Парцијални извод

У математици, парцијални извод функције са неколико променљивих је њен извод по једној од тих променљивих, док се друге држе константним (за разлику од тоталног извода, у коме је свим променљивама дозвољено да варирају). Парцијални изводи се користе у векторском калкулусу и диференцијалној геометрији.

Ако постоје коначне граничне вредности количника прираштаја функције $f(x,y,\dots )$ у тачки $P(x,y,\dots )$ са одговарајућим прираштајима независно променљивих такве да теже нули, тада се те граничне вредности називају парцијалним изводима функције $f(x,y,\dots )$ у тачки $P(x,y,\dots )$.

Парцијални дериват функције $f(x,y,\dots )$ по променљивој $x$ се различито означава са

${f_x}^{\prime },f_x,{\partial }_{x}f,D_{x}f,D_{1}f,\frac{\partial }{\partial x}f,\text{ or }\frac{\partial f}{\partial x}.$

Понекад, ако је $z=f(x,y,\dots ),$ парцијални извод $z$ у погледу $x$ се означава са $\frac{\partial z}{\partial x.}$ Пошто су парцијални деривати генерално функције истих променљивих као и оригиналне функције, та функционална зависност се понекад експлицитно уврштава у нотацију, као у

$f_x(x,y,\mathrm{...}),\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,\mathrm{...}).$

Симбол који се користи за означавање парцијалних деривата је ∂. Једна од првих познатих употреба тог симбола у математици је присутна у раду Маркиза де Кордосета и 1770, где га је он користио за парцијалне изводе. Модерна нотација парцијалних извода потиче од Адријен-Мари Лежандра (1786), мада ју је он касније напустио; Карл Густав Јакоб Јакоби је поново увео симбол 1841. године.

Дефиниција

Као и обични деривати, парцијални дериват је дефинисан као лимит. Нека је -{U}- отворени подскуп од ${ℝ}^n$ и $f:U\to ℝ$ функција. Парцијални дериват од -{f}- у тачки $𝐚=(a_1,\dots ,a_n)\in U$ у односу на -{i}--ту променљиву -{x_i}- је дефинисан као

$\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial x_i}f(𝐚)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a_1,\dots ,a_{i-1},a_i+h,a_{i+1},\dots ,a_n)-f(a_1,\dots ,a_i,\dots ,a_n)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(𝐚+h{𝐞}_{𝐢})-f(𝐚)}{h}\end{array}$

Чак и ако сви парцијални деривати -{∂f/∂x_i(a)}- постоје у датој тачки -{a}-, функција не мора тамо бити континуирана. Међутим, ако сви парцијални деривати постоје у околини -{a}- и тамо су континуирани, тада је -{f}- потпуно диференцијабилна у том суседству и тотални извод је континуиран. У овом случају се каже да је -{f}- функција -{C¹1}-. Ово се може користити за генерализацију за векторске функције, Шаблон:Nowrap пажљиво користећи компонентни аргумент.

Парцијални дериват $\frac{\partial f}{\partial x}$ се може посматрати као још једна дефинисана функција на U и опет се може парцијално диференцирати. Ако су сви мешовити парцијални изводи другог реда континуирани у тачки (или на скупу), -{f}- се у тој тачки (или на том скупу) назива -{C}-² функција; у овом случају се парцијални деривати могу заменити Клајраутовом теоремом:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}.$

Нотација

Шаблон:See За следеће примере, нека је $f$ функција у $x,y$ и $z$.

Парцијални деривати првог реда:

$\frac{\partial f}{\partial x}=f_x={\partial }_{x}f.$

Парцијални деривати другог реда:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=f_{xx}={\partial }_{xx}f={\partial }_x^{2}f.$

Мешовити деривати другог реда:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=(f_x{)}_y=f_{xy}={\partial }_{yx}f={\partial }_y{\partial }_{x}f.$

Парцијални и виши деривати вишег реда:

$\frac{{\partial }^{i+j+k}f}{\partial x^i\partial y^j\partial z^k}=f^{(i,j,k)}={\partial }_x^i{\partial }_y^j{\partial }_z^{k}f.$

Када се ради о функцијама више променљивих, неке од ових променљивих могу бити повезане једна с другом, те ће можда бити потребно да се експлицитно наведе које се променљиве држе константним како би се избегла нејасноћа. У пољима као што је статистичка механика, парцијални дериват од $f$ у односу на $x$, држећи $y$ и $z$ константним, често се изражава као

${\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{y,z}.$

Консеквентно, ради јасноће и једноставности записа, парцијални дериват функције и вредност функције у одређеној тачки су повезани тако што укључују аргументе функције када се користи симбол парцијалног деривата (Лајбницов запис). Дакле, израз попут

$\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}$

се користи за функцију, док се

$\frac{\partial f(u,v,w)}{\partial u}$

може користити за вредност функције у тачки $(x,y,z)=(u,v,w)$. Међутим, ова конвенција се не користи када се жели да се процени парцијални дериват у тачки попут $(x,y,z)=(17,u+v,v^2)$. У таквом случају, вредновање функције мора бити изражено на незграпан начин као

$\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}(17,u+v,v^2)$

или

${\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}|}_{(x,y,z)=(17,u+v,v^2)}$

како би се користио Лајбницов запис. Стога, у овим случајевима, може да буде пожељније да се користи Ојлеров диференцијални запис оператора са $D_i$ као симбол парцијалног извода у односу на -{i}--ту променљиву. На пример, могло би се написати $D_{1}f(17,u+v,v^2)$ за горе описани пример, док израз $D_{1}f$ представља функцију парцијалног извода у односу на прву променљиву.

За парцијалне деривате вишег реда, парцијални дериват (функција) од $D_{i}f$ у односу на -{ј}--ту променљиву означена је са $D_j(D_{i}f)=D_{i,j}f$. Стога је, $D_j\circ D_i=D_{i,j}$, тако да су променљиве наведене по редоследу узимања деривата, и отуда обрнутим редоследом од тога како се обично бележи композиција оператора. Наравно, Клајраутова теорема имплицира да је $D_{i,j}=D_{j,i}$ докле год су задовољени релативно благи услови регуларности на -{f}-.

Градијент

Важан пример функције више променљивих је случај функције скаларне вредности -{f(x₁, …, x_n)}- на домену у Еуклидском простору ${ℝ}^n$ (нпр. на ${ℝ}^2$ или ${ℝ}^3$). У овом случају -{f}- има парцијални дериват -{∂f/∂x_j}- у односу на сваку променљиву -{x_j}-. У тачки -{a}-, ови парцијални деривати дефинишу вектор

$\mathrm{\nabla }f(a)=(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a),\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)).$

Овај вектор се назива градијент од -{f}- у -{a}-. Ако је -{f}- диференцијабилно у свакој тачки у неком домену, онда је градијент векторски-вредносна функција -{∇f}- која води тачку -{a}- у вектор -{∇f(a)}-. Сходно томе, градијент производи векторско поље.

Уобичајена злоупотреба записа је дефинисање дел оператора (∇) на следећи начин у тродимензионалном Еуклидском простору ${ℝ}^3$ са јединичним векторима $\widehat{𝐢},\widehat{𝐣},\widehat{𝐤}$:

$\mathrm{\nabla }=\left[\frac{\partial }{\partial x}\right]\widehat{𝐢}+\left[\frac{\partial }{\partial y}\right]\widehat{𝐣}+\left[\frac{\partial }{\partial z}\right]\widehat{𝐤}$

Или, уопштеније, за -{n}--димензионални Еуклидски простор ${ℝ}^n$ са координатама $x_1,\dots ,x_n$ и јединичним векторима ${\widehat{𝐞}}_1,\dots ,{\widehat{𝐞}}_n$:

$\mathrm{\nabla }=\sum _{j=1}^n\left[\frac{\partial }{\partial x_j}\right]{\widehat{𝐞}}_j=\left[\frac{\partial }{\partial x_1}\right]{\widehat{𝐞}}_1+\left[\frac{\partial }{\partial x_2}\right]{\widehat{𝐞}}_2+\dots +\left[\frac{\partial }{\partial x_n}\right]{\widehat{𝐞}}_n$

Дирекциони дериват

Контурни графикон од $f(x,y)=x^2+y^2$, који приказује градијентни вектор у црној боји, и јединични вектор $𝐮$ скалиран усмереном дериватом у правцу $𝐮$ у наранџастој боји. Вектор градијента је дужи, јер градијент оријентисан у смеру највеће стопе повећања функције.

Дирекциони дериват скаларне функције

$f(𝐱)=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

дуж вектора

$𝐯=(v_1,\dots ,v_n)$

је функција ${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f$ дефинисана помоћу лимита

${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f(𝐱)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(𝐱+h𝐯)-f(𝐱)}{h}.$

Ова дефиниција важи у широком спектру контекста, на пример где је норма вектора (а самим тим и јединични вектор) недефинисана.

Пример

Претпоставимо да је -{f}- функција више од једне променљиве. На пример,

$z=f(x,y)=x^2+xy+y^2$.

Графикон ове функције дефинише површину у Еуклидовом простору. За сваку тачку на овој површини постоји бесконачан број тангентних линија. Парцијална диференцијација је чин одабира једне од ових линија и проналажења њеног нагиба. Обично су најзанимљивије линије оне које су паралелне са $xz$-равни, и оне које су паралелне са из $yz$-равни (које резултирају из држања $y$ или $x$ константним).

Да би се пронашао нагиб линије која је тангентна на функцију у $P(1,1)$ и паралелна са $xz$-равни, $y$ се третира као константа. Графикон и ова раван су приказани десно. У наставку се види како функција изгледа у равни $y=1$. Проналажењем деривата једначине уз претпоставку да је $y$ константа, открива се да је нагиб $f$ у тачки $(x,y)$:

$\frac{\partial z}{\partial x}=2x+y$.

Дакле, у $(1,1)$, заменом, нагиб је 3. Због тога,

$\frac{\partial z}{\partial x}=3$

у тачки $(1,1)$. То јест, парцијални дериват $z$ у односу на $x$ у $(1,1)$ је 3, као што је приказано на графикону.

Функција -{f}- се може поново тумачити као породица функција једне променљиве индексиране другим променљивама:

$f(x,y)=f_y(x)=x^2+xy+y^2.$

Другим речима, свака вредност y дефинише функцију, означену са -{f}-_y , која је функција једне променљиве x.Шаблон:Efn То јест,

$f_y(x)=x^2+xy+y^2.$

У овом одељку ознака индекса f_y означава функцију зависну од фиксне вредности y, а не делимичан дериват.

Када се изабере вредност y, рецимо -{a}-, онда -{f(x,y)}- одређује функцију -{f_a}- која прати криву -{x² + ax + a²}- на $xz$-равни:

$f_a(x)=x^2+ax+a^2$.

У овом изразу, -{a}- је константа, а не променљива, те је -{f_a}- функција само једне реалне променљиве, која је x. Сходно томе, примењује се дефиниција деривата за функцију једне променљиве:

${f_a}^{\prime }(x)=2x+a$.

Горе наведени поступак се може извести за било који избор -{a}-. Склапање деривата заједно у функцију даје функцију која описује варијацију -{f}- у смеру x:

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x+y.$

Ово је парцијални извод f у односу на x. Овде је ∂ заокружено d који се назива симбол парцијалног извода; да би се разликовао од слова -{d}-, ∂ се понекад изговара као „парцијал“.

Парцијални изводи вишег реда

Парцијални деривати другог и вишег реда су дефинисани аналогно дериватима вишег реда униваријантних функција. За функцију $f(x,y,\mathrm{...})$ „сопствени” други парцијални дериват у односу на то x је једноставно парцијални дериват парцијалног деривата (обе у односу на x):Шаблон:Rp

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\equiv \partial \frac{\partial f/\partial x}{\partial x}\equiv \frac{\partial f_x}{\partial x}\equiv f_{xx}.$

Укрштена парцијална деривација у односу на x и y добија се узимањем парцијалног извода од -{f}- у односу на x, а затим се узима парцијални извод резултата у односу на y, да би се добило

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}\equiv \partial \frac{\partial f/\partial x}{\partial y}\equiv \frac{\partial f_x}{\partial y}\equiv f_{xy}.$

Шварцова теорема наводи да ако су други деривати континуирани, на израз за унакрсну парцијалну деривацију нема утицаја по којој варијабли се парцијална деривација прво врши. Другим речима,

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$

или еквивалентно $f_{yx}=f_{xy}.$

Сопствени и унакрсни парцијални деривати појављују се у Хесовој матрици која се користи у условима другог реда у проблемима оптимизације.

Спољашње везе

• Шаблон:Springer
• -{Partial Derivatives at MathWorld}-