Хиперболична тригонометрија

Хиперболична тригонометрија има своју улогу у геометрији Лобачевског. Користи се за проучавање отпорности материјала, у електротехници, статичким прорачунима висећих мостова у грађевинарству и другим гранама науке. У математици се хиперболичне функције користе, на пример, за решавање интеграла где се појављује $1+x^2,$ за разлику од облика $1-x^2,$ где се користи обична, тј. равнинска тригонометрија.

Дефиниција

Хиперболични троугао се састоји од три неколинеарне тачке и три сегмента међу њима.

Хиперболичне функције

Хиперболичне функције је увео у употребу италијански математичар Винченцо Рикати. Он је користио ознаке Sh. и Ch. за хиперболни синус и косинус. Теорију је даље развио Ламберт (Histoire de l'académie Royale des sciences et des belles-lettres de Berlin, том. XXIV. стр. 327 (1768)), негде око 1771, употребљавајући sinh и cosh. Код нас се за хиперболне функције користе ознаке sh x, ch x, th x, cth x, sech x, cosech x, али овде следимо скраћенице које подржава Википедијин софтвер, тј. Латех, а то су уобичајене англосаксонске ознаке.

Дефиниција хиперболичних функција

Синус хиперболични, косинус хиперболични и тангенс хиперболични одређени су формулама:

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},$

$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},$

$\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}.$

• Сл.1. Граф синуса хиперболичног (плаве боје, доњи), и косинус (црвен, изнад)
  Сл.1. Граф синуса хиперболичног (плаве боје, доњи), и косинус (црвен, изнад)
• Сл.2. Граф тангенса хиперболичног (плав)
  Сл.2. Граф тангенса хиперболичног (плав)
• Сл.3. Граф котангенса хиперболичног (црвен)
  Сл.3. Граф котангенса хиперболичног (црвен)

Котангенс хиперболични, секанс хиперболични и косеканс хиперболични су реципрочне вредности:

$\coth x=\frac{1}{\tanh x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}},$

$sechx=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}},$

$cschx=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}.$

• Сл.4. Граф секанса хиперболичног (црвен)
  Сл.4. Граф секанса хиперболичног (црвен)
• Сл.5. Граф косеканса хиперболичног (плав)
  Сл.5. Граф косеканса хиперболичног (плав)

Геометријско одређивање хиперболичних функција аналогно је одређивању тригонометријских функција синус, косинус, тангенс (в. равнинска тригонометрија).

Геометријско одређивање

У тригонометријском кругу дефинисане су функције $\sin x,\cos x,\tan x$ као одсечци BC, OB, AD (полупречник r=1), а угао α је централни угао AOC. Исти угао смо могли дефинисати и као површину P_k двоструког кружног исечка COK (сл.6. шрафирано).

• Сл.6. Тригонометријска кружница
  Сл.6. Тригонометријска кружница
• Сл.7. Тригонометријска хипербола
  Сл.7. Тригонометријска хипербола

Наиме, када је угао AOC, тј. α у радијанима, тада двоструки централни исечак COK има површину $P_k=\frac{1}{2}{r}^2\cdot 2\alpha =\alpha .$ Узимајући аналогну функцију површине, али не за кружницу $x^2+y^2=1,$ него за истострану хиперболу $x^2-y^2=1,$ и означавајући са $P_h=x$ површину аналогног сектора COK (шрафирано на сл.7.), дефинишемо хиперболне функције: sh x = BC, ch x = OB, th x = AB, односно истим редом sinh x, cosh x, tanh x, тј. синус, косинус и тангенс хиперболни.

Када се израчуна површина х (в. одређени интеграл) добијају се изрази за BC, OB, AD:

$x=\ln (BC+\sqrt{B{C}^2+1})=\ln (OB+\sqrt{O{B}^2-1})=\frac{1}{2}\ln \frac{1+AD}{1-AD},$

дакле за хиперболне функције добијамо претходно наведене изразе у експоненцијалном облику:

$BC=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x,$

$OB=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x,$

$AD=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\tanh x.$

Тригонометријске везе

$\sin z=-i\sinh z,\sinh z=-i\sin iz,$

$\cos z=i\cosh z,\cosh z=i\cos iz,$

$\tan z=-i\tanh z,\tanh z=-i\tan iz,$

$\cot z=i\sinh z,\coth z=i\cot iz.$

Свака формула која повезује хиперболичне функције аргумента х или ах, али не ax+b, може се добити из одговарајуће формуле која повезује обичне тригонометријске функције угла z заменом $\sin z$ са $i\sinh x$ и заменом $\cos z$ са $\cosh x.$ На пример:

${\cos }^{2}z+{\sin }^{2}z=1$ прелази у ${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1,$

$\sin 2z=2\sin y\cos z,$ прелази у $\sinh 2x=2\sinh x\cosh x.$

Основне формуле

За хиперболне функције вреде формуле аналогне формулама за функције обичне тригонометрије.

Функције једног аргумента

${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1,sec{h}^{2}x+{\tanh }^{2}x=1,$

${\coth }^{2}x-csc{h}^{2}x=1,\tanh x\cdot \coth x=1,$

$\frac{\sinh x}{\cosh x}=\tanh x,\frac{\cosh x}{\sinh x}=\coth x.$

Међусобно изражавање

$\sinh x=\sqrt{{\cosh }^{2}x-1}=\frac{\tanh x}{\sqrt{1-{\tan }^{2}x}}=\frac{1}{\sqrt{{\coth }^{2}x-1}},$

$\cosh x=\sqrt{{\sinh }^{2}x+1}=\frac{1}{\sqrt{1-{\tanh }^{2}x}}=\frac{\coth x}{\sqrt{{\cot }^{2}x-1}},$

$\tanh x=\frac{\sinh x}{\sqrt{{\sinh }^{2}x+1}}=\frac{\sqrt{{\cosh }^{2}x-1}}{\cosh x}=\frac{1}{\coth x},$

$\coth x=\frac{\sqrt{{\sinh }^{2}x+1}}{\sinh x}=\frac{\cosh x}{\sqrt{{\cosh }^{2}x-1}}=\frac{1}{\tanh x}.$

Збир и разлика аргумената

$\sinh (x\pm y)=\sinh x\cosh y\pm \cosh x\sinh y,$

$\cosh (x\pm y)=\cosh x\cosh y\pm \sinh x\sinh y,$

$\tanh (x\pm y)=\frac{\tanh x\pm \tanh y}{1\pm \tanh x\tanh y},\coth (x\pm y)=\frac{1\pm \coth x\coth y}{\coth x\pm \coth y}.$

Функције двоструког аргумента

$\sinh 2x=2\sinh x\cosh x,\cosh 2x={\sinh }^{2}x+{\cosh }^{2}x,$

$\tanh 2x=\frac{2\tanh x}{1+{\tanh }^{2}x},\coth 2x=\frac{1+{\coth }^{2}x}{2\coth x}.$

Моаврова хиперболична формула

$(\cosh x\pm \sinh x{)}^n=\cosh nx\pm \sinh nx$

Функције половине аргумента

$\sinh \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{\cosh x-1}{2}},$ + за x>0, - за x<0,

$\cosh \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{\cosh x+1}{2}},$

$\tanh \frac{x}{2}=\frac{\cosh x-1}{\sinh x}=\frac{\sinh x}{\cosh x+1},\coth \frac{x}{2}=\frac{\sinh x}{\cosh x-1}=\frac{\cosh x+1}{\sinh x}.$

Збир и разлика функција

$\sinh x\pm \sinh y=2\sinh \frac{x\pm y}{2}\cosh \frac{x\mp y}{2},$

$\cosh x+\cosh y=2\cosh \frac{x+y}{2}\cosh \frac{x-y}{2},$

$\cosh x-\cosh y=2\sinh \frac{x+y}{2}\sinh \frac{x-y}{2},$

$\tanh x\pm \tanh y=\frac{\sinh (x\pm y)}{\cosh x\cosh y}.$

Инверзне (Ареа) функције

Називи ареа-синус, ареа-косинус, ареа-тангенс и ареа-котангенс потичу од речи ареа (површина) јер ареа-функције можемо представити површином хиперболичног сектора. Оне су инверзне функцијама синус хиперболни, косинус хиперболни, тангенс хиперболни и котангенс хиперболни, тј. ако је $y=\sinh x$ тада је $x=Ar\sinh y,$ итд:

$y=Ar\sinh x$ ареа-синус, ако је $x=\sinh y,$

$y=Ar\cosh x$ ареа-косинус, ако је $x=\cosh y,$

$y=Ar\tanh x$ ареа-тангенс, ако је $x=\tanh y,$

$y=Ar\coth x$ ареа-котангенс, ако је $x=\coth y.$

Изражавање логаритмима

$Ar\sinh x=\ln (x+\sqrt{x^2+1}),$

$Ar\cosh x=\pm \ln (x+\sqrt{x^2-1}),x\ge 1,$

$Ar\tanh x=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x},|x|<1,$

$Ar\coth x=\frac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1},|x|>1.$

Међусобно изражавање инверзних

$Ar\sinh x={\pm }^{*}Ar\cosh \sqrt{x^2+1}=Ar\tanh \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=Ar\coth \frac{\sqrt{x^2+1}}{x},$

$Ar\cosh x=\pm Ar\sinh \sqrt{x^2-1}=\pm Ar\tanh \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}=\pm Ar\cosh \frac{x}{\sqrt{x^2-1}},$

$Ar\tanh x=Ar\sinh \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}={\pm }^{*}Ar\cosh \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=Ar\coth \frac{1}{x},$

$Ar\coth x=Ar\sinh \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}={\pm }^{*}Ar\cosh \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=Ar\tanh \frac{1}{x}.$

Уз индекс * иде предзнак + за х позитивно, - за х негативно.

Односи међу инверзним

$Ar\sinh x\pm Ar\sinh y=Ar\sinh (x\sqrt{1+y^2}\pm y\sqrt{1+x^2}),$

$Ar\cosh x\pm Ar\cosh y=Ar\cosh (xy\pm \sqrt{(x^2-1)(y^2-1)}),$

$Ar\tanh x\pm Ar\tanh y=Ar\tanh \frac{x\pm y}{1\pm xy}.$

Види још

• Геометрија
• Тригонометрија
• Хиперболичне функције
• Инверзне хиперболичне функције

Литература

• Шаблон:Cite book