Гранична вредност функције

-{x}-	$\frac{\sin x}{x}$
1	0,841471
0,8	0,896695
0,6	0,941071
0,2	0,993347
0,04	0,999733
0,002	0,999999

Иако функција -{(sin x)/x}- није дефинисана за -{x}- = 0, како вредност -{x}- тежи нули вредност функције постаје произвољно близу јединице мада је никада не достиже. Каже се да је 1 гранична вредност ове функције када -{x}- тежи нули.

Гранична вредност функције (лимес функције) је један од основних појмова математичке анализе који се тиче понашања функције у околини неке вредности независне променљиве. Помоћу граничне вредности функције дефинишу се појмови непрекидности, извода и одређеног интеграла. Поред тога значај граничне вредности се огледа у томе што је помоћу ње могуће анализирати понашање и вредност функције у околини неке тачке чак и када функција у самој тој тачки није дефинисана.

Неформално речено, функција има граничну вредност -{L}- у тачки -{p}- када је вредност функције „близу“ -{L}- кад год је вредност независне променљиве „близу“ -{p}-. Другим речима, када се функција примени на вредност довољно близу вредности -{p}-, резултат је произвољно близу вредности -{L}-. Уколико се вредности функције за тачке у околини -{p}- веома разликују (ако се не „стабилизују“ око неке одређене вредности) каже се да функција нема граничну вредност.

Иако је идеја о граничној вредности постојала још од античког времена, углавном у форми геометријске интуиције, прву модерну формулацију граничне вредности функције је дао Болцано у радовима из 1816. и 1817, али су они постали шире познати тек након његове смрти. Коши је први користио граничне вредности у доказима у својој књизи из 1821, међутим како је он дао само вербалну дефиницију лимеса, формална дефиниција, у „епсилон-делта“ форми, се обично приписује Вајерштрасу.

Дефиниција

Нека је -{f}- функција реалне променљиве са вредностима у скупу реалних бројева и нека је тачка -{a}- из проширеног скупа реалних бројева (скуп реалних бројева који укључује негативну и позитивну бесконачност) тачка нагомилавања неког подскупа реалних бројева -{A}-, а -{b}- такође тачка из проширеног скупа реалних бројева. Тачка -{b}- је гранична вредност функције -{f}- у тачки -{a}- (тј. када аргумент функције тежи вредности -{a}-), што се означава као

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b,$

ако за сваку околину -{V(b)}- тачке -{b}- постоји околина -{U(a)}- тачке -{a}- таква да се вредност функције за сваку тачку из -{U(a)}- налази у -{V(b)}-.

Када -{x}- тежи -{a}-, за произвољно изабрану ε-околину тачке -{b}- мора постојати δ-околина тачке -{a}- за чије елементе вредност функције припада ε-околини.

Пошто функција не мора бити дефинисана у самој тачки -{a}-, а гранична вредност не зависи од вредности функције у тој тачки, изнета дефиниција се формално може изразити као

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b⟺(\mathrm{\forall }V(b))(\mathrm{\exists }U(a))f(\stackrel{\circ }{U}(a))\subset V(b),$

где је $\stackrel{\circ }{U}(a)$ околина која не садржи саму тачку -{a}-.

Да би се дата дефиниција изразила на оперативнији начин (који се може директно користити у доказивању одређене граничне вредности) морају се одвојено посматрати случајеви када су -{a}- и/или -{b}- коначне, односно бесконачне вредности. Када су обе вредности коначне важи:

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b⟺(\mathrm{\forall }\epsilon >0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in A)(0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|<\epsilon ).$

Суштина изнете дефиниције је у следећем: ако је дата произвољна вредност ε, којом може да се изрази околина -{V(b)}- преко наведене неједнакости, да би -{b}- била гранична вредност функције када -{x}- тежи -{a}-, мора постојати једна одређена вредност δ којом се може изразити околина -{U(a)}- преко одговарајуће неједнакости. Оваква дефиниција граничне вредности се приписује Вајерштрасу и назива се „епсилон-делта“ дефиницијом (или дефиницијом „на језику околина“).

Гранична вредност је -{L}- када -{x}- тежи позитивној бесконачности: када је -{x}- веће од -{s}-, вредност функције је увек у ε-околини тачке -{L}-.

У случају када -{x}- тежи (позитивној или негативној) бесконачности, а гранична вредност је коначна важи

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=b⟺(\mathrm{\forall }\epsilon >0)(\mathrm{\exists }s>0)(\mathrm{\forall }x\in A)(x>s\Rightarrow |f(x)-b|<\epsilon ),$

односно

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=b⟺(\mathrm{\forall }\epsilon >0)(\mathrm{\exists }s<0)(\mathrm{\forall }x\in A)(x<s\Rightarrow |f(x)-b|<\epsilon ).$

У случају када је гранична вредност бесконачна за коначну вредност независне променљиве дефиниција гласи

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }⟺(\mathrm{\forall }s>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in A)(0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)>s),$

односно

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }⟺(\mathrm{\forall }s<0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in A)(0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)<s).$

Нека је дата функција $\alpha :A\to ℝ$ и ако је $\underset{x\to a}{\lim }\alpha (x)=0.$ Функција α се назива бесконачно малом када -{x}- тежи -{a}-.

Леви и десни лимес

Леви и десни лимес: како -{x}- тежи вредности -{x₀}- са различитих страна лева и десна гранична вредност функције у тачки -{x₀}- се разликују, па иако оба једнострана лимеса постоје, функција нема граничну вредност у тој тачки.

Често се дешава да функција има граничну вредност само са једне стране тачке нагомилавања -{a}-. Ако је дат скуп ${ℝ}_a^{+}\cap A=\{x\in A\mid x>a\}$ и функција $f:A\to ℝ,$ гранична вредност (уколико постоји)

$\underset{{ℝ}_a^{+}\cap A\ni x\to a}{\lim }f(x)\stackrel{\text{def}}{=}\underset{x\to a+0}{\lim }f(x)\stackrel{\text{def}}{=}\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$

назива се десном граничном вредношћу функције -{f}- у тачки -{a}-. Ако је -{a}- = 0, записује се $\underset{x\to +0}{\lim }f(x)$ или $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x).$

Аналогно, за скуп ${ℝ}_a^{-}\cap A=\{x\in A\mid x<a\},$ дефинише се лева гранична вредност са аналогном ознаком

$\underset{{ℝ}_a^{-}\cap A\ni x\to a}{\lim }f(x)\stackrel{\text{def}}{=}\underset{x\to a-0}{\lim }f(x)\stackrel{\text{def}}{=}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x).$

Лимес функције постоји ако и само ако су леви и десни лимес једнаки (под условом да је домен функције такав да има смисла говорити о једностраним лимесима).

Дефиниција помоћу низова

Услов за егзистенцију граничне вредности функције може се дефинисати и преко граничне вредности низа. Тиме се добија алтернативна дефиниција граничне вредности функције која је еквивалентна претходној, „епсилон-делта“ дефиницији.

Гранична вредност реалне функције $f:A\to ℝ$ у тачки -{a}- из проширеног скупа реалних бројева, једнака је вредности -{b}- такође из проширеног скупа реалних бројева ако и само ако за сваки низ (-{x_n}-), такав да је

$x_n\in A\setminus \{a\}(n\in \mathbb{N}),\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a,$

важи

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=b.$

Види још

• Лопиталово правило
• Гранична вредност низа
• Асимптотска сложеност

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• -{Limit}-, -{The Online Encyclopaedia of Mathematics}- Шаблон:Ен
• -{Introduction to Limits}-, видео на Кан академији Шаблон:Ен
• -{The Limit of a Function}- Шаблон:Wayback, јава аплет за испитивање граничне вредности Шаблон:Ен
• -{Limits of Functions}-, објашњења и вежбе (садржи јава аплете за испитивање лимеса) Шаблон:Ен