Векторска анализа

Векторска анализа је грана математике која проучава диференцијални и интегрални рачун над векторским пољима, primarily in 3-dimensional Euclidean space ${ℝ}^3.$ The term "vector calculus" is sometimes used as a synonym for the broader subject of multivariable calculus, which spans vector calculus as well as partial differentiation and multiple integration.

Највећу примену у математици налази у диференцијалној геометрији и парцијалним диференцијалним једначинама, а од осталих грана науке, највише се користи у физици, посебно у електродинамици, механици флуида, гравитацији и сл.

Основни објекти

Скаларна поља

Скаларно поље придружује скаларну вредност свакој тачки у простору. Скалар је математички број који представља физичку величину. Примери скаларних поља у апликацијама укључују дистрибуцију температуре у простору, расподелу притиска у флуиду и квантна поља са спином нула (позната као скаларни бозони), као што је Хигсово поље. Ова поља су предмет теорије скаларног поља.

Векторска поља

Векторско поље је додељивање вектора свакој тачки у простору. Векторско поље у равни, на пример, може се визуализовати као колекција стрелица са датом величином и смером, свака везана за тачку у равни. Векторска поља се често користе за моделовање, на пример, брзине и правца флуида који се креће кроз простор, или јачине и смера неке силе, као што је магнетна или гравитациона сила, како се мења од тачке до тачке. Ово се може користити, на пример, за израчунавање рада обављеног дуж линије.

Вектори и псеувектори

У напреднијим третманима, даље се разликују псеудовекторска поља и псеудоскаларна поља, која су идентична векторским пољима и скаларним пољима, осим што мењају предзнак под мапом која мења оријентацију: на пример, ротор векторског поља је псеудовекторско поље, а ако се одражава векторско поље, ротор је усмерен у супротном смеру. Ова разлика је разјашњена и разрађена у геометријској алгебри, као што је описано у наставку.

Векторска алгебра

Алгебарске (недиференцијалне) операције у векторском рачуну називају се векторском алгебром, дефинишу се за векторски простор и затим се глобално примењују на векторско поље. Основне алгебарске операције се састоје од:

Нотације у векторском рачуну

Операција	Нотација	Опис
Сабирање вектора	${𝐯}_1+{𝐯}_2$	Сабирање два вектора, дајући вектор.
Множење вектора	$a𝐯$	Множење скалара и вектора, дајући вектор.
Скаларни производ вектора	${𝐯}_1\cdot {𝐯}_2$	Множење два вектора, дајући скалар.
Векторски производ	${𝐯}_1\times {𝐯}_2$	Множењем два вектора у ${ℝ}^3$ добија се (псеудо)вектор.

Такође се често користе два трострука производа:

Троструки производи векторског рачуна

Операција	Нотација	Опис
Скаларни троструки производ	${𝐯}_1\cdot ({𝐯}_2\times {𝐯}_3)$	Скаларни производ векторског производа два вектора.
Векторски троструки производ	${𝐯}_1\times ({𝐯}_2\times {𝐯}_3)$	Векторски производ векторског производа два вектора.

Оператори и теореме

Диференцијални оператори

Векторски рачун проучава различите диференцијалне операторе дефинисане на скаларним или векторским пољима, који се обично изражавају у виду -{del}- оператора ($\mathrm{\nabla }$), такође познатог као „набла”. Три основна векторска оператора су:

Диференцијални оператори у векторском рачуну

Операција	Нотација	Опис	Нотација аналогија	Домен/опсег
Градијент	$\mathrm{grad}(f)=\mathrm{\nabla }f$	Мери брзину и смер промене у скаларном пољу.	Скаларно множење	Пресликава скаларна поља у векторска поља.
Дивергенција	$\mathrm{div}(𝐅)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$	Мери скалар извора или понора у датој тачки у векторском пољу.	Скаларни производ вектора	Пресликава векторска поља у скаларна поља.
Ротор	$\mathrm{curl}(𝐅)=\mathrm{\nabla }\times 𝐅$	Мери тенденцију ротације око тачке у векторском пољу у ${ℝ}^3$.	Векторски производ	Пресликава векторска поља у (псеудо)векторска поља.
Шаблон:Mvar означава скаларно поље и Шаблон:Mvar означава векторско поље

Такође се често користе два Лапласова оператора:

Лапласови оператори у векторском рачуну

Операција	Нотација	Опис	Домен/опсег
Лапласијан	$\mathrm{\Delta }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f$	Мери разлику између вредности скаларног поља са његовим просеком на инфинитезималним куглама.	Мапе између скаларних поља.
Векторски Лапласијан	${\mathrm{\nabla }}^2𝐅=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)-\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐅)$	Мери разлику између вредности векторског поља са његовим просеком на инфинитезималним куглама.	Мапе између векторских поља.
Шаблон:Mvar означава скаларно поље и Шаблон:Mvar означава векторско поље

Квантитет који се назива Јакобијанска матрица је користан за проучавање функција када су домен и опсег функције мултиваријабилни, као што је промена променљивих током интеграције.

Теореми интеграла

Три основна векторска оператора имају одговарајуће теореме које генерализују основну теорему рачуна на више димензије:

Интегралне теореме векторског рачуна

Теорема	Исказ	Опис
Теорема градијента	$\underset{L\subset {ℝ}^n}{\int }\mathrm{\nabla }\phi \cdot d𝐫=\phi \left(𝐪\right)-\phi \left(𝐩\right)\text{ for }L=L[p\to q]$	Криволинијски интеграл градијента скаларног поља дуж криве -{L}- једнак је промени скаларног поља између крајњих тачака -{p}- и q криве.
Теорема дивергенције	$\underset{n}{\underbrace{\int \cdots \underset{V\subset {ℝ}^n}{\int }}}(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)dV=\underset{n-1}{\underbrace{\oint \cdots {\oint }_{\partial V}}}𝐅\cdot d𝐒$	Интеграл дивергенције векторског поља над Шаблон:Mvar-димензионалним чврстим телом -{V}- једнак је флуксу векторског поља кроз Шаблон:Math-димензионалну затворену граничну површину тела.
Теорема ротоара (Келвин–Стоукс)	$\underset{\mathrm{\Sigma }\subset {ℝ}^3}{\iint }(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)\cdot d\mathrm{\Sigma }={\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }}𝐅\cdot d𝐫$	Интеграл кривуље векторског поља преко површине Σ у ${ℝ}^3$ једнак је кружењу векторског поља око затворене криве која ограничава површину.
$\phi$ означава скаларно поље и Шаблон:Mvar означава векторско поље

У две димензије, теореме о дивергенцији и увијању своде се на Гринову теорему:

Гринова теорема векторског рачуна

Теорема	Исказ	Опис
Гринова теорема	$\underset{A\subset {ℝ}^2}{\iint }(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y})dA={\oint }_{\partial A}(Ldx+Mdy)$	Интеграл дивергенције (или завоја) векторског поља преко неког региона -{A}- у ${ℝ}^2$ једнак је флуксу (или циркулацији) векторског поља преко затворене криве која ограничава регион.
За дивергенцију, Шаблон:Math. За ротор, Шаблон:Math. Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar су функције од Шаблон:Math.

Литература

• Sandro Caparrini (2002) "The discovery of the vector representation of moments and angular velocity", Archive for History of Exact Sciences 56:151–81.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Barry Spain (1965) Vector Analysis, 2nd edition, link from Internet Archive.
• Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal

Спољашње везе

• Шаблон:Springer
• Шаблон:Springer
• -{Vector Calculus Video Lectures}-
• -{A survey of the improper use of ∇ in vector analysis}-
• -{Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Vector Analysis}-