E (константа)

Извор: testwiki
Пређи на навигацију Пређи на претрагу

-{T|sr:Шаблон:Mvar (константа);sr-ec:Шаблон:Mvar (константа);sr-el:Шаблон:Mvar (konstanta)}-

График једначине y=1/x. Овдје је Шаблон:Mvar јединствени број већи од 1, што чини осенчену површину једнаком 1.

Шаблон:Mvar, познат као Ојлеров број или Неперова константа, основа је природног логаритма и један од најзначајнијих бројева у савременој математици, поред неутрала сабирања и множења 0 и 1, имагинарне јединице број i и броја пи. Осим што је ирационалан и реалан, овај број је још и трансцедентан. До тридесетог децималног места, овај број износи:

Шаблон:Mvar ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352...

То је основа природних логаритама. То је граница Шаблон:Math како се Шаблон:Mvar приближава бесконачности, израз који се јавља у проучавању сложеног интереса. Такође се може израчунати као збир бесконачног низа

e=∑n=0∞1n!=1+11+11⋅2+11⋅2⋅3+⋯.

То је такође јединствени позитивни број Шаблон:Mvar такав да график функције Шаблон:Math има нагиб од 1 на Шаблон:Math.

(природна) експоненцијална функција Шаблон:Math је јединствена функција Шаблон:Mvar која је једнака сопственом изводу и задовољава једначину Шаблон:Math; стога се Шаблон:Mvar такође може дефинисати као Шаблон:Math. Природни логаритам, или логаритам бази Шаблон:Mvar, је инверзна функција природној експоненцијалној функцији. Природни логаритам броја Шаблон:Math може се директно дефинисати као површина испод криве Шаблон:Math између Шаблон:Math и Шаблон:Math, у ком случају је Шаблон:Mvar вредност Шаблон:Math за коју је ова површина једнака један (погледајте слику). Постоје разне друге карактеристике.

Број Шаблон:Mvar се понекад назива Ојлеровим бројем (не треба га мешати са Ојлеровом константом γ), по швајцарском математичару Леонхарду Ојлеру, или Напијеровом константом, по Џону Напијеру.[1] Константу је открио швајцарски математичар Јакоб Бернули док је проучавао сложену камату.[2][3]

Број Шаблон:Mvar је од великог значаја у математици,[4] поред 0, 1, [[Pi|Шаблон:Pi]] и Шаблон:Mvar. Свих пет се појављују у једној формулацији Ојлеровог идентитета и играју важне и понављајуће улоге у математици.[5][6] Као и константа Шаблон:Pi, Шаблон:Mvar је ирационално (то јест, не може се представити као однос целих бројева) и трансцендентно (то јест, није корен ниједног полинома различитог од нуле са рационалним коефицијентима).[1]

Дефиниције

Број Шаблон:Mvar се може представити као:

  1. Гранична вредност бесконачног низа:
    e=limn→∞(1+1n)n
  2. Сума бесконачног низа:
    e=∑n=0∞1n!=10!+11!+12!+13!+14!+⋯
    Где је -{n}-! факторијел n.
  3. Позитивна вредност која задовољава следећу једначину:
    ∫1e1tdt=1
    Може се доказати да су наведена три исказа еквивалентна.
  4. Овај број се среће и као део Ојлеровог идентитета:
    ei⋅π=−1

Историја

Прве референце на константу објављене су 1618. године у табели додатка дела о логаритмима Џона Напијера. Међутим, ово није садржало саму константу, већ једноставно листу логаритама за основу e. Претпоставља се да је табелу написао Вилијам Оутред.[3]

Откриће саме константе приписује се Јакобу Бернулију 1683,[7][8] који је покушао да пронађе вредност следећег израза (који је једнак Шаблон:Mvar):

limn→∞(1+1n)n.

Прва позната употреба константе, представљене словом Шаблон:Math, била је у преписци Готфрида Лајбница са Кристијаном Хајгенсом 1690. и 1691. године.[9] Леонхард Ојлер је увео слово Шаблон:Mvar као основу за природне логаритме, пишући у писму Кристијану Голдбаху 25. новембра 1731.[10][11] Ојлер је почео да користи слово Шаблон:Mvar за константу 1727. или 1728. године, у необјављеном раду о експлозивним силама у топовима,[12] док је прво појављивање Шаблон:Mvar у једној публикацији било у Ојлеровој Механици (1736).[13] Иако су неки истраживачи користили слово Шаблон:Math у наредним годинама, слово Шаблон:Mvar је било чешће и на крају је постало стандардно.

Референце

Шаблон:Reflist

Литература

Шаблон:Литература

Шаблон:Литература крај

Спољашње везе

Шаблон:Commons category

Шаблон:Ирационалан број Шаблон:Нормативна контрола

  1. ↑ 1,0 1,1 Шаблон:Cite web
  2. ↑ Шаблон:Cite book Extract of page 166
  3. ↑ 3,0 3,1 Шаблон:Cite web
  4. ↑ Шаблон:Cite book
  5. ↑ Шаблон:Cite book
  6. ↑ Шаблон:Cite book
  7. ↑ Jacob Bernoulli considered the problem of continuous compounding of interest, which led to a series expression for e. See: Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Some questions about interest, with a solution of a problem about games of chance, proposed in the Journal des Savants (Ephemerides Eruditorum Gallicanæ), in the year (anno) 1685.**), Acta eruditorum, pp. 219–23. On page 222, Bernoulli poses the question: "Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?" (This is a problem of another kind: The question is, if some lender were to invest [a] sum of money [at] interest, let it accumulate, so that [at] every moment [it] were to receive [a] proportional part of [its] annual interest; how much would he be owed [at the] end of [the] year?) Bernoulli constructs a power series to calculate the answer, and then writes: " … quæ nostra serie [mathematical expression for a geometric series] &c. major est. … si a=b, debebitur plu quam 2½a & minus quam 3a." ( … which our series [a geometric series] is larger [than]. … if a=b, [the lender] will be owed more than 2½a and less than 3a.) If a=b, the geometric series reduces to the series for a × e, so 2.5 < e < 3. (** The reference is to a problem which Jacob Bernoulli posed and which appears in the Journal des Sçavans of 1685 at the bottom of page 314.)
  8. ↑ Шаблон:Cite book
  9. ↑ Шаблон:Cite web
  10. ↑ Lettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P.H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle … (Mathematical and physical correspondence of some famous geometers of the 18th century), vol. 1, (St. Petersburg, Russia: 1843), pp. 56–60, see especially. Шаблон:Cite book From p. 58: " … ( e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), … " ( … (e denotes that number whose hyperbolic [i.e., natural] logarithm is equal to 1) … )
  11. ↑ Шаблон:Cite book
  12. ↑ Euler, Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta. Шаблон:Lang (English: Written for the number of which the logarithm has the unit, e, that is 2,7182817...")
  13. ↑ Шаблон:Cite book, vol. 1, Chapter 2, Corollary 11, paragraph 171, p. 68. From page 68: Erit enim dcc=dydsrdx seu c=e∫dydsrdx ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1. (So it [i.e., c, the speed] will be dcc=dydsrdx or c=e∫dydsrdx, where e denotes the number whose hyperbolic [i.e., natural] logarithm is 1.)
Преузето из „https://sr.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=E_(константа)&oldid=551”