Инверзне тригонометријске функције

Инверзне тригонометријске функције су -{arcsin}- x (аркус синус икс), -{arccos}- x (аркус косинус), -{arctg}- x (аркус тангенс), -{arcctg}- x (аркус котангенс). Оне су инверзне тригонометријским функцијама -{sin}- x (синус икс), -{cos}- x (косинус), -{tg}- x (тангенс), -{ctg}- x (котангенс). Префикс аркус им долази од латинске речи -{arcus}- - лук, угао. Називају се и циклометријске функције. У неким земљама пишу их на уобичајен, општи начин за инверзне функције: -{sin}-^-1x, -{cos}-^-1x, -{tg}-^-1x, -{ctg}-^-1x.

Поред ових постоје и инверзне тригонометријске функције аркус секанс (-{arcsec}- x) и аркус косеканс (-{arccsc}- x). Оне су инверзне тригонометријским функцијама секанс (-{sec}- x) и косеканс (-{csc}- x), које се мало ређе употребљавају. Њихове особине су детаљије описане уз појам: Равнинска тригонометрија.

Нотација

Постоји неколико записа за инверзне тригонометријске функције. Најчешћа конвенција је да се инверзне тригонометријске функције именују помоћу префикса -{arc}-: Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, etc. (Ова конвенција се користи у целом овом чланку.) Ова ознака произлази из следећих геометријских односа: при мерењу у радијанима, угао од θ радијана ће одговарати луку чија је дужина -{rθ}-, где је -{r}- полупречник круга. Тако је у јединичном кругу „лук чији је косинус x“ исти као „угао чији косинус је x“, јер је дужина лука круга у радијусима иста као и мерење угла у радијанима. У програмским језицима за рачунаре, инверзне тригонометријске функције често се називају скраћеним облицима -{asin, acos, atan}-.

Ознаке Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, etc, које је увео Џон Хершел 1813. године, често се користе и у изворима на енглеском језику - конвенције конзистентне са записом инверзне функције. Ово би могло изгледати логички у супротности са уобичајеном семантиком израза као што је Шаблон:Math, који се односе на нумеричку моћ, а не на састав функције, те стога може довести до забуне између мултипликативне инверзне или реципрочне и композиционо инверзне. Забуну донекле ублажава чињеница да свака од реципрочних тригонометријских функција има своје име - на пример, Шаблон:Math = Шаблон:Math. Ипак, неки аутори не саветују да се користи због њене двосмислености. Још једна конвенција коју користи неколико аутора је да се користи велико прво слово, заједно са Шаблон:Math суперскриптом: Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, etc. Ово потенцијално избегава забуну са мултипликативном инверзијом, која би требало да буде представљена са Шаблон:Math, Шаблон:Math, etc.

Од 2009. године стандард -{ISO 80000-2}- наводи само префикс „arc” за инверзне функције.

Основни концепти

Главне вредности

Тригонометријске функција нису узајамно инјективне, и стога се морају ограничити да би имале инверзне функције. Према томе, распони резултата инверзних функција су прави подскупови домена изворних функција.

На пример, коришћење функције у смислу вишезначних функција, баш као што би се могла дефинисати функција квадратног корена $y=\sqrt{x}$ од $y^2=x,$, функција $y=\arcsin (x)$ је дефинисанa тако да је $\sin (y)=x.$ За дати реални број $x,$ са $-1\le x\le 1,$ постоји више (заправо, пребројива бесконачност) бројева $y$ таквих да је $\sin (y)=x$; на пример, $\sin (0)=0,$ али је и $\sin (\pi )=0,$ $\sin (2\pi )=0,$ итд. Када се жели само једна вредност, функција може бити ограничена на њену главну грану. Са овим ограничењем, за свако $x$ у домену, израз $\arcsin (x)$ ће се проценити само на једну вредност, која се назива његова главна вредност. Ова својства се примењују на све инверзне тригонометријске функције.

Главне инверзне вредности су наведене у следећој табели.

Назив	Уобичајена ознака	Дефиниција	Домен од $x$ за реалан резултат	Опсег уобичајене главне вредности (radians)	Опсег уобичајене главне вредности (степени)
arcsine	$y=\arcsin (x)$	Шаблон:Math	$-1\le x\le 1$	$-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}$	$-90^{\circ }\le y\le 90^{\circ }$
arccosine	$y=\arccos (x)$	Шаблон:Math	$-1\le x\le 1$	$0\le y\le \pi$	$0^{\circ }\le y\le 180^{\circ }$
arctangent	$y=\arctan (x)$	Шаблон:Math	сви реални бројеви	$-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}$	$-90^{\circ }<y<90^{\circ }$
arccotangent	$y=\mathrm{arccot}(x)$	Шаблон:Math	сви реални бројеви	$0<y<\pi$	$0^{\circ }<y<180^{\circ }$
arcsecant	$y=\mathrm{arcsec}(x)$	Шаблон:Math	$x\le -1\text{ or }x\ge 1$	$0\le y<\frac{\pi }{2}\text{ or }\frac{\pi }{2}<y\le \pi$	$0^{\circ }\le y<90^{\circ }\text{ or }90^{\circ }<y\le 180^{\circ }$
arccosecant	$y=\mathrm{arccsc}(x)$	Шаблон:Math	$x\le -1\text{ or }x\ge 1$	$-\frac{\pi }{2}\le y<0\text{ or }0<y\le \frac{\pi }{2}$	$-90^{\circ }\le y<0^{\circ }\text{ or }{0}^{\circ }<y\le 90^{\circ }$

(Напомена: Неки аутори дефинишу опсег arcsecant да је ($0\le y<\frac{\pi }{2}\text{ or }\pi \le y<\frac{3\pi }{2}$), јер је тангентна функција на овом домену неонегативна. Ово чини неке прорачуне доследнијим. На пример, користећи овај опсег, $\tan (\mathrm{arcsec}(x))=\sqrt{x^2-1},$ док је у опсегу ($0\le y<\frac{\pi }{2}\text{ or }\frac{\pi }{2}<y\le \pi$), се записује као $\tan (\mathrm{arcsec}(x))=\pm \sqrt{x^2-1},$ јер је тангента ненегативна на $0\le y<\frac{\pi }{2},$ али непозитивна на $\frac{\pi }{2}<y\le \pi .$ Из слично разлога, исти аутори дефинишу опсег функције arccosecant као $-\pi <y\le -\frac{\pi }{2}$ или $0<y\le \frac{\pi }{2}.$)

Ако је $x$ комплексан број, онда је опсег $y$ применљив само на њен реални део.

Литература

• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• Шаблон:MathWorld