Равномерна непрекидност

Дефиниција

Функцију $f:X\to ℝ$, где је $X\subseteq ℝ$, а функција је непрекидна на скупу $X$, називамо равномерно (униформно) непрекидном на том скупу, ако се за свако $\epsilon >0$, може наћи позитивно $\delta$, тако да за сваке две тачке њеног домена које се налазе на растојању мањем од $\delta$, важи $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$.

Односно, услов равномерне непрекидности функције $f$ на скупу $X$ се може записати као:

$(\mathrm{\forall }\epsilon >0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X)(|x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon )$.

Дискусија дефиниције

Оправданост ове дефиниције, поред дефиниције саме непрекидности функције потиче од тога - да би функција била непрекидна у свакој тачки свог домена $X$, потребно је наћи најмање $\delta ={\delta }_0$ од свих околина сваке тачке домена, за које би онда важило:

$(\mathrm{\forall }x,x_0\in X)(|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon ).$

Ако је скуп $X$ коначан, то је могуће урадити. Међутим, када $X$ није коначан, не постоји гаранција да ће такво најмање $\delta ={\delta }_0$ уопште постојати. Тиме је оправдана постојаност наведене дефиниције равномерне непрекидности.

Критеријум за одређивање равномерне непрекидности

Општи критеријум за одређивање равномерне непрекидности функција даје Канторов став о равномерној непрекидности. Теорема се може доказати коришћењем Борел-Лебегове леме о покривачима и потпокривачима.

Теорема

Ако је функција $f:[a,b]\to ℝ$ непрекидна на интервалу $[a,b]$, она је и равномерно непрекидна на њему.

Доказ

Из дефиниције непрекидности имамо да ако је функција $f:[a,b]\to ℝ$ непрекидна на интервалу $[a,b]$ (дато као услов за теорему), онда за произвољну тачку $x$ из тог сегмента постоји нека околина $U(x)=(x-\delta ,x+\delta )$ и за све тачке $x_1\in U(x)$ важи: $|f(x)-f(x_1)|<\frac{\epsilon }{2})$.

Изаберимо 2 тачке, $x_1,x_2\in U(x)$. Тада је:

$|f(x_1)-f(x_2)|\le |f(x)-f(x_1)|+|f(x)-f(x_2)|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$

Изаберимо сада околину дупло мањег полупречника, $U^{\prime }(x)=(x-\frac{\delta }{2},x+\frac{\delta }{2})$. Ако такву околину конструишемо за сваку тачку сегмента $[a,b]$, добићемо скуп отворених интервала који очигледно прекрива цео сегмент $[a,b]$, па скуп тих интервала чини покривач сегмента $[a,b]$. Из Борел-Лебегове леме имамо да постоји коначан потпокривач тог интервала, тј. да постоје тачке $x_1,x_2,\mathrm{...},x_n$ тако да њихове околине $U{\text{'}}_1,U{\text{'}}_2,\mathrm{...},U{\text{'}}_n$ образују подпокривач сегмента $[a,b]$. Како тачака $x_1,x_2,\mathrm{...},x_n$ има коначно много, може се међу њиховим околинама пронаћи најмање $\frac{{\delta }_i}{2}$ и означимо га са $\delta$.

Изаберимо сада неку тачку $x^{\prime }$ из интервала $[a,b]$ која припада неком од интервала $U{\text{'}}_1,U{\text{'}}_2,\mathrm{...},U{\text{'}}_n$, што записујемо: $|x_i-x^{\prime }|<\frac{{\delta }_i}{2}$.

Изаберимо и тачку $x^{″}$ из интервала $[a,b]$ која се налази у $\delta$-околини тачке $x^{\prime }$, тј. $|x^{\prime }-x^{″}|<\delta$. То можемо урадити по дефиницији, зато што је функција у целом сегменту непрекидна, а пошто је $\delta \le \frac{{\delta }_i}{2}$, онда је сигурно и $|x^{\prime }-x^{″}|<\frac{{\delta }_i}{2}$.

Сада, из $|x_i-x^{\prime }|<\frac{{\delta }_i}{2}$ и $|x^{\prime }-x^{″}|<\frac{{\delta }_i}{2}$ имамо да је:

$|x_i-x^{″}|\le |x^{\prime }-x_i|+|x^{\prime }-x^{″}|<\frac{{\delta }_i}{2}+\frac{{\delta }_i}{2}={\delta }_i,$

тј. обе тачке, и $x^{\prime }$ и $x^{″}$, припадају ${\delta }_i$-околини тачке ${\delta }_i$, односно, обе се налазе унутар неке околине $(x-{\delta }_i,x+{\delta }_i)$, па имамо да је онда $|f(x^{\prime })-f(x^{″})|<\epsilon$, што је и требало доказати.

Види још

• Непрекидна функција
• Борел-Лебегова лема
• Канторов став о равномерној непрекидности

Литература

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.