Матрица ротације

Матрица ротације у линеарној алгебри представља матрицу ротација у Еуклидовом простору. Нпр. матрица ротације тачака за угао θ око исходишта (односно ротација координатног система за угао -θ око координатног почетка) у xy-картезијевом простору супротно кретању казаљке на сату дата је са:

$R=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$

Матрице ротације су ортогоналне матрице са детерминантом једнаком јединици.

$R^T=R^{-1},detR=1$.

Скуп таквих матрица димензије n чини специјалну ортогоналну групу, познату као Шаблон:Math.

Ротација у дводимензионалном простору

У дводимензионалном простору вектор нових координата насталих ротацијом одговара множењу матрице ротације и вектора координата:

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$.

На тај начин ротацијом добијају се нове координате (x',y') ротацијом тачке (x, y):

$x^{\prime }=x\cos \theta -y\sin \theta$,

$y^{\prime }=x\sin \theta +y\cos \theta$.

Ротација у тродимензионалном простору

Три основне ротације око оси x, y и z дане су са:

$\begin{array}{cc}{R}_x(\theta )& =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\\ R_y(\theta )& =\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& \sin \theta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right]\\ R_z(\theta )& =\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right].\end{array}$

Опште ротације за Ојлерове углове

Општа матрица ротације у тродимензионалном простору може да се добије множењем матрица ротације за три Ојлерова угла α, β и γ (y-x-z конвенција за Ојлерове углове):

$R_z(\gamma )R_x(\beta )R_y(\alpha )$

У случају ротације за углове $\gamma$, $\beta$, $\alpha$ око оси Z, X, Z (Z, X, Z конвенција) добија се:

$M(\alpha ,\beta ,\gamma )=M_z(\alpha )\cdot M_x(\beta )\cdot M_z(\gamma )$

$=\left(\begin{array}{ccc}\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma & -\cos \alpha \sin \gamma -\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma & \sin \alpha \sin \beta \\ \sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma & -\sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma & -\cos \alpha \sin \beta \\ \sin \beta \sin \gamma & \sin \beta \cos \gamma & \cos \beta \end{array}\right)$

Лијева теорија

Скуп матрица ротације димензије n чини Лијеву групу звану специјална ортогонална група, познату као Шаблон:Math. Са сваком Лијевом групом повезана је Лијева алгебра, тако да у овом случају имамо Лијеву алгебру:

$𝔰𝔬(n),$

Лијева алгебра у тродимензионалном простору :$𝔰𝔬(3),$ има три генератора:

$A_{𝐱}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right],A_{𝐲}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right],A_{𝐳}=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right].$

Лијеве заграде тих оператора задовољавају следеће релације:

$[A_{𝐱},A_{𝐲}]=A_{𝐳},[A_{𝐳},A_{𝐱}]=A_{𝐲},[A_{𝐲},A_{𝐳}]=A_{𝐱}.$

Произвољна матрица у Лијевој алгебри може да се опише помоћу три генератора као:

$\begin{array}{cc}\widetilde{𝝎}& =x{A}_{𝐱}+y{A}_{𝐲}+z{A}_{𝐳}\\ & =\left[\begin{array}{ccc}0& -z& y\\ z& 0& -x\\ -y& x& 0\end{array}\right].\end{array}$

Литература

• Матрица ротације