Лапласов оператор

Лапласов оператор, у математици, је елиптички диференцијални оператор другог реда. Има бројне примене широм математике, те у физици, електростатици, квантној механици, обради снимака, итд. Назван је по француском математичару Пјеру Симону Лапласу.

Имајући у виду појмове дивергенције и градијента, за дату скаларну функцију $u=u(x,y,z)$, биће:

$divgradu=(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2})$,

што се може написати као:

$divgradu=(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2},\frac{{\partial }^2}{\partial y^2},\frac{{\partial }^2}{\partial z^2})u$.

Десна страна последњег израза, без ознаке за функцију $u$, представља Лапласов оператор и обележава се са делта - Δ:

$\mathrm{\Delta }=(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2},\frac{{\partial }^2}{\partial y^2},\frac{{\partial }^2}{\partial z^2})$.

Користећи оператор набла, тај израз можемо записати као:

${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\varphi ).$

Координатни изрази

У једнодимензионалном и дводимензионалном Декартовом координатном систему Лапласов оператор је:

${\mathrm{\Delta }}_1\equiv {\mathrm{\nabla }}_1^2=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2},{\mathrm{\Delta }}_2\equiv {\mathrm{\nabla }}_2^2=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}.$

У тродимензионалном Декартовом координатном систему је :

${\mathrm{\Delta }}_3\equiv {\mathrm{\nabla }}_3^2=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}.$

У тродимензионалном цилиндричном координатном систему је:

${\mathrm{\nabla }}^{2}t=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial t}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}t}{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\partial }^{2}t}{\partial z^2}$

У тродимензионалном сферном координатном систему је :

${\mathrm{\nabla }}^{2}t=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial t}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial t}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}t}{\partial {\varphi }^2}$

У Еуклидском простору ${ℝ}^n$ Лапласов оператор је дат у стандардним координатама као

${\mathrm{\Delta }}_n={\mathrm{\nabla }}_n^2=\sum _{j=1}^n\frac{{\partial }^2}{\partial x_i^2}$.

Лапласов оператор у општим криволинијским координатама дан је са:

${\mathrm{\nabla }}^{2}f(q_1,q_2,q_3)=\mathrm{div}\mathrm{grad}f(q_1,q_2,q_3)=$

$=\frac{1}{H_1{H}_2{H}_3}[\frac{\partial }{\partial q_1}\left(\frac{H_2{H}_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1}\right)+\frac{\partial }{\partial q_2}\left(\frac{H_1{H}_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2}\right)+\frac{\partial }{\partial q_3}\left(\frac{H_1{H}_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3}\right)],$

где су $H_i$ Ламеови коефицијенти.

У случају Римановога криволинијскога простора дефинисанога метричким тензором $g_{ij}$ Лапласијан је дан са:

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{\sqrt{g}}\sum _{i=1}^n\frac{\partial }{\partial x^i}(\sqrt{g}\sum _{k=1}^n{g}^{ik}\frac{\partial f}{\partial x^k})$

а метрика простора дефинисана је са:

$d{s}^2=\sum _{i,j=1}^n{g}_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$ .

Својства

Лапласов оператор је линеаран:

${\mathrm{\nabla }}^2(f+g)={\mathrm{\nabla }}^{2}f+{\mathrm{\nabla }}^{2}g.$

Такође важи :

${\mathrm{\nabla }}^2(fg)=({\mathrm{\nabla }}^{2}f)g+2(\mathrm{\nabla }f)\cdot (\mathrm{\nabla }g)+f({\mathrm{\nabla }}^{2}g).$

Уопштења

Лапласов оператор се може уопштити на више начина. Даламберов оператор је дефинисан на простору Минковског. Лаплас-Белтрамијев оператор је елиптички диференцијални оператор другог реда дефинисан на свакој Римановој многострукости. Лаплас-де Рамов оператор дејствује на просторима диференцијалних форми на псеудо-Римановим површима.