Траг (линеарна алгебра)

У линеарној алгебри, траг квадратне матрице Шаблон:Math, означен са Шаблон:Math, је дефинисан као збир елемената на главној дијагонали (од горњег левог до доњег десног члана) матрице Шаблон:Math .

Траг матрице је збир њених (комплексних) сопствених вредности (бројаних са дупликатима), и инваријантан је у односу на промену базе . Ова карактеризација се може користити за дефинисање трага линеарног оператора уопште. Траг је дефинисан искључиво за квадратне матрице ( Шаблон:Math ).

Траг матрице је повезан са изводом детерминанте матрице(види Јакобијеву формулу ).

Дефиниција

Траг квадратне матрице Шаблон:Math величине Шаблон:Math је дефинисан као

$\mathrm{tr}(𝐀)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}$

где Шаблон:Math означава унос у Шаблон:Mvar-том реду и Шаблон:Mvar-тој колони Шаблон:Math

Пример

Нека је Шаблон:Math квадратна матрица, са следећим члановима

$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 11& 5& 2\\ 6& 12& -5\end{array}\right)$

Онда је траг:

$\mathrm{tr}(𝐀)=\sum _{i=1}^3{a}_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+5+(-5)=1$

Својства

Основна својства

Траг је заправо линеарно пресликавање . То означава следеће:

$\begin{array}{cc}\mathrm{tr}(𝐀+𝐁)& =\mathrm{tr}(𝐀)+\mathrm{tr}(𝐁)\\ \mathrm{tr}(c𝐀)& =c\mathrm{tr}(𝐀)\end{array}$

и важи за све квадратне матрице Шаблон:Math и Шаблон:Math, и све скаларе Шаблон:Mvar .

Матрица и њена транспонована матрица имају исти траг јер се дијагонала не мења у случају танспоновања:

$\mathrm{tr}(𝐀)=\mathrm{tr}\left({𝐀}^{𝖳}\right).$

Ово одмах услеђује из чињенице да транспоновање квадратне матрице не утиче на елементе дуж главне дијагонале.

Траг производа

Траг квадратне матрице који је производ две матрице може се преписати као збир улазних производа њихових елемената. Тачније, ако су Шаблон:Math и Шаблон:Math два Шаблон:Math матрица, онда је:

$\mathrm{tr}\left({𝐀}^{𝖳}𝐁\right)=\mathrm{tr}\left(𝐀{𝐁}^{𝖳}\right)=\mathrm{tr}\left({𝐁}^{𝖳}𝐀\right)=\mathrm{tr}\left(𝐁{𝐀}^{𝖳}\right)=\sum _{i,j}{a}_{ji}{b}_{ji}.$

Ово значи да траг производа матрица једнаких величина функционише на сличан начин као и скаларни производ вектора (замислите Шаблон:Math и Шаблон:Math као дугачке векторе са колонама наслаганим једна на другу). Из тог разлога, генерализације векторских операција на матрице (нпр. у матричном рачуну и статистици ) често укључују трагове матричних производа.

За матрице реалних бројева Шаблон:Math и Шаблон:Math, траг производа се такође може написати у следећим облицима:

$\mathrm{tr}\left({𝐀}^{𝖳}𝐁\right)=\sum _{i,j}(𝐀\circ 𝐁{)}_{ij}$	(користећии Хадамардов производ)
$\mathrm{tr}\left({𝐀}^{𝖳}𝐁\right)=\mathrm{vec}(𝐁{)}^{𝖳}\mathrm{vec}(𝐀)=\mathrm{vec}(𝐀{)}^{𝖳}\mathrm{vec}(𝐁)$	(користећи оператор векторисања)

Матрице у производу трагова могу се мењати без утицаја на резултат: Ако је Шаблон:Math матрица Шаблон:Math и Шаблон:Math Шаблон:Math, онда је

$\mathrm{tr}(𝐀𝐁)=\mathrm{tr}(𝐁𝐀)$

Додатно, за реалне колоне матрице $𝐚\in {ℝ}^n$ и $𝐛\in {ℝ}^n$, траг спољашњег производа је еквивалентан унутрашњем производу:

$\mathrm{tr}\left(𝐛{𝐚}^{\mathsf{\text{T}}}\right)={𝐚}^{\mathsf{\text{T}}}𝐛$

Циклична својства

У општијем случају, траг је инваријантан према цикличним пермутацијама, тј.

$\mathrm{tr}(𝐀𝐁𝐂𝐃)=\mathrm{tr}(𝐁𝐂𝐃𝐀)=\mathrm{tr}(𝐂𝐃𝐀𝐁)=\mathrm{tr}(𝐃𝐀𝐁𝐂).$

Ово је такође познато као циклично својство .

Произвољне пермутације нису дозвољене: генерално говорећи,

$\mathrm{tr}(𝐀𝐁𝐂)\ne \mathrm{tr}(𝐀𝐂𝐁).$

Међутим, ако се посматрају производи три симетричних матрица, свака пермутација је дозвољена, јер:

$\mathrm{tr}(𝐀𝐁𝐂)=\mathrm{tr}\left({\left(𝐀𝐁𝐂\right)}^{𝖳}\right)=\mathrm{tr}(𝐂𝐁𝐀)=\mathrm{tr}(𝐀𝐂𝐁),$

где је прва једнакост зато што су трагови матрице и њена транспонована матрица јаднаке. Мора се знати да то уопште није тачно за више од три фактора.

Траг матричног производа

За разлику од детерминанти, траг производа није производ трагова, тј. постоје матрице Шаблон:Math и Шаблон:Math такве да

$\mathrm{tr}(𝐀𝐁)\ne \mathrm{tr}(𝐀)\mathrm{tr}(𝐁)$

На пример, ако је:

$𝐀=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),𝐁=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),$

онда је производ следећи

$𝐀𝐁=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),$

а трагови су слдећи:$\mathrm{tr}(𝐀𝐁)=1\ne 0\cdot 0=\mathrm{tr}(𝐀)\mathrm{tr}(𝐁).$

Траг Кронецкеровог производа

Траг Кронекеровог производа две матрице је производ њихових трагова што значи:

$\mathrm{tr}(𝐀\otimes 𝐁)=\mathrm{tr}(𝐀)\mathrm{tr}(𝐁).$

Карактеризација трага

Обратимо пажњу на следећа три својства:$$\begin{array}{cc}\mathrm{tr}(𝐀+𝐁)& =\mathrm{tr}(𝐀)+\mathrm{tr}(𝐁),\\ \mathrm{tr}(c𝐀)& =c\mathrm{tr}(𝐀),\\ \mathrm{tr}(𝐀𝐁)& =\mathrm{tr}(𝐁𝐀),\end{array}$$карактеришемо траг до скаларног множиоца у смислу који следи: Ако $f$ је линеарни функционал на простору квадратних матрица који задовољава $f(xy)=f(yx),$ онда $f$ и $\mathrm{tr}$ су пропорционалне.

Инваријантност сличности

Траг је инваријантан сличностима, што значи да за било коју квадратну матрицу Шаблон:Math и било коју инверзибилну матрицу Шаблон:Math истих димензија, матрице Шаблон:Math и Шаблон:Math имају исти траг. То је зато што

$\mathrm{tr}\left({𝐏}^{-1}𝐀𝐏\right)=\mathrm{tr}({𝐏}^{-1}(𝐀𝐏))=\mathrm{tr}((𝐀𝐏){𝐏}^{-1})=\mathrm{tr}\left(𝐀\left(𝐏{𝐏}^{-1}\right)\right)=\mathrm{tr}(𝐀).$

Траг производа симетричне и косо-симетричне матрице

Ако је Шаблон:Math симетрично, а Шаблон:Math косо-симетрично, онда важи:

$\mathrm{tr}(𝐀𝐁)=0$ .

Однос према сопственим вредностима

Траг матрице идентитета

Траг матрице идентитета величине Шаблон:Math је заправо димензија простора, односно Шаблон:Mvar .

$\mathrm{tr}\left({𝐈}_n\right)=n$

Ово доводи до појма генерализације димензија коришћењем трага .

Траг идемпотентне матрице

Траг идемпотентне матрице Шаблон:Math (матрице за коју важи да је Шаблон:Math ) једнак је рангу матрице Шаблон:Math .

Траг нилпотентне матрице

Траг нилпотентне матрице је увек једнак нули.

Када је карактеристика основног поља нула, важи и обрнуто, што значи: ако је Шаблон:Math за све Шаблон:Mvar, онда је Шаблон:Math нилпотентно.

Када је карактеристика Шаблон:Math позитивна (већа од нуле), идентитет у Шаблон:Mvar димензија је контрапример, као $\mathrm{tr}\left({𝐈}_n^k\right)=\mathrm{tr}\left({𝐈}_n\right)=n\equiv 0$, али идентитет није нужно и нилпотентан.

Траг је једнак збиру сопствених вредности

Уопштено, ако је:

$f(x)=\prod _{i=1}^k{(x-{\lambda }_i)}^{d_i}$

је карактеристични полином матрице Шаблон:Math, што значи:

$\mathrm{tr}(𝐀)=\sum _{i=1}^k{d}_i{\lambda }_i$

то јест, траг квадратне матрице једнак је збиру сопствених вредности пребројаних са дупликатима.

Траг комутатора

Када су и Шаблон:Math и Шаблон:Math матрице величине Шаблон:Math следи да је Шаблон:Math, јер је Шаблон:Math и Шаблон:Math је линеарн. Ово се може ословити као „траг је мапа Лијевих алгебри Шаблон:Math од оператора до скалара“, пошто је комутатор скалара тривијалан (то је Абелова-Лијева алгебра). Конкретно, користећи инваријантност сличности, следи да матрица идентитета никада није налик комутатору било ког пара матрица.

У обрнутом случају, свака квадратна матрица са нултим трагом је линеарна комбинација комутатора парова матрица. Штавише, свака квадратна матрица са нултим трагом је унитарно еквивалентна квадратној матрици са дијагоналом која се састоји од свих нула.

Траг хермитске матрице

Траг ермитске матрице је реалан, јер су елементи на дијагонали реални.

Траг пермутационе матрице

Траг пермутационе матрице означава број фиксних тачака, јер је дијагонални Шаблон:Math једнака 1 ако је Шаблон:Math-та тачка фиксна и 0 у супротном случају.

Траг пројекцијске матрице

Траг пројекцијске матрице представља димензију циљног простора.

$\begin{array}{cc}{𝐏}_{𝐗}& =𝐗{\left({𝐗}^{𝖳}𝐗\right)}^{-1}{𝐗}^{𝖳}\\ ⟹\mathrm{tr}\left({𝐏}_{𝐗}\right)& =\mathrm{rank}(𝐗).\end{array}$

Матрица Шаблон:Math је идемпотентна, што даље значи, траг било које идемпотентне матрице једнак је њеном сопственом рангу.

Експоненцијални траг

Изрази попут Шаблон:Math, где је Шаблон:Math квадратна матрица, јављају се јако често у неким областима (нпр. мултиваријантна статистичка теорија), у тој мери да је скраћена нотација постала опште прихваћена:

$\mathrm{tre}(A):=\mathrm{tr}(\exp (A)).$

Шаблон:Math се понекад назива експоненцијалном функцијом трага; користи се у неједнакости Голден-Томпсона.

Траг линеарног оператора

Уопштено говорећи, с обзиром на неку линеарну мапу Шаблон:Math (где је Шаблон:Mvar коначно димензионални векторски простор ), можемо дефинисати траг ове мапе узимајући у обзир траг матричне репрезентације Шаблон:Mvar, односно одабиром базе за Шаблон:Mvar и описујући Шаблон:Mvar као матричну релативну на ову базу, узимајући траг ове квадратне матрице. Резултат неће зависити од изабране базе, пошто ће различите базе довести до сличних матрица, дозвољавајући могућност од основе независне дефиниције за траг линеарне мапе.

Таква дефиниција се може дати коришћењем канонског изоморфизма између простора Шаблон:Math линеарних мапа на Шаблон:Mvar и Шаблон:Math, где је Шаблон:Math бинарни простор од Шаблон:Mvar . Нека је Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar и нека је Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar . Тада је траг неразложивог елемента Шаблон:Math дефинисан као Шаблон:Math ; траг општег елемента дефинисан је линеарношћу. Користећи експлицитну основу за Шаблон:Mvar и одговарајућу биномну основу за Шаблон:Math, може се показати да ово даје исту дефиницију трага као што је претходно показано изнад.

Траг у екстензијама поља

Дозволити да $L/K$ буде коначно проширење поља . Тада је траг а Шаблон:Nowrap мапа $L\to K.$ Ако се $L$ посматра као векторски простор преко $K$ затим траг елемента $\alpha \in L$ је траг трансформационе матрице Шаблон:Nowrap ендоморфизам $L\ni x\mapsto \alpha \cdot x\in L.$ Ако је $L/K$ Галоов, онда је траг елемента $\alpha \in L$ збир његових Галоових коњугата :

${\mathrm{tr}}_{L/K}(\alpha )=\sum _{\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)}\sigma (\alpha )$ .

Као и норма ${\mathrm{N}}_{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)}\sigma (\alpha )$, траг је $\in K.$

Релације сопствених вредности

Ако је Шаблон:Math линеарни оператор представљен квадратном матрицом са реалним или комплексним уносним чиниоцима и ако су Шаблон:Math сопствене вредности Шаблон:Math (наведене према њиховим алгебарским вишеструкостима ), онда важи

$\mathrm{tr}(𝐀)=\sum _i{\lambda }_i$

Ово следи из чињенице да је Шаблон:Math увек сличан свом Јордановом облику, горњој троугластој матрици која има Шаблон:Math на главној дијагонали. Насупрот томе, детерминанта Шаблон:Math је производ његових сопствених вредности; што означава да је,

$\det (𝐀)=\prod _i{\lambda }_i.$

У општем смислу,

$\mathrm{tr}\left({𝐀}^k\right)=\sum _i{\lambda }_i^k.$

Изводи

Траг одговара изводу детерминанте. Ово је прецизирано у Јакобијевој формули за извод детерминанте .

Као посебан случај, код идентичности, извод детерминанте заправо је једнак трагу: Шаблон:Math . Из овога (или из везе између трага и сопствених вредности), може се извести веза између функције трага, експоненцијалне мапе између Лијеве алгебре и њене Лијеве групе (или конкретно, матричне експоненцијалне функције) и детерминанте :

$\det (\exp (𝐀))=\exp (\mathrm{tr}(𝐀)).$

На пример, размотримо фамилију линеарних трансформација са једним параметром дате ротацијом кроз угао Шаблон:Mvar ,

${𝐑}_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right).$

Све ове трансформације имају детерминанту 1, тако да чувају површину. Извод ове породице на Шаблон:Math, ротација идентитета, је антисиметрична матрица

$A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

која јасно има траг једнак нули, што указује да ова матрица представља инфинитезималну трансформацију која чува површину.

Слична карактеризација трага се примењује и на линеарна векторска поља . Узмимо матрицу Шаблон:Math, дефинишимо векторско поље Шаблон:Math на Шаблон:Math са Шаблон:Math. Компоненте овог векторског поља су линеарне функције (дате редовима Шаблон:Math ). Њена дивергенција Шаблон:Math је константна функција, чија је вредност једнака Шаблон:Math .

По теореми дивергенције, ово се може тумачити у терминима брзине: ако Шаблон:Math представља брзину течности на локацији Шаблон:Math и Шаблон:Mvar је региону у Шаблон:Math, нето проток течности из Шаблон:Mvar је дат са Шаблон:Math, где је Шаблон:Math запремина Шаблон:Mvar.

Траг је линеарни оператор, стога је повезан (комутује) са извидом:

$\mathrm{d}\mathrm{tr}(𝐗)=\mathrm{tr}(\mathrm{d}𝐗).$

Примена

Траг комплексне матрица величине Шаблон:Math се користи за класификацију Мебијусових трансформација . Прво, матрица се нормализује тако да њена детерминанта буде једнака јединици. Затим, ако је квадрат трага 4, одговарајућа трансформација је параболична . Ако је квадрат у интервалу Шаблон:Nowrap, он је елиптичан . Коначно, ако је квадрат већи од 4, трансформација је локсодромна.

Траг се користи за дефинисање карактера групних репрезентација . Два приказа Шаблон:Math групе Шаблон:Mvar су једнаке (до промене базе на Шаблон:Mvar ) ако је Шаблон:Math. важи за све Шаблон:Math .

Траг такође игра главну улогу у дистрибуцији квадратних облика .

Лијева Алгебра

Траг је мапа Лијевих алгебри $\mathrm{tr}:{𝔤𝔩}_n\to K$ из Лијеве алгебре ${𝔤𝔩}_n$ линеарних оператора на Шаблон:Mvar -димензионалном простору ( матрица величине Шаблон:Math са уносима у $K$ ) у Лијевој алгебри Шаблон:Mvar скалара; пошто је Шаблон:Mvar Абелов (Лијева заграда нестаје), чињеница да је ово мапа Лијевих алгебри је управо доказ да траг заграде нестаје:

$\mathrm{tr}([𝐀,𝐁])=0\text{ за свако }𝐀,𝐁\in {𝔤𝔩}_n.$

Често се каже да је језгро ове мапе, матрице чији је траг нула, Шаблон:Visible anchor а ове матрице формирају једноставну Лијеву алгебру ${𝔰𝔩}_n$, што је Лијева алгебра посебне линеарне групе матрица са детерминантом 1. Посебну линеарну групу чине матрице које не мењају запремину, док су специјалне линеарне Лијеве алгебре матрице које не мењају запремину инфинитезималних скупова.

У ствари, постоји интерна директна декомпозиција збира ${𝔤𝔩}_n={𝔰𝔩}_n\oplus K$ оператора/матрица у операторе/матрице без трага и скаларне операторе/матрице. Мапа пројекције на скаларне операторе може се изразити у терминима трага, конкретно се може представити као:

$𝐀\mapsto \frac{1}{n}\mathrm{tr}(𝐀)𝐈.$

Формално, може се саставити траг са мапом јединице $K\to {𝔤𝔩}_n$ "укључивања скалара " да би се добила мапа ${𝔤𝔩}_n\to {𝔤𝔩}_n$ пресликавање на скаларе и множење са Шаблон:Mvar . Дељењем са Шаблон:Mvar ово постаје пројекција, што даје формулу изнад.

У смислу кратких тачних секвенци, важи:

$0\to {𝔰𝔩}_n\to {𝔤𝔩}_n\stackrel{\mathrm{tr}}{\to }K\to 0$

што је аналогно

$1\to {\mathrm{SL}}_n\to {\mathrm{GL}}_n\stackrel{\det }{\to }{K}^{*}\to 1$

(где $K^{*}=K\setminus \{0\}$ ) за Лијеве групе. Али, траг се природно дели дакле ${𝔤𝔩}_n={𝔰𝔩}_n\oplus K$, али цепање детерминанте би било као Шаблон:Mvar ти корен пута скалара, а ово генерално не дефинише функцију, тако да се детерминанта не дели и општа линеарна група се не декомпонује:

${\mathrm{GL}}_n\ne {\mathrm{SL}}_n\times K^{*}.$

Билинеарне форме

Билинеарни облик (где су Шаблон:Math, Шаблон:Math квадратне матрице)

$B(𝐗,𝐘)=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}(𝐗)\mathrm{ad}(𝐘))\text{where }\mathrm{ad}(𝐗)𝐘=[𝐗,𝐘]=𝐗𝐘-𝐘𝐗$

се назива Киллингова форма, која се користи за класификацију Лијевих алгебри.

Траг дефинише билинеарни облик:

$(𝐗,𝐘)\mapsto \mathrm{tr}(𝐗𝐘).$

Форма је симетрична, недегенерисана и асоцијативна у смислу да је:

$\mathrm{tr}(𝐗[𝐘,𝐙])=\mathrm{tr}([𝐗,𝐘]𝐙).$

За комплексну једноставну Лијеву алгебру (као нпр Шаблон:Math ), сваки такав билинеарни облик је пропорционалан један другом.

За две матрице Шаблон:Math и Шаблон:Math се каже да су ортогоналног трага ако је

$\mathrm{tr}(𝐗𝐘)=0$ .

Унутрашњи производ

За матрицу величине Шаблон:Math Шаблон:Math са сложеним (или реалним) уносима која је H и коњугована транспонована, имамо

$\mathrm{tr}\left({𝐀}^{𝖧}𝐀\right)\ge 0$

са једнакошћу ако и само ако је Шаблон:Math . Шаблон:Rp

Једначина

$⟨𝐀,𝐁⟩=\mathrm{tr}\left({𝐀}^{𝖧}𝐁\right)$

нам даје унутрашњи производ на простору свих комплексних (или реалних) матрица величине Шаблон:Math.

Норма изведена из горњег унутрашњег производа назива се Фробенијусова норма, која задовољава субмултипликативно својство као матрична норма. Заиста је еуклидска норма ако се матрица посматра као вектор дужине Шаблон:Math .

Следи да ако су Шаблон:Math и Шаблон:Math реалне позитивне полудефинисане матрице истих величина онда је

$0\le {[\mathrm{tr}(𝐀𝐁)]}^2\le \mathrm{tr}\left({𝐀}^2\right)\mathrm{tr}\left({𝐁}^2\right)\le {[\mathrm{tr}(𝐀)]}^2{[\mathrm{tr}(𝐁)]}^2.$

Види још

• Траг тензора у односу на метрички тензор
• Карактеристична функција
• Траг поља
• Неједнакост Голден–Томпсона
• Јединствени траг
• Спецхтова теорема
• Траце цласс
• Траг идентитета
• Прати неједнакости
• фон Нојманова неједнакост трагова

Спољашње везе

•  Шаблон:Springer