Криволинијски интеграл

Криволинијски интеграл је интеграл за чију се област интеграције узима одређена крива, најчешће дефинисана у равни или простору. За разлику од обичног одређеног интеграла, за чију се област интеграљења узима одређени правоугаони сегмент простора, криволинијски интеграл омогућава израчунавање интеграла у којем домен функције представљају тачке одређене глатке (или део-по-део глатке) криве. У математици се дефинишу криволинијски интеграли прве и друге врсте. У физици криволинијски интеграли другог реда имају примјену у израчунавању рада који чини нека сила по датој кривој.

Криволинијски интеграл прве врсте

Криволинијски интеграл прве врсте

Ако са $f(x,y,z)$ означимо функцију чији интеграл рачунамо, а са $L$ означимо дату криву, криволинијски интеграл прве врсте се обиљежава на сљедећи начин:

$\underset{L}{\int }f(x,y,z)ds$.

Уколико један крај криве $L$ означимо са $A$, а њен други крај са $B$, криволинијски интеграл прве врсте се обиљежава још и са:

$\underset{AB}{\int }f(x,y,z)ds$.

Дефиниција

Нека је крива $L$ задата параметарски на интервалу $[\alpha ,\beta ]$:

$x=\phi (t),y=\psi (t),z=\chi (t)(t\in [\alpha ,\beta ])$.

Нека је на тој кривој, односно на скупу тачака које је сачињавају, дефинисана функција $f(x,y,z)$.

Можемо формирати подјелу интервала $[\alpha ,\beta ]$ на $n$ дијелова, у сљедећим ознакама:

$\alpha =t_1<t_2<\dots <t_{i-1}<t_i<\dots <t_n=\beta$.

На сваком сегменту $[t_i,t_{i-1}]$ можемо изабрати по једно ${\tau }_i$, од којих свако параметарски одређује по једну тачку $M_i({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$, гдје је ${\xi }_i=\phi ({\tau }_i),{\eta }_i=\psi ({\tau }_i),{\zeta }_i=\chi ({\tau }_i)$. Са $\mathrm{\Delta }{s}_i$ ћемо означити дужину криве на сегменту $[t_i,t_{i-1}]$. Тада имамо сљедећу ознаку:

${\sigma }_1(f,L)=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{s}_i$

Јасно је да ће за различите подјеле интервала горњи израз имати различите вриједности. Нас занима случај када $\mathrm{\Delta }{s}_i$ тежи нули, тј. када је подјела интервала $[\alpha ,\beta ]$ „бесконачно густа“. На тај начин уводимо појам криволинијског интеграла прве врсте: ако постоји неки број $I$, такав да за свако $\epsilon >0$ постоји одређено $\delta >0$ тако да:

$max(\mathrm{\Delta }{s}_i)<\delta \Rightarrow |{\sigma }_1(f,L)-I|<\epsilon$,

тај број $I$ називаћемо криволинијским интегралом прве врсте функције $f$ на кривој $L$. Записује се као што је дато у уводу текста. Крива интеграције се назива још и луком интеграције.

Особине

Криволинијски интеграл прве врсте дијели неке од основних особина са обичним одређеним интегралом.

1. $\underset{L}{\int }(\alpha f(x,y,z)+\beta g(x,y,z))ds=\alpha \underset{L}{\int }f(x,y,z)ds+\beta \underset{L}{\int }g(x,y,z)ds$,
2. Ако је за сваку тачку домена тачно: $f(x,y,z)<g(x,y,z)$, онда важи и: $\underset{L}{\int }f(x,y,z)ds<\underset{L}{\int }g(x,y,z)ds$,
3. $|\underset{L}{\int }f(x,y,z)ds|\le \underset{L}{\int }|f(x,y,z)|ds$,
4. $\underset{AB}{\int }f(x,y,z)ds=\underset{AC}{\int }f(x,y,z)ds+\underset{CB}{\int }f(x,y,z)ds$, ако се тачка $C$ налази између тачака $A$ и $B$.

Супротно криволинијском интегралу друге врсте, код којег постоји појам оријентације, за криволинијски интеграл прве врсте важи сљедеће:

$\underset{AB}{\int }f(x,y,z)ds=\underset{BA}{\int }f(x,y,z)ds$.

Рачунање

Криволинијски интеграл прве врсте, у складу са ознакама из одјељка „Дефиниција“, израчунава се помоћу сљедеће формуле:

$\underset{AB}{\int }f(x,y,z)ds=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(\phi (t),\psi (t),\chi (t))\sqrt{\phi {\text{'}}^2(t)+\psi {\text{'}}^2(t)+\chi {\text{'}}^2(t)}dt$

Услови за коришћење ове формуле су да је функција $f$ непрекидна и ограничена на кривој $L$ и да је крива $L$ глатка и без сингуларних тачака. Формула важи и у случајевима када је крива дио-по-дио глатка и функција дио-по-дио непрекидна.

Криволинијски интеграл друге врсте

Криволинијски интеграл друге врсте

Дефиниција

Нека је крива $L$ задата параметарски на интервалу $[\alpha ,\beta ]$:

$x=\phi (t),y=\psi (t),z=\chi (t)(t\in [\alpha ,\beta ])$.

Нека су на тој кривој, односно на скупу тачака које је сачињавају, дефинисане функције $P(x,y,z),Q(x,y,z)$ и $R(x,y,z)$.

Можемо формирати подјелу интервала $[\alpha ,\beta ]$ на $n$ дијелова, у сљедећим ознакама:

$\alpha =t_1<t_2<\dots <t_{i-1}<t_i<\dots <t_n=\beta$.

На сваком сегменту $[t_i,t_{i-1}]$ можемо изабрати по једно ${\tau }_i$, од којих свако параметарски одређује по једну тачку $M_i(x_i,y_i,z_i)$, гдје је $x_i=\phi ({\tau }_i),y_i=\psi ({\tau }_i),z_i=\chi ({\tau }_i)$. Са $\mathrm{\Delta }{x}_i$ ћемо означити разлику $x_i-x_{i-1}$, и аналогно $\mathrm{\Delta }{y}_i$ и $\mathrm{\Delta }{z}_i$ Тада имамо сљедеће ознаке:

${\sigma }_2(P,L)=\sum _{i=1}^{n}P(x_i,y_i,z_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$

${\sigma }_3(Q,L)=\sum _{i=1}^{n}Q(x_i,y_i,z_i)\mathrm{\Delta }{y}_i$

${\sigma }_4(R,L)=\sum _{i=1}^{n}R(x_i,y_i,z_i)\mathrm{\Delta }{z}_i$

У нареднон тексту говорићемо о ${\sigma }_2(P,L)$, имајући на уму да важе аналогне ознаке и за ${\sigma }_3$ и ${\sigma }_4$. Јасно је да ће за различите подјеле интервала горњи израз ${\sigma }_2$ имати различите вриједности. Нас занима случај када $\mathrm{\Delta }{x}_i$ тежи нули, тј. када је подјела интервала $[\alpha ,\beta ]$ „бесконачно густа“. На тај начин, ако постоји неки број $I$, такав да за свако $\epsilon >0$ постоји одређено $\delta >0$ тако да:

$max(\mathrm{\Delta }{x}_i)<\delta \Rightarrow |{\sigma }_2(P,L)-I|<\epsilon$,

тај број $I$ називаћемо криволинијским интегралом друге врсте функције $P$ на кривој $L$. Записује се на сљедећи начин:

$\underset{L}{\int }P(x,y,z)dx$, или само:

$\underset{L}{\int }Pdx$.

Аналогно се дефинишу интеграли $\underset{L}{\int }Qdy$ и $\underset{L}{\int }Rdz$. Најчешће се посматрају збирови ових интеграла:

$\underset{L}{\int }Pdx+\underset{L}{\int }Qdy+\underset{L}{\int }Rdz$,

који се обично обиљежавају као:

$\underset{L}{\int }Pdx+Qdy+Rdz$. (1)

Ако усвојимо ознаку векторске функције $\overrightarrow{r}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$, односно $\overrightarrow{r}=(P,Q,R)$, тада ознаку (1) називамо (општим) криволинијским интегралом другог реда функције $\overrightarrow{r}$.

У случају да је крива $L$ затворена, тј. да је $A=B$, говоримо о циркулацији и дефинисани интеграл обиљежавамо са:

$\underset{L}{\oint }Pdx+Qdy+Rdz$,

премда ово није обавезно срести у литератури, јер се понекад сматра сувишним.

Особине

За разлику од криволинијског интеграла првог реда, код којег не постоји појам оријентације и код којег важи особина:

$\underset{AB}{\int }f(x,y,z)ds=\underset{BA}{\int }f(x,y,z)ds$,

код криволинијског интеграла другог реда важи особина:

$\underset{AB}{\int }Pdx+Qdy+Rdz=-\underset{BA}{\int }Pdx+Qdy+Rdz$.

Ова особина настаје као посљедица дефиниције криволинијског интеграла и чињенице да је $x_i-x_{i-1}=-(x_{i-1}-x_i)$. На тај начин, није свеједно да ли интеграције вршимо у једном или другом смјеру криве, а ту особину интеграла другог реда називамо оријентабилношћу, односно оријентацијом криве.

Рачунање

Формула за израчунавање вриједности криволинијског интеграла другог реда функције $P$ (аналогно за $Q,R$, у складу са ознакама у пододјељку „Дефиниција“ овог одјељка) јесте сљедећа:

$\underset{AB}{\int }P(x,y,z)dx=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}P(\phi (t),\psi (t),\chi (t)){\phi }^{\prime }(t)$

Формула важи уколико је функција $P(x,y,z)$ непрекидна на кривој $AB$, а крива $AB$ глатка и без сингуларних тачака. Она такође важи уколико је поменута крива дио-по-дио глатка, а функција $P$ дио-по-дио непрекидна.

У случају затворене дводимензионалне криве, тј. криве смјештене у равни, и под одређеним условима, криволинијски интеграл друге врсте може се рачунати и користећи Гринову теорему.

Независност интеграције од путање

Јасно је да ће у општем случају вриједност криволинијског интеграла другог реда зависити од облика криве интеграције $L$, тј. њене „путање“. Понекад то, међутим, није тако и вриједност интеграла ће зависити само од почетне и крајње тачке, а бити потпуно независна од међутачака, тј. од облика криве. Наиме, важи сљедећа теорема, која има своје примјене у науци и техници:

Сљедећи искази су еквивалентни:

• За векторску функцију $\overrightarrow{r}=(P,Q,R)$ постоји функција $u$, таква да је $({u_x}^{\prime },{u_y}^{\prime },{u_z}^{\prime })=(P,Q,R)$
• Криволинијски интеграл $\underset{AB}{\int }Pdx+Qdy+Rdz$ не зависи од путање, него само од тачака $A$ и $B$. Вриједност интеграла у том случају биће $u(B)-u(A)$
• Циркулација $\underset{L}{\oint }Pdx+Qdy+Rdz$ по произвољној затвореној путањи је једнака нули.

Види још

• Површински интеграл

Литература

• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• Примјене и задаци везани за криволинијске интегралеШаблон:Мртва веза