Гринова теорема

У физици и математици, Гринова теорема даје однос између криволинијског интеграла око просте затворене криве -{C}- и двоструког интеграла над области -{D}- ограниченом са -{C}-. То је специјални дводимензионални случај општије Стоксове теореме, а добила је име по британском научнику Џорџу Грину.

Нека је -{C}- позитивно оријентисана, део по део глатка, проста затворена крива у равни и нека је -{D}- област огранична кривом -{C}-. Ако -{L}- и -{M}- имају непрекидне парцијалне изводе на отвореној области која садржи -{D}-, онда

$\underset{C}{\int }Ldx+Mdy=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y})dA$

Некада се црта кружић на симболу за интеграл (${\oint }_C$) да се означи да је крива -{C}- затворена (тада се интеграл назива циркулацијом). За позитивну оријентацију, на овом кругу се може нацртати стрелица у смеру супротном смеру казаљке на сату.

Доказ када је -{D}- проста област

Ако је -{D}- проста област чије се границе састоје од кривих -{C₁, C₂, C₃, C₄}-, може се демонстрирати Гринова теорема.

Следи доказ теореме за поједностављену област -{D}-, област типа -{I}- где су -{C₂}- и -{C₄}- вертикалне линије. Сличан доказ постоји када је -{D}- област типа -{II}-, где су -{C₁}- и -{C₃}- праве линије.

Ако се може показати да су искази

$\underset{C}{\int }Ldx=\underset{D}{\iint }(-\frac{\partial L}{\partial y})dA\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{)}$

и

$\underset{C}{\int }Mdy=\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)dA\mathrm{(}\mathrm{2}\mathrm{)}$

тачни, онда се може доказати Гринова теорема у првом случају.

Област типа -{I}-, -{D}- на слици десно, дефинисана са:

$D=\{(x,y)|a\le x\le b,g_1(x)\le y\le g_2(x)\}$

где су -{g₁}- и -{g₂}- непрекидне функције. Израчунајмо двоструки интеграл из (1):

$\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)dA$	$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{g_1(x)}{\overset{g_2(x)}{\int }}[\frac{\partial L}{\partial y}(x,y)dydx]$
	$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\{L[x,g_2(x)]-L[x,g_1(x)]\}dx\mathrm{(}\mathrm{3}\mathrm{)}$

-{C}- се може записати као унија четири криве: -{C₁, C₂, C₃, C₄}-.

Код -{C₁}-, користимо параметарске једначине: -{x = x, y = g₁(x), a ≤ x ≤ b}-. Тада

$\underset{C_1}{\int }L(x,y)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\{L[x,g_1(x)]\}dx$

Код -{C₃}-, користимо параметарске једначине: -{x = x, y = g₂(x), a ≤ x ≤ b}-. Тада

$\underset{C_3}{\int }L(x,y)dx=-\underset{-C_3}{\int }L(x,y)dx=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}[L(x,g_2(x))]dx$

Интеграл над -{C₃}- се негира, јер иде у негативном правцу од -{b}- до -{a}-, јер је -{C}- оријентисана позитивно (у смеру супротном смеру казаљке на сату). На -{C₂}- и -{C₄}-, -{x}- остаје константно, што значи да

$\underset{C_4}{\int }L(x,y)dx=\underset{C_2}{\int }L(x,y)dx=0$

Стога,

$\underset{C}{\int }Ldx$	$=\underset{C_1}{\int }L(x,y)dx+\underset{C_2}{\int }L(x,y)dx+\underset{C_3}{\int }L(x,y)dx+\underset{C_4}{\int }L(x,y)dx$
	$=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}[L(x,g_2(x))]dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}[L(x,g_1(x))]dx\mathrm{(}\mathrm{4}\mathrm{)}$

Комбиновањем (3) са (4), добијамо (1). На сличан начин добијамо (2).

Види још

• Стоксова теорема
• Криволинијски интеграл

Спољашње везе

• -{Mathworld}-
• Флеш демонстрација Гринове теореме