Ротор (математика)

Ротор векторског поља дефинише се као:$rot(\overrightarrow{v})=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ v_x& v_y& v_z\end{array}\right|$, где је $\overrightarrow{v}(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}{v}_x(x,y,z)\\ v_y(x,y,z)\\ v_z(x,y,z)\end{array}\right)$- вектор чије су компоненте функције Декартових координата.

Доказ

Векторско поље на инфинитезималним декартовим контурама

Како се ротор векторског поља увек рачуна за вртложна поља, тј. поља са вртлогом бар у једној тачки, то нас занима гранични процес за малу контуру правоугаоног облика у $xOy$ равних ивица $\mathrm{\Delta }x$ и $\mathrm{\Delta }y$ као на слици, како би добили z-компоненту ротора векторског поља у датој тачки

$rot(\overrightarrow{v}{)}_z=\underset{\mathrm{\Delta }S\to 0}{\lim }\frac{\oint \overrightarrow{v}\overrightarrow{dr}}{\mathrm{\Delta }S}$, где је $\oint \overrightarrow{v}\overrightarrow{dr}$- циркулација векторског поља по контури површине $\mathrm{\Delta }S=\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y$, $\underset{\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\to 0}{\lim }\frac{-v_x(x,y,z)\mathrm{\Delta }x+v_x(x,y+\mathrm{\Delta }y,z)\mathrm{\Delta }x+v_y(x,y,z)\mathrm{\Delta }y-v_y(x+\mathrm{\Delta }x,y,z)\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y}$=

$\underset{\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\to 0}{\lim }\frac{-\frac{\partial v_x(x,y,z)}{\partial y}\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y+\frac{\partial v_y(x,y,z)}{\partial x}\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y}=-\frac{\partial v_x(x,y,z)}{\partial y}+\frac{\partial v_y(x,y,z)}{\partial x}$, добили смо $z$

компоненту ротора векторског поља $rot(\overrightarrow{v}{)}_z$. Поступак се понавља за контуру у xOz равни или за $rot(\overrightarrow{v}{)}_y$, односно контуру yOz или за $rot(\overrightarrow{v}{)}_x$, те се добија почетно тврђење.

Ротор у генералисаним координатама

При одређеним симетријама проблема, на пример, цилиндричним или сферним, једноставније је посматрати ротор у генералисаним координатама. $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v}=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}\left|\begin{array}{ccc}{h}_1{\overrightarrow{e}}_1& h_2{\overrightarrow{e}}_2& h_3{\overrightarrow{e}}_3\\ \frac{\partial }{\partial q_1}& \frac{\partial }{\partial q_2}& \frac{\partial }{\partial q_3}\\ h_1{v}_1& h_2{v}_2& h_3{v}_3\end{array}\right|$

Доказ

.$rot(\overrightarrow{v})=rot(\overrightarrow{v}{)}_1\cdot {\overrightarrow{e}}_1+rot(\overrightarrow{v}{)}_2\cdot {\overrightarrow{e}}_2+rot(\overrightarrow{v}{)}_3\cdot {\overrightarrow{e}}_3$ , где су $rot(\overrightarrow{v}{)}_i=rot(\overrightarrow{v})\cdot {\overrightarrow{e}}_i$$,i=1,2,3$-компоненте ротора дуж генералисаних ортова ${\overrightarrow{e}}_i=\frac{1}{h_i}\frac{\partial \overrightarrow{r}}{d{q}_i}$, $h_i=\sqrt{\frac{\partial \overrightarrow{r}}{d{q}_i}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{r}}{d{q}_i}}$, па се компонента $rot(\overrightarrow{v}{)}_1$рачуна као $rot(\overrightarrow{v}{)}_3=\underset{\mathrm{\Delta }S\to 0}{\lim }\frac{\oint \overrightarrow{v}\overrightarrow{dr}}{\mathrm{\Delta }S}$ ,$\overrightarrow{\mathrm{\Delta }S}=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{d{q}_1}\times \frac{\partial \overrightarrow{r}}{d{q}_2}\mathrm{\Delta }{q}_1\mathrm{\Delta }{q}_2=h_1{h}_2{\overrightarrow{e}}_{q_1}\times {\overrightarrow{e}}_{q_2}\mathrm{\Delta }{q}_1\mathrm{\Delta }{q}_2$, стим да су Ламеови коефициенти $h_1$и $h_2$ функције генералисаних координата.

$\underset{\mathrm{\Delta }S\to 0}{\lim }\frac{\oint \overrightarrow{v}\overrightarrow{dr}}{\mathrm{\Delta }S}=\underset{\mathrm{\Delta }S\to 0}{\lim }\frac{-v_1(q_1,q_2,q_3)h_1(q_1,q_2,q_3)+v_1(q_1,q_2+\mathrm{\Delta }{q}_2,q_3)h_1(q_1,q_2+\mathrm{\Delta }{q}_2,q_3)+v_2(q_1,q_2,q_3)h_2(q_1,q_2,q_3)-v_2(q_1,q_2+\mathrm{\Delta }{q}_1,q_3)h_2(q_1,q_2+\mathrm{\Delta }{q}_1,q_3)}{h_1{h}_2\mathrm{\Delta }{q}_1\mathrm{\Delta }{q}_2}$

$\underset{\mathrm{\Delta }{q}_1\mathrm{\Delta }{q}_2\to 0}{\lim }\frac{-\frac{\partial (h_1{v}_1(q_1,q_2,q_3))}{\partial q_2}\mathrm{\Delta }{q}_1\mathrm{\Delta }{q}_2+\frac{\partial (h_2{v}_2(q_1,q_2,q_3))}{\partial q_1}\mathrm{\Delta }{q}_1\mathrm{\Delta }{q}_2}{h_1{h}_2\mathrm{\Delta }{q}_1\mathrm{\Delta }{q}_2}=-\frac{\partial (h_1{v}_1(q_1,q_2,q_3))}{h_1{h}_2\partial q_2}+\frac{\partial (h_2{v}_2(q_1,q_2,q_3))}{h_1{h}_2\partial q_1}$добили смо компоненту ротора $rot(\overrightarrow{v})\cdot {\overrightarrow{e}}_{q_3}=-\frac{\partial (h_1{v}_1(q_1,q_2,q_3))}{h_1{h}_2\partial q_2}+\frac{\partial (h_2{v}_2(q_1,q_2,q_3))}{h_1{h}_2\partial q_1}$па цикличном пермуацијом координата добијамо остале компоненте, што се концизно изражава као:

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v}=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}\left|\begin{array}{ccc}{h}_1{\overrightarrow{e}}_1& h_2{\overrightarrow{e}}_2& h_3{\overrightarrow{e}}_3\\ \frac{\partial }{\partial q_1}& \frac{\partial }{\partial q_2}& \frac{\partial }{\partial q_3}\\ h_1{v}_1& h_2{v}_2& h_3{v}_3\end{array}\right|$

Магнетно поље око бесконачног праволинјског проводника са континуалном расподелом тока електрицитета

Ово поље задовољава цилиндричну симетрију јер се особине система не мњају ротацијом око осе проводника за произвољни угао, те магнетно поље,- В не зависи од азимуталног угла -φ и описује се диференцијалном једначином: :$rot(\overrightarrow{B})={\mu }_0\overrightarrow{j}$, где је - а ј- густина електричне струје, μ₀ - магнетна пропустљивост вакуума. Услед цилиндричне симетрије, горња једначина постаје:${\mu }_0\overrightarrow{j}=\frac{1}{1\cdot \rho \cdot 1}\left|\begin{array}{ccc}1\cdot {\overrightarrow{e}}_{\rho }& \rho {\overrightarrow{e}}_{\varphi }& 1\cdot \overrightarrow{k}\\ \frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \varphi }& \frac{\partial }{\partial z}\\ 1\cdot B_{\rho }& \rho B_{\varphi }& 1\cdot B_z\end{array}\right|$=> ${\mu }_{0}j=\frac{\partial \left(\rho B_{\varphi }\right)}{\rho \partial \rho }$,

Појам векторског магнетног потенцијала

Интеграција по затвореној струјној контури

Из Био Саваровог закона у интегралном облику:$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{C}{\oint }\frac{Id\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{R}}{R^3}$, где је I- јачина електричне струје кроз проводну контуру С, $d\overrightarrow{l}$-инфинитезимална промена вектора положаја по контури С,$\overrightarrow{R}=\overrightarrow{r}-\overrightarrow{l}$, $\overrightarrow{r}$- вектор положаја тачке у којој се посматра магнетно поље струјне контуре С, $\overrightarrow{l}$- вектор положаја који шета по контури.

Како је $\frac{\overrightarrow{R}}{R^3}=-\mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{R}\right)$ за $\mathrm{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial }{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{k}$и $d\overrightarrow{l}\times -\mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{R}\right)=\mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{R}\right)\times d\overrightarrow{l}$то магнетно поље можемо изразити као $\overrightarrow{B}=rot\overrightarrow{A}$, где је $\overrightarrow{A}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{C}{\oint }\frac{Id\overrightarrow{l}}{R}$

одавде следи да је Магнетно поље вртложно јер је његова дивргенција једнака 0,$div(rot\overrightarrow{A})=0$

Доказ

$div(rot\overrightarrow{A})=[\mathrm{\nabla },\mathrm{\nabla },\overrightarrow{A}]=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}=-\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A}$, али како је $\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }=0$, јер је векторски производ колинеарних вектора увек 0 следи почетно тврђење.

Спољашње везе

• Шаблон:Springer
• Идеја ротора у векторском пољу
• Објашњење ротора