Јединична матрица

Јединична матрица је у линеарној алгебри назив за квадратну матрицу којој су елементи на главној дијагонали јединице, а остали нуле. Ова матрица се још назива идентичном, јер у производу са другим матрицама даје управо њих као резултат множења тј. не мења их. Ова матрица се означава великим латиничним словом -{E}- а индекс који може и не мора да стоји поред ознаке означава димензију исте. Ознака за матрицу идентичног пресликавања је -{Id}- или само -{I}-.

$E_1=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right],E_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],E_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\cdots ,E_n=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$

Што се такође може дефинисати и Кронекеровом делтом:

$E_n=({\delta }_{ij}{)}_{i,j\in \{1,\dots ,n\}}$,

где је:

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& ,i=j\\ 0& ,i\ne j\end{array}\text{sa }i,j\in \{1,\dots ,n\}$

Алтернативни записи су:

$E_{ij}={\delta }_{ij}$

$E=({\delta }_{ij})$

Особине

Множење

Једна од битних особина јединичне матрице -{E_n}- неког простора -{K^{n × n}}- је да је она једина за коју важи:

$EA=AE=A,A\in K^{n\times n}$

Штавише, види се да је матрица над простором -{K^{n × n}}- комутативна тј. није битно да ли се њоме множи слева или здесна. Ово не важи за просторе -{K^{n × m}, m ≠ n}-, где се овом матрицом може множити само слева односно само здесна.

Из ове особине такође следи и:

$A{A}^{-1}=A^{-1}A=E$

Пример:

$\left[\begin{array}{ccc}2& 3& -2\\ 1& 1& 3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& -2\\ 1& 1& 3\end{array}\right]$

Детерминанта и инверз

Детерминанта ове матрице је увек 1, док је она сама себи инверзна.

$|E|=1$

$E=E^{-1}$

Друга особина се може доказати на следећи начин:

$E{E}^{-1}=E$, опште правило које важи за све матрице

$E^{-1}E{E}^{-1}=E^{-1}E$, множење слева са -{E^-1}-

$\underset{E}{\underbrace{E^{-1}E}}{E}^{-1}=\underset{E}{\underbrace{E^{-1}E}}$, матрица помножена својим инверзом увек даје -{E}-

$\underset{E^{-1}}{\underbrace{E{E}^{-1}}}=E$, матрица помножена јединичном даје саму себе

$E^{-1}=E$, доказ завршен