Нормална подгрупа

У апстрактној алгебри, области математике, нормална подгрупа је посебна врста подгрупе. Нормалне подгрупе су важне зато што се користе у конструкцији количничких група из дате групе.

Еварист Галоа је први схватио важност и постојање нормалних подгрупа.

Дефиниције

Подгрупа -{N}- групе -{G}- се назива нормалном подгрупом ако је инваријантна у односу на конјугацију; то јест, за сваки елемент -{n}- из -{N}- и свако -{g}- из -{G}-, елемент -{gng⁻¹}- је и даље у -{N}-. Пишемо

$N◃G.$

Следећи услови су еквивалентни услови како би подгрупа -{N}- била нормална у -{G}-. Било који од њих се може узети као дефиниција:

1. За све -{g}- из -{G}-, -{gNg⁻¹ ⊆ N}-.
2. За све -{g}- из -{G}-, -{gNg⁻¹ = N}-.
3. Скупови левих и десних косета -{N}- у -{G}- коинцидирају.
4. За свако -{g}- из -{G}-, -{gN = Ng}-.
5. -{N}- је унија класа конјугације -{G}-.
6. Постоји хомоморфизам на -{G}- за који је -{N}- језгро.

Треба имати у виду да је услов (1) логички слабији од услова (2), а услов (3) је логички слабији од услова (4). Због овога, услови (1) и (3) се обично користе да докажу да је -{N}- нормална у -{G}-, а услови (2) и (4) се користе да докажу последице нормалности -{N}- у -{G}-.

Примери

• {-{e}-} и -{G}- су увек нормалне подгрупе од -{G}-. Ако су ово и једине нормалне подгрупе, онда се каже да је -{G}- проста.
• Центар групе је нормална подгрупа.
• Комутаторна подгрупа је нормална подгрупа.
• Општије, свака карактеристична подгрупа је нормална, јер је конјугација увек аутоморфизам.
• Све подгрупе -{N}- Абелове групе -{G}- су нормалне, јер -{gN = Ng}-. Група која није Абелова, али чија је свака подгрупа нормална се назива Хамилтоновом групом.
• Транслациона група у било којој димензији је нормална подгрупа Еуклидове групе; на пример тродимензионална ротација, транслација и ротација назад су исти као проста транслација; такође, рефлексија, транслација и поновна рефлексија су исти као проста транслација (транслација виђена у огледалу изгледа као транслација са рефлектованим транслационим вектором). Транслације за дату раздаљину у било ком смеру формирају класу конјугације; транслациона група је њихова унија за све раздаљине.

Својства

• Нормалност је очувана у сурјективним хомоморфизмима, као и у инверзним сликама.
• Нормалност је очувана у директним производима
• Нормална подгрупа нормалне подгрупе дате групе не мора да буде нормална у групи. То јест, нормалност није транзитивна релација. Међутим, карактеристична подгрупа нормалне подгрупе је нормална. Такође, нормална подгрупа централног фактора је нормална. Специјално, нормална подгрупа директног фактора је нормална.
• Свака подгрупа индекса 2 је нормална. Општије, подгрупа -{H}- коначног индекса -{n}- у -{G}- садржи подгрупу -{K}- нормалну у -{G}- чији индекс дели -{n}-!. Ако је -{p}- најмањи прост делилац реда од -{G}-, тада је свака подгрупа индекса -{p}- нормална.

Нормалне подгрупе и хомоморфизми

Нормалне подгрупе су значајне, јер ако је -{N}- нормална, тада се може формирати количничка група -{G/N}-: ако је -{N}- нормално, можемо да дефинишемо множење на косетима као

-{(a₁N)(a₂N) := (a₁a₂)N}-

Ово претвара скуп косета у групу која се назива количничком групом -{G/N}-. Постоји природни хомоморфизам -{f : G → G/N}- дефинисан као -{f(a) = aN}-. Слика -{f(N)}- се састоји само од неутрала -{G/N}-, косет -{eN = N}-.

Уопштено, хомоморфизам група -{f: G → H}- слика подгрупе од -{G}- у подгрупе од -{H}-. Такође, пре-слика сваке подгрупе од -{H}- је подгрупа од -{G}-. Пре-слику тривијалне групе {-{e}-} из -{H}- називамо језгром (кернелом) хомоморфизма и означавамо га као -{ker(f)}-. Испоставља се да је језгро увек нормално, и да је слика -{f(G)}- од -{G}- увек изоморфна са -{G/ker(f)}- (прва теорема о изоморфизму). У ствари, ова кореспонденција је бијекција између скупа свих количничких група -{G/N}- од -{G}- и скупа свих хомоморфних слика од -{G}- (до на изоморфизам). Лако се покаже да је језгро количничког пресликавања, -{f: G → G/N}-, само -{N}-, па су нормалне подгрупе језгра хомоморфизама са доменом -{G}-.

Литература

• -{I. N. Herstein, Topics in algebra. Second edition. Xerox College Publishing, Lexington, Mass.-Toronto, Ont., 1975. xi+388 pp.}-
• -{David S. Dummit; Richard M. Foote, Abstract algebra. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1991. xiv+658 pp. Шаблон:Page}-

Види још

• Нормализатор
• Нормална срж
• Карактеристична подгрупа
• Идеал (теорија прстена)