Идентитет (математика)

Визуелни доказ Питагориног идентитета: за било који угао $\theta$, тачка $(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )$ лежи на јединичном кругу, што задовољава једначину $x^2+y^2=1$. дакле, ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$.

У математици, идентитет је једнакост која се односи на један математички израз A на други математички израз B, тако да A и B (које могу садржати неке променљиве) производе исту вредност за све вредности варијабли унутар одређеног домена дискурса. Другим речима, A=B је идентитет ако A и B дефинишу исте функције, а идентитет је једнакост између функција које су различито дефинисане. На пример, $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ и ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ су идентитети. Идентитети се понекад означавају симболом троструким знаком једнакости (Шаблон:Math), уместо знаком једнакости (Шаблон:Math). Формално, идентитет је универзално квантификована једнакост.

Заједнички идентитети

Алгебарски идентитети

Одређени идентитети, као на пример $a+0=a$ и $a+(-a)=0$, чине основу алгебре, док други идентитети, као на пример $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ и $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$, може бити корисно у поједностављивању алгебарских израза и њиховом проширењу.

Тригонометријски идентитети

Геометријски, тригонометријски идентитети су идентитети који укључују одређене функције једног или више углова. Они се разликују од идентитета троугла, који су идентитети који укључују и углове и дужине страница троугла. У овом чланку су обрађени само први.

Ови идентитети су корисни кад год изразе који укључују тригонометријске функције треба поједноставити. Друга важна примена је интеграл нетригонометријских функција: уобичајена техника која укључује прво коришћење правила замене са тригонометријском функцијом, а затим поједностављивање резултујућег интеграла са тригонометријским идентитетом.

Један од најистакнутијих примера тригонометријских идентитета укључује једначину ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1,$ што важи за све стварне вредности од $\theta$. С друге стране, једначина

$\cos \theta =1$

важи само за одређене вредности $\theta$, а не све. На пример, ова једначина је тачна када је $\theta =0,$ али нетачна када је $\theta =2$.

Друга група тригонометријских идентитета односи се на такозване формуле сабирања/одузимања (на пример идентитет двоструког угла $\sin (2\theta )=2\sin \theta \cos \theta$, формула за додавање за $\tan (x+y)$), који се може користити за разбијање израза већих углова на оне са мањим састојцима.

Степеновани идентитети

Шаблон:Главни Следећи идентитети важе за све целобројне степене, под условом да је база различита од нуле:

$\begin{array}{cc}{b}^{m+n}& =b^m\cdot b^n\\ (b^m{)}^n& =b^{m\cdot n}\\ (b\cdot c{)}^n& =b^n\cdot c^n\end{array}$

За разлику од сабирања и множења, степеновање није комутативно. На пример, Шаблон:Nowrap и Шаблон:Nowrap, али Шаблон:Nowrap док је Шаблон:Nowrap.

Такође, за разлику од сабирања и множења, степеновање такође није асоцијативно. На пример, Шаблон:Nowrap и Шаблон:Nowrap, али 2³ до 4 је 8⁴ (или 4,096) док је 2 до 3⁴ 2⁸¹ (или 2,417,851,639,229,258,349,412,352). Када нису написане заграде, по конвенцији је редослед одозго надоле, а не одоздо према горе:

$b^{p^q}:=b^{(p^q)},$ док $(b^p{)}^q=b^{p\cdot q}.$

Логаритамски идентитети

Неколико важних формула, које се понекад називају логаритамски идентитети или логаритамски закони, повезују логаритме један са другим:Шаблон:Напомена

Производ, количник, снага и корен

Логаритам производа је збир логаритама бројева који се множе; логаритам односа два броја је разлика логаритама. Логаритам Шаблон:Mvar тог степена броја је Шаблон:Mvar пута већи од логаритма самог броја; логаритам Шаблон:Mvar тог корена је логаритам броја подељеног са Шаблон:Mvar. Следећа табела наводи ове идентитете са примерима. Сваки од идентитета се може извести након замене дефиниција логаритма $x=b^{{\log }_{b}x},$ и/или $y=b^{{\log }_{b}y},$ у леве стране.

	Формула	Пример
производ	${\log }_b(xy)={\log }_b(x)+{\log }_b(y)$	${\log }_3(243)={\log }_3(9\cdot 27)={\log }_3(9)+{\log }_3(27)=2+3=5$
количник	${\log }_b\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_b(x)-{\log }_b(y)$	${\log }_2(16)={\log }_2\left(\frac{64}{4}\right)={\log }_2(64)-{\log }_2(4)=6-2=4$
степен	${\log }_b(x^p)=p{\log }_b(x)$	${\log }_2(64)={\log }_2(2^6)=6{\log }_2(2)=6$
корен	${\log }_b\sqrt[p]{x}=\frac{{\log }_b(x)}{p}$	${\log }_{10}\sqrt{1000}=\frac{1}{2}{\log }_{10}1000=\frac{3}{2}=1.5$

Промена базе

Логаритам log_b(x) се може израчунати из логаритама x и b у односу на произвољну базу k користећи следећу формулу:

${\log }_b(x)=\frac{{\log }_k(x)}{{\log }_k(b)}.$

Типични научни калкулатори израчунавају логаритме на основу 10 и e. Логаритми у односу на било коју базу b могу се одредити коришћењем било ког од ова два логаритма по претходној формули:

${\log }_b(x)=\frac{{\log }_{10}(x)}{{\log }_{10}(b)}=\frac{{\log }_e(x)}{{\log }_e(b)}.$

Дат је број x и његов логаритам log_b(x) непознатој основици b, база је дата са:

$b=x^{\frac{1}{{\log }_b(x)}}.$

Идентитети хиперболичких функција

Хиперболичке функције задовољавају многе идентитете, а сви су по форми слични тригонометријским идентитетима. У ствари, Озборново правило каже да се може конвертовати било који тригонометријски идентитет у хиперболички идентитет тако што ће га се у потпуности проширити у смислу целобројних снага синуса и косинуса, променити синус у sinh и косинус у cosh, и променити знак сваког члана који садржи производ парног броја хиперболичких синуса.

Гудерманова функција даје директну везу између тригонометријских и хиперболичких функција која не укључује комплексне бројеве.

Логика и универзална алгебра

Формално, идентитет је права универзално квантификована формула форме $\mathrm{\forall }{x}_1,\dots ,x_n:s=t,$ где су Шаблон:Math и Шаблон:Math чланови без других слободних променљивих осим $x_1,\dots ,x_n.$ Префикс квантификатора $\mathrm{\forall }{x}_1,\dots ,x_n$ често остаје имплицитно, када се наводи да је формула идентитет. На пример, аксиоми моноида се често дају као формуле

$\mathrm{\forall }x,y,z:x\ast (y\ast z)=(x\ast y)\ast z,\mathrm{\forall }x:x\ast 1=x,\mathrm{\forall }x:1\ast x=x,$

или, укратко,

$x\ast (y\ast z)=(x\ast y)\ast z,x\ast 1=x,1\ast x=x.$

Дакле, ове формуле су идентитети у сваком моноиду. Као и за сваку једнакост, формуле без квантификатора се често називају једначинама. Другим речима, идентитет је једначина која је тачна за све вредности променљивих.

Види још

• Рачуноводствени идентитет
• Списак математичких идентитета

 

Спољашње везе

• The Encyclopedia of Equation Онлајн енциклопедија математичких идентитета (архивирано)
• Збирка алгебарских идентитета Шаблон:Wayback