Dirakova delta funkcija

Šematski prikaz Direkove delta funkcije linijom na čijem vrhu je strelica. Visina strelice se obično koristi za specificiranje vrednosti multiplikativne konstante, koja daje površinu ispod oblasti ispod funkcije. Druga vrsta zapisivanja je da se napiše površina pored strelice.

Dirakova delta funkcija je granična vrednost svih normalnih raspodela sa maksimumom u nuli. ${\delta }_a(x)=\frac{1}{a\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{\frac{-x^2}{a^2}}$ kada a → 0

Dirakova (delta) funkcija ili δ funkcija se opisuje kao funkcija u realnoj ravni, čija je vrednost u svim tačkama 0, osim u tački 0 kada iznosi beskonačno mnogo, definisana tako da je njen integral po celoj oblasti definsanosti 1.

δ funkciju je formulisao teoretski fizičar Pol Dirak. Diskretna analogija Dirakove funkcije je Kroneker delta funkcija, koja je obično definisana u konačnom domenu i uzima vrednosti između 0 i 1.

Iako gledano iz čisto matematičke strane, Dirakova delta funkcija nije striktna funkcija, odnosno nije funkcija u pravom smislu tih reči. Integral bilo koje realne funkcije koja doseže do beskonačnosti i ima vrednost u svim tačkama 0, a samo u jednoj tački vrednost 1 imao bi vrednost 0, a ne 1 što je slučaj sa δ funkcijom. Dirakova delta funkcija ima smisao jedino kada se pojavljuje kao matematički objekat unutar integrala. Formalno se mora definisati kao distribucija ili mera. U mnogim primenama, δ funkcija predstavlja graničnu vrednost niza funkcija normalnih distribucija sa tačkom nagomilavanja u nuli, iako su približne vrednosti ovih raspodela samo približna vrednost δ funkcije.

Definicija

Dirakova delta funkcija je najpribližnije rečeno funkcija na realnoj pravoj čija je vrednost svugde nula, osim u koordinatnom početku. gde je njena vrednost beskonačna,

$\delta (x)=\{\begin{array}{cc}+\mathrm{\infty },& x=0\\ 0,& x\ne 0\end{array}$

i defisana da zadovoljava identitet da je njen integral u intervalu od $-\mathrm{\infty }$ do $+\mathrm{\infty }$ jednak 1,

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (x)dx=1.$

δ funkcija se formalno definiše kao distribucija ili mera.

Sličnost sa Kronekerovom delta funkcijom

Kronekerova delta funkcija se za cele brojeve i i j definiše kao:

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& i=j\\ 0& i=j.\end{array}$

Tada za sve nizove $(a_i{)}_{i\in 𝐙}$ koji su beskonačni u oba pravca (dosežu i do $+\mathrm{\infty }$ i do $-\mathrm{\infty }$), važi:

$\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{\delta }_{ik}=a_k.$

Slično, za bilo koju realnu ili kompleksnu funkciju ƒ neprekidnu u R, Dirakova delta funkcija zadovoljava osobinu:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\delta (x-x_0)dx=f(x_0).$

Povezanost osobina ovih dveju funkcija čini Kronekerovu delta funkciju diskretnom analogijom Dirakove delta funkcije na skupu $[0,1]$.

Primena

δ funkcija u fizici predstavlja idealizovani centar mase. Dirakova delta distribucija se koristi u teoriji verovatnoće za diskretnu raspodelu. Diskretizovana δ funkcija je ključna za formulisanje ortonormalnosti u kvantnoj mehanici. Koristi se i u teoriji konstrukcija za opisivanje prolaznog opterećenja ili tačke opterećenja u strukturama.

Vidi još

• Kroneker delta funkcija
• Kvantna mehanika
• Furijeove transformacije

Literatura

• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Spoljašnje veze

• Шаблон:Springer
• -{KhanAcademy.org video lesson}-
• -{The Dirac Delta function, a tutorial on the Dirac delta function.}-