Белови полиноми

Белови полиноми су значајни у комбинаторици, а облика су:

$B_{n,k}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-k+1})$

$=\sum \frac{n!}{j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!}{\left(\frac{x_1}{1!}\right)}^{j_1}{\left(\frac{x_2}{2!}\right)}^{j_2}\cdots {\left(\frac{x_{n-k+1}}{(n-k+1)!}\right)}^{j_{n-k+1}},$

У горњем изразу сумира се по свим низовима j₁, j₂, j₃, ..., j_n−k+1 позитивних бројева тако да је

$j_1+j_2+\cdots =k$ и $j_1+2j_2+3j_3+\cdots =n.$

Белови полиноми названи су у част америчкога математичара Ерика Темпла Бела.

Потпуни Белови полиноми

Потпуни Белови полиноми се називају суме Белових полинома облика:

$B_n(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{k=1}^n{B}_{n,k}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-k+1})$

За разлику од њих полиноми $B_{n,k}$ називају се парцијалним Беловим полиномима. Потпуни Белови полиноми могу да се представе и преко детерминанте тј:

$B_n(x_1,\dots ,x_n)=\det \left[\begin{array}{cccccccc}{x}_1& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{1})x_2& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2})x_3& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{3})x_4& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{4})x_5& \cdots & \cdots & x_n\\ \\ *1& x_1& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{1})x_2& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{2})x_3& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{3})x_4& \cdots & \cdots & x_{n-1}\\ \\ 0& -1& x_1& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-3}{1})x_2& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-3}{2})x_3& \cdots & \cdots & x_{n-2}\\ \\ 0& 0& -1& x_1& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-4}{1})x_2& \cdots & \cdots & x_{n-3}\\ \\ 0& 0& 0& -1& x_1& \cdots & \cdots & x_{n-4}\\ \\ 0& 0& 0& 0& -1& \cdots & \cdots & x_{n-5}\\ \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ \\ 0& 0& 0& 0& 0& \cdots & -1& x_1\end{array}\right].$

Значај у комбинаторици

Белови парцијални полиноми $B_{n,k}$ показују на колико се начина неки број n може приказати као сума k различитих бројева. Нпр:

$B_{6,3}(x_1,x_2,x_3,x_4)=15x_4{x}_1^2+60x_3{x}_2{x}_1+15x_2^3$

показује да има

15 начина да се скуп од 6 прикаже као 4 + 1 + 1,

60 начина да се скуп од 6 прикаже као 3 + 2 + 1, и

15 начина да се скуп од 6 прикаже као 2 + 2 + 2.

Својства

$B_{n,k}(1!,2!,\dots ,(n-k+1)!)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})(n-k)!$

У случају када су сви x_i једнаки 1 Белови полиноми $B_{n,k}(x_1,x_2,..)$ су онда једнаки Стирлинговим бројевима друге врсте:

$B_{n,k}(1,1,\dots )=S(n,k)=\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right\}.$

Сума таквих Белових полинома представља n-ти Белов број:

$\sum _{k=1}^n{B}_{n,k}(1,1,1,\dots )=\sum _{k=1}^n\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right\}$

Белови полиноми се сусрећу и у следећој формули развоја у ред:

$\exp \left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n!}{x}^n\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n(a_1,\dots ,a_n)}{n!}{x}^n.$

Полиномни низ

За низ бројева a₁, a₂, a₃, …претпоставимо:

$p_n(x)=\sum _{k=1}^n{B}_{n,k}(a_1,\dots ,a_{n-k+1})x^k.$

Тај низ је биномнога типа, тј задовољава:

$p_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p_k(x)p_{n-k}(y)$ за n ≥ 0.

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book