Секанс

Шаблон:Функција Секанс је тригонометријска функција изведена из функције косинуса.

Дефиниција гласи:

$\sec x=\frac{1}{\cos x}$

Веза са косекансом

$\sec x=\mathrm{cosec}(\pi /2-x)$

док је Питагорин идентитет, идентитет заснован на Питагориној теореми, који повезује тригонометријске функције

$1+{\tan }^2(\alpha )={\sec }^2(\alpha )$

Као и остале тригонометријске функције и секанс представља однос између двеју страница правоуглог троугла. Секанс је однос хипотенузе и налегле катете. (Сл.1.)

$\sec \varphi =\frac{r}{x}$ Сл.1. Тригонометријски троугао

На тригонометријском кругу је вредност секанса једнака величини следеће дужи

$\sec \varphi =\overline{OE}$ Сл.2. Тригонометријска кружница

Неке карактеристичне вредности

степени	0°	30°	45°	60°	90°
радијана	0	$\pi /6$	$\pi /4$	$\pi /3$	$\pi /2$
$\sec \varphi$	$1$	$\frac{2}{3}\sqrt{3}$	$\sqrt{2}$	$2$	$\pm \mathrm{\infty }$

Репрезентација функције

Представљање функције у виду Тејлоровог реда у околини тачке $x=0$

$\sec x=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\frac{61x^6}{720}+\cdots \text{za}|x|<\frac{\pi }{2}$

односно уопштено

$\sec x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}\text{ za }|x|<\frac{\pi }{2}$

где су $E_k$ у формули Ојлерови бројеви.

Могуће је такође представити и у виду

$\sec (x)=\pi \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(8k+4)}{(2k+1{)}^2{\pi }^2-4x^2}\text{ za }|x|<\frac{\pi }{2}$

Особине функције

Детаљном анализом се могу утврдити карактеристичне особине функције.

• Област дефинисаности функције:

функција је дефинисана у скупу реалних бројева $ℝ$, сем у пребројиво много тачака где има прекиде

$-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty };x\ne (n+\frac{1}{2})\cdot \pi ;n\in \mathbb{Z}$

• Област вредности функције:

функција узима вредности у опсегу реалних бројева, сем у области -1 до 1

$-\mathrm{\infty }<\sec (x)\le -1\cup 1\le \sec (x)<+\mathrm{\infty }$

• Парност

функција је парна

$\sec (-x)=\sec (x)$

• Периодичност

функција је периодична са основном периодом 2π

$\sec (x+2\pi )=\sec (x)$

• Асимптоте

функција има вертикалне асимптоте у тачкама

$x=(n+\frac{1}{2})\cdot \pi ;n\in \mathbb{Z}$

функција нема хоризонталне и косе асимптоте

• Нуле функције

функција нема нуле

• Монотоност функције
• Екстремуми

нема глобални екстремум

локални минимум

$\sec (2n\cdot \pi )=1;n\in \mathbb{Z}$

локални максимум

$\sec ((2n+1)\cdot \pi )=-1;n\in \mathbb{Z}$

• Конвексност и конкавност функције

функција је конвексна у интервалу

$-\pi /2+2n\pi <x<\pi /2+2n\pi ;n\in \mathbb{Z}$

функција је конкавна у интервалу

$\pi /2+2n\pi <x<3\pi /2+2n\pi ;n\in \mathbb{Z}$

• Превојне тачке

функција нема превојне тачке

Извод функције

Први извод функције је

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec (x)=\sec (x)\cdot \tan (x)=\frac{{\sec }^2(x)}{\mathrm{cosec}(x)}$

Интеграл

Неодређени интеграл функције

$\int \sec (x)\mathrm{d}x=\ln \left|\frac{1+\sin (x)}{\cos (x)}\right|=\ln |\sec (x)+\tan (x)|$

Историја

Први пут се скраћеница -{sec}- појављује 1626. године у књизи Албера Жерара о тригонометрији.

Спољашње везе

• Функција секанса на -{wolfram.com}-

Литература

• Бронштајн, Семендјајев, Справочник по математике дља инжењеров и учахчихсја втузов, Москва, »Наука«, 1980