Јакобијеви полиноми

Јакобијеви полиноми, често звани и хипергеометријски полиноми су класични ортогонални полином представљени формулом:

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +n+1)}{n!\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n+1)}\sum _{m=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n+m+1)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +m+1)}{\left(\frac{z-1}{2}\right)}^m.$

Гегенбауерови полиноми, Лежандрови полиноми и Чебишевљеви полиноми представљају специјални случај Јакобијевих полинома. Јакобијеве полиноме открио је 1859. немачки математичар Карл Густав Јакоби.

Диференцијална једначина

Јакобијеви полиноми представљају решење линеране хомогене диференцијалне једначине другога реда:

$(1-x^2)y^{″}+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y^{\prime }+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.$

Дефиниција

Јакобијеви полиноми дефинисани су помоћу хипергеометријске функције:

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(z)=\frac{(\alpha +1{)}_n}{n!}{}_2{F}_1(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;\frac{1-z}{2}),$

где $(\alpha +1{)}_n$ представља Поххамеров симбол. У том случају развојем се добија:

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +n+1)}{n!\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n+1)}\sum _{m=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n+m+1)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +m+1)}{\left(\frac{z-1}{2}\right)}^m.$

Родригезова формула

Јакобијеви полиноми могу да се дефинишу и помоћу Родригезове формуле:

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(z)=\frac{(-1{)}^n}{2^{n}n!}(1-z{)}^{-\alpha }(1+z{)}^{-\beta }\frac{d^n}{d{z}^n}\{(1-z{)}^{\alpha }(1+z{)}^{\beta }(1-z^2{)}^n\}.$

Генерирајућа функција

Генерирајућа функција Јакобијевих полинома је:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_n^{(\alpha ,\beta )}(z)w^n=2^{\alpha +\beta }{R}^{-1}(1-w+R{)}^{-\alpha }(1+w+R{)}^{-\beta },$

где

$R=R(z,w)=(1-2zw+w^2{)}^{1/2},$

Рекурзија

Релације рекурзије за Јакобијеве полиноме су:

$\begin{array}{cc}& 2n(n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)P_n^{(\alpha ,\beta )}(z)\\ & =(2n+\alpha +\beta -1)\{(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)z+{\alpha }^2-{\beta }^2\}{P}_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)\\ & -2(n+\alpha -1)(n+\beta -1)(2n+\alpha +\beta )P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z),n=2,3,\dots \end{array}$

Неколико првих полинома је:

$P_0^{(\alpha ,\beta )}(z)=1$

$P_1^{(\alpha ,\beta )}(z)=\frac{1}{2}[2(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2)(z-1)]$

$P_2^{(\alpha ,\beta )}(z)=\frac{1}{8}[4(\alpha +1)(\alpha +2)+4(\alpha +\beta +3)(\alpha +2)(z-1)+(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)(z-1{)}^2]$

Израз за реални аргумент

За реално x Јакобијеви полиноми могу да се пишу и као:

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _s(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{s})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\beta }{n-s}){\left(\frac{x-1}{2}\right)}^{n-s}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^s$

где су s ≥ 0 и n-s ≥ 0, а за целобројно n

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{n})=\frac{\mathrm{\Gamma }(z+1)}{\mathrm{\Gamma }(n+1)\mathrm{\Gamma }(z-n+1)},$

У горњој једначини Γ(z) је гама функција. У специјалном случају, када су n, n+α, n+β, and n+α+β ненегативни цели бројеви Јакобијеви полиноми могу да се напишу као:

$\begin{array}{cc}& P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\\ & \times \sum _s{[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!]}^{-1}{\left(\frac{x-1}{2}\right)}^{n-s}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^s.\end{array}$

Ортогоналност

Јакобијеви полиноми за α > -1 и β > -1 задовољавају услов ортогоналности:

$\begin{array}{cc}& {\int }_{-1}^1(1-x{)}^{\alpha }(1+x{)}^{\beta }{P}_m^{(\alpha ,\beta )}(x)P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)dx\\ & =\frac{2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +1)\mathrm{\Gamma }(n+\beta +1)}{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +\beta +1)n!}{\delta }_{nm}\end{array}$

Тежинска функција је била:

$(1-x{)}^{\alpha }(1+x{)}^{\beta }$.

Они нису ортонормални, а за нормализацију:

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n}).$

Симетрија

Јакобијеви полиноми задовољавају следеће релације симетрије:

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1{)}^n{P}_n^{(\beta ,\alpha )}(z);$

па је

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\beta }{n}).$

Асимптотски изрази

За x унутар интервала [-1, 1], асимптотска вредност P_n^(α,β) за велики n дан је:

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )=n^{-1/2}\cos (N\theta +\gamma )+O(n^{-3/2}),$

где

$\begin{array}{cc}k(\theta )& ={\pi }^{-1/2}{\sin }^{-\alpha -1/2}\frac{\theta }{2}{\cos }^{-\beta -1/2}\frac{\theta }{2},\\ N& =n+\frac{\alpha +\beta +1}{2},\\ \gamma & =-(\alpha +\frac{1}{2})\frac{\pi }{2},\end{array}$

Асимптоте близу ±1 дане су са:

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^{-\alpha }{P}_n^{\alpha ,\beta }(\cos \frac{z}{n})& ={\left(\frac{z}{2}\right)}^{-\alpha }{J}_{\alpha }(z),\\ \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^{-\beta }{P}_n^{\alpha ,\beta }(\cos [\pi -\frac{z}{n}])& ={\left(\frac{z}{2}\right)}^{-\beta }{J}_{\beta }(z),\end{array}$

Веза са Вигнеровом d-матрицом

Јакобијеви полиноми повезани су са Вигнеровом D-матрицом:

$d_{m^{\prime }m}^j(\varphi )={\left[\frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m^{\prime })!(j-m^{\prime })!}\right]}^{1/2}{(\sin \frac{\varphi }{2})}^{m-m^{\prime }}{(\cos \frac{\varphi }{2})}^{m+m^{\prime }}{P}_{j-m}^{(m-m^{\prime },m+m^{\prime })}(\cos \varphi ).$

Литература

• Јакобијеви полиноми
• -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. Шаблон:Cite book}-