Вектор

Извор: testwiki
Пређи на навигацију Пређи на претрагу

Шаблон:Друго значење2 Шаблон:Друго значење

Вектор у правцу од -{A}- до -{B}-

Вектор је појам из математике, области линеарна алгебра, који је уведен првенствено да би се разликовале величине које се појављују у природи, а имају правац и смер, те се као такве разликују од величина које имају само интензитет и зову се скалари. Векторске величине су величине одређене са два или више параметара. Најпознатији су примери везани за геометрију у простору где се вектор одређује правцем, смером и интензитетом а представља стрелицом оријентисаном дуж правца, дужине пропорционалне интензитету, а чији врх показује смер на задатом правцу. Генерализовани вектор не мора бити ограничен на три димензије. Вектор у n-димензионалном простору описује се са n параметара.

У математици, физици, и инжењерству, Еуклидов вектор (који се понекад назива геометријским[1] или просторним вектором,[2] или — као што се то чини овде — једноставном вектор) геометријски је објекат који има магнитуду (или дужину) и смер. Вектори се могу додати другим векторима према правилима векторске алгебре. Еуклидов вектор се често представља линијским сегментом са одређеним смером, или графички као стрелица, која повезује почетну тачку A са крајњом тачком B,[3][4] и означава се са AB→.

Физичко тумачење вектора обично се своди на тродимензионални простор. Тако су векторске величине брзина, сила, убрзање, импулс, момент импулса... Скаларне су маса, температура, запремина... Физичке величине чија векторска вредност зависи и од координате називају се тензорске. Оне се математички представљају матрицом, у најпростијем случају 3×3. Тензорским величинама се описују векторске величине у анизотропној средини рецимо код некубичних кристала. Тензорске величине су топлотна проводљивост, електрична проводљивост, дифузиони коефицијент, индекс преламања итд ... Вектор је оно што је неопходно за „преношење” тачке A до тачке B; латинска реч -{vector}- значи „носилац”.[5] Први су га користили астрономи из 18. века који су истраживали планетарну револуцију око Сунца.[6]

Историја

Концепт вектора какав је данас познат, развијао се постепено током више од 200 година. Око десетак људи дало је значајан допринос.[7]

Гиусто Белавитис је 1835. апстраховао основну идеју када је успоставио концепт еквиполенције. Радећи у Еуклидској равни, он је учинио еквиполентним било који пар линијских сегмената исте дужине и оријентације. У суштини, остварио је однос еквиваленције на паровима тачака (битачкама) у равни и тако успоставио први векторски простор у равни.[7]Шаблон:Rp

Дефиниција

Вектор може бити дефинисан уређеним паром тачака. Рецимо да су то -{A}- и -{B}- из Rn. Тада је:

AB→=(B1−A1,B2−A2,…,Bn−An), а
BA→=(A1−B1,A2−B2,…,An−Bn)

Вектор се може представити и са полазном тачком, јединичним вектором који одређује његов смер и интензитетом:

AB→=A+||AB||⋅AB→||AB→||

Ако овде ||AB|| заменимо са λ које може бити било који број из -{R}- дефинисали смо праву која пролази кроз тачку -{A}- а за вектор правца има вектор -{AB}-. Уколико је λ само не-негативно или само не-позитивно, дефинисана је полуправа, са почетком у тачки -{A}-.

Уколико је λ неки број различит од ||AB||, резултат је вектор који је са претходним колинеаран. Ако је нови вектор AB' ово значи да важи:

AB→×AB′→=0→

Нула-вектор

Нула-вектор -{a0}- је вектор чији је интензитет једнак нули. Обележава се као нула са назнаком за вектор.

a0→=0→,|a0→|=0

Јединични вектор

Јединични вектор (орт) је вектор чији је интензитет једнак јединици. За сваки не-нула вектор -{a}- се може одредити одговарајући јединични вектор -{v}- истог правца и смера.

v→=a→|a→|,a→≠0→

Овај поступак се зове нормирање вектора.

Операције над векторима

Над векторима, као и свим осталим елементима аналитичке математике, се могу увести аритметичке операције. При томе се вектор представља као уређена н-торка скалара који припадају неком пољу -{K}-. На пример:

a=(a1,a2,a3,...,an),ai∈K, i=1,...,n

Је један -{n}--димензионални вектор над пољем -{K}-. Појам -{n}--димензионални долази од чињенице да је вектор дефинисан помоћу -{n}- скалара. Простор ових вектора се још назива -{Kn}-, а скалари који чине вектор заједно са информацијом о њиховој позицији у уређеној -{n}--торки координате вектора. На пример a1 је прва координата вектора, a2 је друга координата вектора итд.

Следе основне операције над векторима, које се у принципу дефинишу над векторима истих димензија.

Интензитет вектора

Интензитет вектора се у еуклидској геометрији дефинише као квадратни корен збира квадрата његових координата.

a→=(a1,a2,...,an)∈Kn
|a|=∑k=1nai2=a12+a22+...+an2

Множење вектора скаларом

Множење вектора a→∈Kn неким скаларом α∈K је дефинисано као множење сваке координате ток вектора тим скаларом. Ова операција је комутативна.

α⋅a→ = α⋅(a1,a2,a3,...,an) = :(α⋅a1,α⋅a2,...,α⋅an).

Сабирање вектора

Сабирање вектора
Одузимање вектора

Узмимо два вектора a,b∈Kn:

a→=(a1,...,an)
b→=(b1,...,bn)

Њихово сабирање се дефинише као сабирање компоненти са истим индексима.

+:(Kn,Kn)→Kn
c→=a→+b→,
ci=ai+bi, где је i=1,...,n

При чему ће вектор -{c}- бити из простора Kn. Одузимање вектора би се вршило по сличном принципу:

c→=a→+(−b→)

При чему −b→=(−b1,−b2,...,−bn).

Скаларно множење вектора

Слично сабирању, скаларно множење вектора се дефинише као збир производа свих парова координата два вектора, које имају исте индексе. Овај збир и производ се преузимају из поља -{K}-. Разлика у односу на сабирање је то што је резултат скаларног производа два вектора из -{Kn}- у ствари један скалар из -{K}-. Конкретно за два вектора -{a}- и -{b}- из -{Kn}- би производ -{k}- изгледао овако:

⋅:(Kn,Kn)→K
k=a→⋅b→,k∈K
k=∑k=1nai⋅bi, где је i=1,…,n

Овде треба приметити да је скаларни производ вектора такође једнак

k=a→⋅b→=|a→|⋅|b→|⋅cos⁡ω,

при чему је ω угао између -{a}- и -{b}-.

Ово заправо значи и:

a→⋅b→=0⇒a→⊥b→

То јест да су два вектора нормални, ако им је скаларни производ једнак нули.

Векторски производ

Још један тип производа карактерестичан за тродимензионалне еуклидске просторе (-{E3}-) је векторски производ. Дефинише се на следећи начин:

×:(E3,E3)→E3

a→,b→∈E3
a→×b→=|i→j→k→a1a2a3b1b2b3|=
i→(a2b3−a3b2)−j→(a1b3−a3b1)+k→(a1b2−a2b1)= (a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1)

Јер су i→=(1,0,0), j→=(0,1,0) и :k→=(0,0,1) вектори канонске базе -{E3}-.

Код векторског производа је битно приметити следеће особине:

a→×b→⊥a→,b→, тј. векторски производ два вектора је нормалан на њих саме.
|a→×b→|=|a→||b→|sin⁡ω, где је :ω угао између ова два вектора. Ово заправо значи да је интензитет векторског производа два вектора једнак површини паралелограма кога чине ови вектори.
a→×b→=−(b→×a→), тј. векторски производ није комутативан.
(α⋅a→)×b→=α(a→×b→), где је α∈E. Тј. векторски производ се лепо понаша према множењу скаларом слева.

Мешовити производ

Мешовити производ вектора је тринарна математичка операција која уређену тројку вектора из -{E3}- пресликава у скалар из -{E}-. Записује се са

[a→,b→,c→]

А по дефиницији је:

[a→,b→,c→]=(a→×b→)⋅c→= |a1a2a3b1b2b3c1c2c3|, :a→,b→,c→∈E3

Што значи да је вредност мешовитог производа три вектора једнака запремини паралелопипеда конструисаног над њима. Следе нека основна својства мешовитог производа:

  • [a→,b→,c→]=[b→,c→,a→]=[c→,a→,b→]
  • [a→,b→,c→]=−[b→,a→,c→]=−[a→,c→,b→]=−[c→,b→,a→]
  • [αa→,b→,c→]=α[a→,b→,c→]
  • [a1→+a2→,b→,c→]=[a1→,b→,c→]+[a2→,b→,c→]

Види још

Референце

Шаблон:Reflist

Литература

Шаблон:Литература

Шаблон:Литература крај

Спољашње везе

Шаблон:Commonscat

Шаблон:Подножје

  1. ↑ Шаблон:Harvnb
  2. ↑ Шаблон:Harvnb
  3. ↑ Шаблон:Harvnb
  4. ↑ Шаблон:Harvnb
  5. ↑ Latin: vectus, perfect participle of vehere, "to carry"/ veho = "I carry". For historical development of the word vector, see Шаблон:OED and Шаблон:Cite web
  6. ↑ Шаблон:Cite book
  7. ↑ 7,0 7,1 Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis; see also his Шаблон:Cite web on the subject.
Преузето са „https://sr.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Вектор&oldid=269”