Лагранжов полином

Интерполација путем Лагранжових полинома је поступак у коме је за $n+1$ тачака уз помоћ Лангражових полинома потребно да се нађу нове вредности неке непознате функције или функције чије је израчунавање претешко (временски пренапорно или чак немогуће).

Слика приказује четири тачке ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)), и (кубни) интерполациони полином L(x), који је збир скалираних базних полинома y₀l_0(x), y₁l₁(x), y₂l₂(x) и y₃l₃(x). Интерполациони полином пролази кроз све четири контролне тачке, и сваки скалирани базни полином пролази кроз своју контролну тачку, и једнак је 0 тамо где x одговара осталим трима контролним тачкама.

Идеја иза поступка је врло слична другим методама (Њутновој методи, на пример): Полазећи од познатих тачака конструише се нова основа неког простора. Онда се дата функција (односно њене познате вредности за дате тачке) трансформише у тај нови простор. Мало неформалније речено, од ње се прави полином, а она служи пре свега као узор. Тиме се добија нова, приближна функција (полином) који може да се израчуна.

Основа за Лангражов полином је:

$l_i(x)=\prod _{j=0,j\ne i}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$

Приближна функција која апроксимира $f(x)$ је $P(x)$; $x_i$ су тачке за које су познате вредности дате функције:

$P(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_i)l_i(x)$

Гледајући $l_i(x)$ за $i\in \{1,2,3,4,5\}$:

$l_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\cdot \frac{x-x_2}{x_0-x_2}\cdot \frac{x-x_3}{x_0-x_3}\cdot \frac{x-x_4}{x_0-x_4}$

$l_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\cdot \frac{x-x_2}{x_1-x_2}\cdot \frac{x-x_3}{x_1-x_3}\cdot \frac{x-x_4}{x_1-x_4}$

$l_2(x)=\frac{x-x_0}{x_2-x_0}\cdot \frac{x-x_1}{x_2-x_1}\cdot \frac{x-x_3}{x_2-x_3}\cdot \frac{x-x_4}{x_2-x_4}$

$l_3(x)=\frac{x-x_0}{x_3-x_0}\cdot \frac{x-x_1}{x_3-x_1}\cdot \frac{x-x_2}{x_3-x_2}\cdot \frac{x-x_4}{x_3-x_4}$

$l_4(x)=\frac{x-x_0}{x_4-x_0}\cdot \frac{x-x_1}{x_4-x_1}\cdot \frac{x-x_2}{x_4-x_2}\cdot \frac{x-x_3}{x_4-x_3}$

постаје јасније зашто су такви полиноми баш изабрани. На свим местима $x_{j\ne i}$ полином има нулто место, а код $x_i$ има вредност 1. Тако је осигурано да ће наведени полином да прође тачно кроз дате тачке односно да ће за све $P(x_i)$ да важи $P(x_i)=f(x_i)$.

Пример

Позната је вредност полинома у 3 различите тачке :

X	1	2	3
Y	3	-1	1

Екстраполацијом се добија полином :

$P(x)=3\cdot \frac{x-2}{1-2}\cdot \frac{x-3}{1-3}+(-1)\cdot \frac{x-1}{2-1}\cdot \frac{x-3}{2-3}+1\cdot \frac{x-1}{3-1}\cdot \frac{x-2}{3-2}$