Хевисајдова функција

Хевисајдова функција приказана уз конвенцију да је вредност функције за -{x}-=0 једнака 0,5

Хевисајдова функција (звана и јединична одскочна функција), названа у славу Оливера Хевисајда, је прекидна функција која има вредност нула за негативне вредности аргумента и један за позитивне вредности аргумента:

$u(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ 1,& x>0\end{array}$

Функција се користи у математици система управљања и обради сигнала да би се представио сигнал који мења стање (укључује се или се искључује) у одређено време и остаје у том стању бесконачно дуго.

Хевисајдова функција представља функцију расподеле случајне променљиве која скоро сигурно има вредност 0.

Хевисајдова функција је интеграл Диракове делта функције.

$u(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\delta (t)dt$

Није усвојена јединствена дефиниција за вредност -{u}-(0). Неки аутори дају -{u}-(0) = 0, неки -{u}-(0) = 1. Различите вредности имају смисла у различитим интерпретацијама Хевисајдове функције. -{u}-(0) = 1/2 је можда најприхваћенија вредност,Шаблон:Чињеница јер се тако максимизира симетрија функције, и постаје потпуно конзистентна са сигнум функцијом. Овим долазимо до следеће дефиниције:

$u(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ \frac{1}{2},& x=0\\ 1,& x>0\end{array}$

$u(x)=\frac{1}{2}(1+\mathrm{sgn}(x))$

Често је корисна и интегрална представа одскочне функције:

$u(x)=\underset{ϵ\to 0}{\lim }-\frac{1}{2\pi i}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\tau +iϵ}{e}^{-ix\tau }d\tau$

Дискретни облик

Можемо такође дефинисати и алтернативни облик јединичне одскочне функције дискретне променљиве -{n}-:

$u[n]=\{\begin{array}{cc}0,& n<0\\ 1,& n\ge 0\end{array}$

где је -{n}- цео број.

Ова функција је кумулативна сума Кронекер делта функција:

$u[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^n\delta [k]$

где је

$\delta [k]={\delta }_{k,0}$

функција дискретног јединичног импулса.