаблон:Math компоненти једне једначине у Шаблон:Math, чији се чланови могу записати коришћењем производа матрица-вектор Шаблон:Math који је дефинисан као и обично, али са појединачним елементима Шаблон:Math и Шаблон:Math у Шаблон:Math који се „множе” формирањем $\psi (v)$; ово даје: $$\phi I_n\cdot E=A^{\mathrm{tr}}\cdot E,$$ где је $E\in V^n$ елемент чија је компонента Шаблон:Math једнака Шаблон:Math (другим речима, то је база Шаблон:Math од Шаблон:Math записана као колона вектора). Записивањем ове једначине као $$(\phi I_n-A^{\mathrm{tr}})\cdot E=0\in V^n$$ препознаје се транспонат матрице $\phi I_n-A$ разматране горе, а њена детерминанта (као елемент Шаблон:Math је такође p(φ). Да би се из ове једначине извело да је Шаблон:Math, множи се са леве стране адјунгованом матрицом од $\phi I_n-A^{\mathrm{tr}}$, која је дефинисана у матричном прстену Шаблон:Math, дајући $$\begin{array}{cc}0& =\mathrm{adj}(\phi I_n-A^{\mathrm{tr}})\cdot ((\phi I_n-A^{\mathrm{tr}})\cdot E)\\ & =(\mathrm{adj}(\phi I_n-A^{\mathrm{tr}})\cdot (\phi I_n-A^{\mathrm{tr}}))\cdot E\\ & =(det(\phi I_n-A^{\mathrm{tr}})I_n)\cdot E\\ & =(p(\phi )I_n)\cdot E;\end{array}$$ асоцијативност множења матрица-матрица и матрица-вектор коришћена у првом кораку је чисто формално својство тих операција, независно од природе елемената. Сада компонента Шаблон:Math ове једначине каже да је Шаблон:Math; дакле Шаблон:Math нестаје на свим Шаблон:Math, и пошто ови елементи генеришу Шаблон:Math следи да је Шаблон:Math, чиме је доказ завршен.

Једна додатна чињеница која следи из овог доказа је да матрица Шаблон:Math чији се карактеристични полином узима не мора бити идентична вредности Шаблон:Math замењеној у тај полином; довољно је да Шаблон:Math буде ендоморфизам од Шаблон:Math који задовољава почетне једначине

$$\phi (e_i)=\sum _j{A}_{j,i}{e}_j$$ за неки низ елемената Шаблон:Math који генеришу Шаблон:Math (који простор може имати мању димензију од Шаблон:Mvar, или у случају да прстен Шаблон:Math није поље можда уопште није слободан модул).

Погрешан „доказ”: Шаблон:Math

Један упоран елементаран али нетачан аргумент за теорему је „једноставно” узети дефиницију $$p(\lambda )=det(\lambda I_n-A)$$ и заменити Шаблон:Mvar за Шаблон:Mvar, добијајући $$p(A)=det(A{I}_n-A)=det(A-A)=det(\mathrm{𝟎})=0.$$

Постоји много начина да се види зашто је овај аргумент погрешан. Прво, у Кејли—Хамилтоновој теореми, Шаблон:Math је Шаблон:Math матрица. Међутим, десна страна горње једначине је вредност детерминанте, што је скалар. Дакле, не могу се изједначити осим ако је Шаблон:Math (тј. Шаблон:Mvar је само скалар). Друго, у изразу $det(\lambda I_n-A)$, променљива λ се заправо појављује на дијагоналним елементима матрице $\lambda I_n-A$. За илустрацију, размотримо поново карактеристични полином у претходном примеру:

$$det\left(\begin{array}{cc}\lambda -1& -2\\ -3& \lambda -4\end{array}\right).$$

Ако се замени цела матрица Шаблон:Mvar за Шаблон:Mvar на тим позицијама, добија се

$$det\left(\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)-1& -2\\ -3& \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)-4\end{array}\right),$$

у којем „матрични” израз једноставно није валидан. Приметимо, међутим, да ако се одузимају скаларни умношци јединичних матрица уместо скалара у горњем изразу, тј. ако се замена врши као

$$det\left(\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)-I_2& -2I_2\\ -3I_2& \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)-4I_2\end{array}\right),$$

онда је детерминанта заиста нула, али проширена матрица у питању се не израчунава у $A{I}_n-A$; нити се њена детерминанта (скалар) може поредити са p(A) (матрицом). Дакле, аргумент да је $p(A)=det(A{I}_n-A)=0$ и даље не важи.

Заправо, ако такав аргумент важи, требало би да важи и када се користе друге мултилинеарне форме уместо детерминанте. На пример, ако размотримо функцију перманента и дефинишемо $q(\lambda )=\mathrm{perm}(\lambda I_n-A)$, онда бисмо истим аргументом требали моћи да „докажемо” да је Шаблон:Math. Али ова тврдња је доказиво погрешна: у дводимензионалном случају, на пример, перманента матрице је дата са

$$\mathrm{perm}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad+bc.$$

Дакле, за матрицу Шаблон:Mvar из претходног примера,

$$\begin{array}{cc}q(\lambda )& =\mathrm{perm}(\lambda I_2-A)=\mathrm{perm}\left(\begin{array}{cc}\lambda -1& -2\\ -3& \lambda -4\end{array}\right)\\ & =(\lambda -1)(\lambda -4)+(-2)(-3)={\lambda }^2-5\lambda +10.\end{array}$$

Ипак, може се проверити да је

$$q(A)=A^2-5A+10I_2=12I_2\ne 0.$$

Један од доказа за Кејли—Хамилтонову теорему изнад има неке сличности са аргументом да је $p(A)=det(A{I}_n-A)=0$. Увођењем матрице са ненумеричким коефицијентима, заиста се може дозволити да Шаблон:Mvar живи унутар елемента матрице, али тада $A{I}_n$ није једнако Шаблон:Mvar, и до закључка се долази другачије.

Докази коришћењем метода апстрактне алгебре

Основна својства Хасе—Шмитових извода на спољашњој алгебри $A=\bigwedge M$ неког Шаблон:Mvar-модула Шаблон:Mvar (за који се претпоставља да је слободан и коначног ранга) користили су Шаблон:Harvtxt да докажу Кејли—Хамилтонову теорему. Види такође Шаблон:Harvtxt.

Комбинаторни доказ

Доказ заснован на развоју Лајбницове формуле за карактеристични полином дао је Штраубинг, а генерализацију су дали Фоата и Картије користећи теорију моноида трага.

Апстракција и генерализације

Горњи докази показују да Кејли—Хамилтонова теорема важи за матрице са елементима у било ком комутативном прстену Шаблон:Math, и да ће Шаблон:Math важити кад год је Шаблон:Math ендоморфизам Шаблон:Math-модула генерисаног елементима Шаблон:Math који задовољава

$$\phi (e_j)=\sum a_{ij}{e}_i,j=1,\dots ,n.$$

Ова општија верзија теореме је извор чувене Накајамине леме у комутативној алгебри и алгебарској геометрији.

Кејли—Хамилтонова теорема такође важи за матрице над кватернионима, који чине некомутативни прстен.

Види још

• Пратећа матрица

Литература

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite arXiv
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal

Спољашње везе

• Шаблон:Springer
• Доказ на PlanetMath.
• Кејли—Хамилтонова теорема на MathPages