Gradijent

Na gornjim slikama, skalarno polje prikazano je crnim i belim područjima, s tim da crna odgovaraju većim vrednostima, a njegov odgovarajući gradijent je predstavljen plavim strelicama.

U vektorskoj analizi, gradijent skalarnog polja je vektorsko polje koje ima pravac najvećeg porasta skalarnog polja, odnosno, čiji je intenzitet najveća promena u polju.

Generalizacija gradijenta, za funkcije u Banahovom prostoru koje imaju vektorske vrednosti, je Jakobijan.

Interpretacija gradijenta

Zamislimo sobu u kojoj je temperatura data sa skalarnim poljem $\varphi$, tako da je u svakoj tački $(x,y,z)$ temperatura $\varphi (x,y,z)$ (pretpostavićemo da se temperatura ne menja sa vremenom). Tada, u svakoj tački u sobi, gradijent u toj tački pokazaće smer u kojem temperatura raste najbrže. Intenzitet gradijenta će odrediti kako se brzo temperatura povećava u tom pravcu.

Gradijent se, takođe, može koristiti da se izmeri kako se skalarno polje menja u drugim smerovima (a ne samo u pravcu najveće promene) korišćenjem skalarnog proizvoda vektora. Zamislimo brdo sa najvećim nagibom od 40 %. Ako put ide ravno uzbrdo, tada je najstrmiji nagib, takođe, 40 %. Ako, međutim, put ide oko brda sa uglom u smeru uspona (vektor gradijenta), tada će imati manji nagib. Na primer, ako je ugao između puta u pravcu uspona, projektovan na horizontalnu ravan, 60°, tada će najstrmiji nagib, koji se proteže duž puta, biti 20 %, što se dobilo iz proizvoda 40 % puta kosinus od 60°.

Formalna definicija

Gradijent (ili gradijent vektorskog polja) skalarne funkcije $f(x)$ po vektorskoj varijabli $x=(x_1,\dots ,x_n)$ se označava kao $\mathrm{\nabla }f$ ili $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f$ gde $\mathrm{\nabla }$ (nabla simbol) označava vektorski diferencijalni operator, nabla operator. Oznaka $\mathrm{grad}(f)$ se, takođe, koristi za označavanje gradijenta.

Prema definiciji, gradijent je vektorsko polje čije su komponente parcijalni izvodi funkcije $f$. To jest:

$\mathrm{\nabla }f=(\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}).$

Skalarni proizvod vektora $(\mathrm{\nabla }f{)}_x\cdot v$ gradijenta u tački x sa vektorom v daje izvod po pravcu funkcije f u x u pravcu v.

Gradijent je nerotaciono vektorsko polje, te su linijski integrali kroz gradijentno polje nezavisni i mogu se izračunati pomoću gradijentne teoreme. Suprotno, nerotaciono vektorsko polje u jednostavno povezanom regionu je uvek gradijent funkcije.

Izrazi za gradijent u 3 dimenzije

Forma gradijenta zavisi od izabranog koordinatnog sistema.

U pravouglim koordinatama, gornji izraz se proširi na

$\mathrm{\nabla }f(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\end{array}\right)$

U cilindričnim koordinatama:

$\mathrm{\nabla }f(\rho ,\theta ,z)=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial \rho },\frac{1}{\rho }\frac{\partial f}{\partial \theta },\frac{\partial f}{\partial z}\end{array}\right)$

(gde je $\theta$ azimutalni ugao, a $z$ je osna koordinata).

U sfernim koordinatama:

$\mathrm{\nabla }f(r,\theta ,\varphi )=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial r},\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta },\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial f}{\partial \varphi }\end{array}\right)$

(gde je $\theta$ azimutni ugao, a $\varphi$ je zenitni ugao).

Svojstva

$\mathrm{\nabla }(\alpha \varphi +\psi )=\alpha \mathrm{\nabla }\varphi +\mathrm{\nabla }\psi$

$\mathrm{\nabla }(𝐀\cdot 𝐁)=(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐁+(𝐁\cdot \mathrm{\nabla })𝐀+𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)+𝐁\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)$

$\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }{A}^2=𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)+(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐀$

Primer

Na primer, gradijent u pravouglim koordinatama

$f(x,y,z)=2x+3y^2-\sin (z)$

je:

$\mathrm{\nabla }f=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2,6y,-\cos (z)\end{array}\right).$

Gradijent i izvod ili diferencijal

Linearna aproksimacija funkcije

Gradijent funkcije $f$ iz Euklidovog prostora ${ℝ}^n$ u $ℝ$ i bilo kojoj tački x₀ u ${ℝ}^n$ karakteriše najbolju linearnu aproksimaciju od f u x₀. Ta aproksimacija se zapisuje na sledeći način:

$f(x)\approx f(x_0)+(\mathrm{\nabla }f{)}_{x_0}\cdot (x-x_0)$

za $x$ koje je blizu $x_0$, gdje je $(\mathrm{\nabla }f{)}_{x_0}$ gradijent funkcije f izračunat u $x_0$, gde tačka označava da se radi o skalarnom proizvodu ${ℝ}^n$.

Vidi još

• Rotor
• Divergencija
• Laplasov operator
• Elektrohemijski gradijent
• Muzički izomorfizam
• Operator nabla
• Operator Sobel
• Stepen (nagib)
• Nagib
• Površinski gradijent

Literatura

1. Шаблон:Cite book