Околина (математика)

Скуп $V$ у равни је околина тачке $p$ ако се мали диск око $p$ налази у $V.$

Правоугаоник није околина ниједног од својих углова.

У топологији и сродним математичким областима, околина је један од основних појмова у тополошком простору. Интуитивно говорећи, околина тачке је скуп који садржи тачку у коме можемо да се померамо мало, а да не напустимо скуп.

Овај концепт је блиско повезан са концептима отворног скупа и унутрашњости.

Дефиниција

Нека је -{X}- тополошки простор, а -{p}- је тачка у -{X}-, околина тачке -{p}- је скуп -{V}-, који садржи отворен скуп -{U}- који садржи -{p}-,

$p\in U\subseteq V.$

Ваља имати у виду да околина -{V}- не мора и сама да буде отворен скуп. Ако је -{V}- отворен, онда се ради о отвореној околини. Неки аутори захтевају да околине буду отворене, па је важно да се води рачуна о конвенцијама које се користе.

Ако је -{S}- подксуп од -{X}-, околина од -{S}- је скуп -{V}-, који садржи отворен скуп -{U}- који садржи -{S}-. Следи да је скуп -{V}- околина скупа -{S}-, ако и само ако је околина свих тачака у -{S}-.

У метричком простору

Скуп $S$ у равни и униформна околина $V$ од $S.$

У метричком простору -{M = (X, d)}-, скуп -{V}- је околина тачке -{p}- ако постоји отворена кугла са центром -{p}- и полупречником -{r}-,

$B_r(p)=B(p;r)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}$

која се садржи у -{V}-.

-{V}- се назива униформном околином скупа -{S}- ако постоји позитиван број -{r}- такав да за све елементе -{p}- из -{S}-,

$B_r(p)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}$

се налази у -{V}-.

За -{r>0}-, -{r}--околина $S_r$ скупа -{S}- је скуп свих тачака у -{X}- које су на раздаљини мањој од -{r}- од -{S}- (или еквивалентно, $S_r$ је унија свих отворених кугли полупречника -{r}- са центром у тачки -{S}-).

Директна последица је да је -{r}--околина униформна околина, и да је скуп униформна околина ако и само ако садржи -{r}--околину за неку вредност -{r}-.

Примери

Ако је дат скуп реалних бројева, -{R}- са уобичајеном еуклидском метриком и подскуп -{V}- дефинисан као

$V:=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}B(n;\frac{1}{n}),$

тада је -{V}- околина за скуп -{N}-, природних бројева, али није униформна околина овог скупа.

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book