Минимални полином

У различитим областима математике, минимални полином објекта -{a}- јесте у одређеном смислу нормирани полином -{p}- најмањег могућег степена такав да је -{p(a) = 0}-. Посебно је значајан појам минималног полинома у линеарној алгебри и теорији поља.

Линеарна алгебра

У линеарној алгебри, минимални полином квадратне матрице -{A}- је монични полином -{p}- најмањег могућег степена такав да је

-{p(A) = 0}-.

Свака матрица -{A}- има једнозначно одређен минимални полином; он се најчешће означава са -{μ_A}-. Минимални полином матрице дели сваки од полинома који је поништавају, тако да се може одредити и као њихов највећи заједнички делилац, односно као монични генератор главног идеала

-{{ p ∈K[X] : p(A) = 0 } = (μ_A)}-

у прстену полинома -{K[X]}-.

Сличне матрице имају једнаке минималне полиноме. Минимални полином линеарног оператора -{L}- јесте минимални полином ма које од његових матрица (које су све међусобно сличне); истовремено, то је и монични полином -{p}- најмањег степена такав да је -{p(L) = 0}-.

Минимални и карактеристични полином матрице имају једнаке скупове нула, при чему са могућно различитим вишеструкостима. Други начин да се искаже ово својство јесте релација

-{μ_A | φ_A | μ_Aⁿ.}-

Релација -{μ_A | φ_A}- је последица Кејли-Хамилтонове теореме, према којој је -{φ_A(A) = 0}-. На основу овог својства, минимални полином матрице се у пракси најчешће налази тако што се прво израчуна и на чиниоце разложи њен карактеристични полином, а затим се минимални полином тражи међу његовим делитељима са истим скупом нула. Минимални полином квадратне матрице реда -{n}- је степена највише -{n}-.

Минимални полином, својствене вредности и канонски облици матрице

Нуле карактеристичног, па дакле и минималног, полинома матрице су њене својствене вредности. Посебно, ако -{n × n}- матрица има -{n}- различитих својствених вредности -{λ₁, λ₂, ..., λ_n}-, тада се њен минимални и карактеристични полином подударају и оба су једнака

-{(X − λ₁)⋅(X − λ₂) … (X − λ_n)}-.

Општије, свака матрица има Жорданову нормалну форму, једнозначно одређену до на редослед блокова, по неколико њих за сваку својствену вредност матрице, и која јој је слична, те тако има исти минимални и карактеристични полином. Ако матрица -{A}- има својствене вредности -{λ₁, λ₂, …, λ_k}- са алгебарским вишеструкостима -{r₁, r₂, …, r_k}- (тако да је -{r₁ + r₂ + ... + r_k = n}-), и ако су, за свако -{1 ≤ i ≤ k}-, -{ν₁(i) ≤ ν₂(i) ≤ …, ≤ ν_si(i)}- димензије Жорданових блокова који одговарају својственој вредности -{λ_i}- (тако да је -{ν₁(i) + ν₂(i) + ... + ν_si(i) = r_i}-), тада је

${\varphi }_A=(X-{\lambda }_1{)}^{r_1}(X-{\lambda }_2{)}^{r_2}\cdots (X-{\lambda }_k{)}^{r_k}$, ${\mu }_A=(X-{\lambda }_1{)}^{{\nu }_{s_1}(1)}(X-{\lambda }_2{)}^{{\nu }_{s_2}(2)}\cdots (X-{\lambda }_k{)}^{{\nu }_{s_k}(k)}$.

Посебно се минимални и карактеристични полином матрице подударају ако и само ако свакој њеној својственој вредности одговара по тачно један Жорданов блок, односно ако и само ако су геометријске вишеструкости свих својствених вредности (за својствену вредност λ_i то је -{s_i}-, број одговарајућих Жорданових блокова) једнаке 1.

Матрица је дијагонализабилна над неким пољем -{F}- ако и само ако је њен минимални полином производ различитих линеарних фактора над -{F}-.

Матрице код којих се минимални и карактеристични полином подударају се погодно карактеришу и као управо матрице које су сличне некој цикличној матрици; линеарни оператори који одговарају таквим матрицама се и сами називају цикличним операторима. Општије, ако су -{A₁, A₂, ...., A_l}- канонски циклични блокови матрице -{A}- и -{φ₁ | φ₂ | ... | φ_l}- њихови карактеристични (и истовремено минимални) полиноми, тзв. инваријантни делитељи матрице -{A}-, тада је

-{φ_A = φ₁φ₂...φ_l}-,  -{μ_A = φ_l}-.

Уопштења

Коришћењем теорије Галуа се установљава да минимални полиом матрице не зависи од поља над којим се она посматра: ако је -{K}- потпоље неког поља -{L}- и -{A}- матрица над пољем -{K}-, тада је минимални полином матрице -{A}- као матрице над пољем -{K}- истовремено и њен минимални полином као матрице над пољем -{L}-.

Минимални полином се дефинише и за матрице над ма којим главноидеалским прстеном -{S}- као генератор идеала полинома који поништавају матрицу -{A}- у прстену полинома -{S[X]}-, за који се доказује да је онда и сам главноидеалски; у том случају он је дефинисан једнозначно до на множење јединицама прстена -{S}-.

Минимални полином се такође може дефинисати и за линеарне операторе -{L}- на просторима произвољне (могућно бесконачне) димензије као монични полином -{p}- најмањег степена такав да је -{p(L) = 0}-, ако такав полином постоји. На пример, у функционалној анализи, сваки оператор пројекције -{P}- у простору произвољне димензије је идемпотентан, па задовољава једначину -{P² − P = 0}-. Стога је његов минималан полином увек један од полинома -{X}- (за оператор пројекције на нула-потпростор), -{X −1}- (за идентични оператор) или -{X² − X}- (за све остале операторе пројекције).