Вигнерова D матрица

Вигнерова D матрица представља матрицу иредуцибилних репрезентација група SU(2) и SO(3). Вигнерова D матрица је квадратна матрица оператора ротација димензија $2j+1$ са општим елементима:

$D_{m^{\prime }m}^j(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv ⟨j{m}^{\prime }|ℛ(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm⟩=e^{-i{m}^{\prime }\alpha }{d}_{m^{\prime }m}^j(\beta )e^{-im\gamma }.$

Матрица је добила име по Еугену Вигнеру, који ју је први увео 1927. године.

Дефиниција D матрице

Генератори Лијевих алгебри SU(2) и SO(3) означимо са $J_x$, $J_y$, $J_z$. За њих вреде следеће комутационе релације:

$[J_x,J_y]=i{J}_z,[J_z,J_x]=i{J}_y,[J_y,J_z]=i{J}_x,$

Оператор

$J^2=J_x^2+J_y^2+J_z^2$

представља Казимиров оператор од SU(2) (или SO(3) ). Оператор ротација може да се прикаже као:

$ℛ(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha J_z}{e}^{-i\beta J_y}{e}^{-i\gamma J_z},$

где су $\alpha ,\beta ,$ и$\gamma$ Ојлерови углови. Вигнерова D матрица је квадратна матрица димензија $2j+1$ са општим елементима:

$D_{m^{\prime }m}^j(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv ⟨j{m}^{\prime }|ℛ(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm⟩=e^{-i{m}^{\prime }\alpha }{d}_{m^{\prime }m}^j(\beta )e^{-im\gamma }.$

При томе мала Вигнерова d- матрица означена је са:

$d_{m^{\prime }m}^j(\beta )=⟨j{m}^{\prime }|e^{-i\beta j_y}|jm⟩$

Мала Вигнерова d- матрица

Мала Вигнерова d- матрица може да се представи као:

$\begin{array}{ccc}{d}_{m^{\prime }m}^j(\beta )& =& [(j+m^{\prime })!(j-m^{\prime })!(j+m)!(j-m)!{]}^{1/2}\sum _s[\frac{(-1{)}^{m^{\prime }-m+s}}{(j+m-s)!s!(m^{\prime }-m+s)!(j-m^{\prime }-s)!}\\ & & \cdot {(\cos \frac{\beta }{2})}^{2j+m-m^{\prime }-2s}{(\sin \frac{\beta }{2})}^{m^{\prime }-m+2s}].\end{array}$

Матрични елементи мале d- матрице повезани су са Јакобијевим полиномима $P_k^{(a,b)}(\cos \beta )$ са ненегативним $a$ и $b$. Нека је

$k=min(j+m,j-m,j+m^{\prime },j-m^{\prime }).$

Онда је:

$\text{Ako je}k=\{\begin{array}{cc}j+m:& a=m^{\prime }-m;\lambda =m^{\prime }-m\\ j-m:& a=m-m^{\prime };\lambda =0\\ j+m^{\prime }:& a=m-m^{\prime };\lambda =0\\ j-m^{\prime }:& a=m^{\prime }-m;\lambda =m^{\prime }-m\end{array}$

Онда уз услов $b=2j-2k-a$ релација је:

$d_{m^{\prime }m}^j(\beta )=(-1{)}^{\lambda }{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2j-k}{k+a})}^{1/2}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+b}{b})}^{-1/2}{(\sin \frac{\beta }{2})}^a{(\cos \frac{\beta }{2})}^b{P}_k^{(a,b)}(\cos \beta ),$

где су $a,b\ge 0.$

Својства Вигнерове D матрице

Следећих шест оператора:

$\begin{array}{ccc}{\widehat{𝒥}}_1& =& i(\cos \alpha \cot \beta \frac{\partial }{\partial \alpha }+\sin \alpha \frac{\partial }{\partial \beta }-\frac{\cos \alpha }{\sin \beta }\frac{\partial }{\partial \gamma })\\ {\widehat{𝒥}}_2& =& i(\sin \alpha \cot \beta \frac{\partial }{\partial \alpha }-\cos \alpha \frac{\partial }{\partial \beta }-\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }\frac{\partial }{\partial \gamma })\\ {\widehat{𝒥}}_3& =& -i\frac{\partial }{\partial \alpha },\end{array}$

$\begin{array}{ccc}{\widehat{𝒫}}_1& =& i(\frac{\cos \gamma }{\sin \beta }\frac{\partial }{\partial \alpha }-\sin \gamma \frac{\partial }{\partial \beta }-\cot \beta \cos \gamma \frac{\partial }{\partial \gamma })\\ {\widehat{𝒫}}_2& =& i(-\frac{\sin \gamma }{\sin \beta }\frac{\partial }{\partial \alpha }-\cos \gamma \frac{\partial }{\partial \beta }+\cot \beta \sin \gamma \frac{\partial }{\partial \gamma })\\ {\widehat{𝒫}}_3& =& -i\frac{\partial }{\partial \gamma },\end{array}$

задовољава комутационе релације:

$[{𝒥}_1,{𝒥}_2]=i{𝒥}_3,\text{and}[{𝒫}_1,{𝒫}_2]=-i{𝒫}_3$

Уз то два низа узајамно комутирају:

$[{𝒫}_i,{𝒥}_j]=0,i,j=1,2,3,$

Квадрати тих оператора су једнаки:

${𝒥}^2\equiv {𝒥}_1^2+{𝒥}_2^2+{𝒥}_3^2={𝒫}^2\equiv {𝒫}_1^2+{𝒫}_2^2+{𝒫}_3^2.$

Експлицитни облик је:

${𝒥}^2={𝒫}^2=-\frac{1}{{\sin }^2\beta }(\frac{{\partial }^2}{\partial {\alpha }^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial {\gamma }^2}-2\cos \beta \frac{{\partial }^2}{\partial \alpha \partial \gamma })-\frac{{\partial }^2}{\partial {\beta }^2}-\cot \beta \frac{\partial }{\partial \beta }.$

Дејство оператора ${𝒥}_i$ на први индекс D-матрице је:

${𝒥}_3{D}_{m^{\prime }m}^j(\alpha ,\beta ,\gamma {)}^{\ast }=m^{\prime }{D}_{m^{\prime }m}^j(\alpha ,\beta ,\gamma {)}^{\ast },$

$({𝒥}_1\pm i{𝒥}_2)D_{m^{\prime }m}^j(\alpha ,\beta ,\gamma {)}^{\ast }=\sqrt{j(j+1)-m^{\prime }(m^{\prime }\pm 1)}{D}_{m^{\prime }\pm 1,m}^j(\alpha ,\beta ,\gamma {)}^{\ast }.$

С друге стране дејство ${𝒫}_i$ оператора на други индекс D-матрице је:

${𝒫}_3{D}_{m^{\prime }m}^j(\alpha ,\beta ,\gamma {)}^{\ast }=m{D}_{m^{\prime }m}^j(\alpha ,\beta ,\gamma {)}^{\ast },$

$({𝒫}_1\mp i{𝒫}_2)D_{m^{\prime }m}^j(\alpha ,\beta ,\gamma {)}^{\ast }=\sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}{D}_{m^{\prime },m\pm 1}^j(\alpha ,\beta ,\gamma {)}^{\ast }.$

Коначно добија се:

${𝒥}^2{D}_{m^{\prime }m}^j(\alpha ,\beta ,\gamma {)}^{\ast }={𝒫}^2{D}_{m^{\prime }m}^j(\alpha ,\beta ,\gamma {)}^{\ast }=j(j+1)D_{m^{\prime }m}^j(\alpha ,\beta ,\gamma {)}^{\ast }.$

Релација ортогоналности

${\int }_0^{2\pi }d\alpha {\int }_0^{\pi }\sin \beta d\beta {\int }_0^{2\pi }d\gamma D_{m^{\prime }{k}^{\prime }}^{j^{\prime }}(\alpha ,\beta ,\gamma {)}^{\ast }{D}_{mk}^j(\alpha ,\beta ,\gamma )=\frac{8{\pi }^2}{2j+1}{\delta }_{m^{\prime }m}{\delta }_{k^{\prime }k}{\delta }_{j^{\prime }j}.$

Кронекеров производ матрица

Кронекеров производ D матрица

${𝐃}^j(\alpha ,\beta ,\gamma )\otimes {𝐃}^{j^{\prime }}(\alpha ,\beta ,\gamma )$

чини редуцибилну матричну репрезентацију специјалних група SO(3) и SU(2). Редукцијом на иредуцибилне компоненте добија се:

$D_{mk}^j(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m^{\prime }{k}^{\prime }}^{j^{\prime }}(\alpha ,\beta ,\gamma )=\sum _{J=|j-j^{\prime }|}^{j+j^{\prime }}\sum _{M=-J}^J\sum _{K=-J}^J⟨jm{j}^{\prime }{m}^{\prime }|JM⟩⟨jk{j}^{\prime }{k}^{\prime }|JK⟩D_{MK}^J(\alpha ,\beta ,\gamma )$

Симболи $⟨jm{j}^{\prime }{m}^{\prime }|JM⟩$ су Клебш-Горданови коефицијенти.

Веза са сферним хармоницима и Лежандровим полиномима

За целобројне вредности $l$ и за други индекс једнак нули матрични елементи D-матрице пропорционални су сферним хармоницима и придруженим Лежандровим полиномима:

$D_{m0}^{\ell }(\alpha ,\beta ,0)=\sqrt{\frac{4\pi }{2\ell +1}}{Y}_{\ell }^{m\ast }(\beta ,\alpha )=\sqrt{\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}{P}_{\ell }^m(\cos \beta )e^{-im\alpha }$

Одатле се добија следећа релација за мале d-матрице:

$d_{m0}^{\ell }(\beta )=\sqrt{\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}{P}_{\ell }^m(\cos \beta )$

Ако су оба индекса једнака нули тада су матрични елементи пропрционални Лежандровом полиному:

$D_{0,0}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma )=d_{0,0}^{\ell }(\beta )=P_{\ell }(\cos \beta ).$

Табела мале Вигнерове d- матрице

За j=1/2

• $d_{1/2,1/2}^{1/2}=\cos (\theta /2)$
• $d_{1/2,-1/2}^{1/2}=-\sin (\theta /2)$

За j=1

• $d_{1,1}^1=\frac{1+\cos \theta }{2}$
• $d_{1,0}^1=\frac{-\sin \theta }{\sqrt{2}}$
• $d_{1,-1}^1=\frac{1-\cos \theta }{2}$
• $d_{0,0}^1=\cos \theta$

За j=3/2

• $d_{3/2,3/2}^{3/2}=\frac{1+\cos \theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}$
• $d_{3/2,1/2}^{3/2}=-\sqrt{3}\frac{1+\cos \theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}$
• $d_{3/2,-1/2}^{3/2}=\sqrt{3}\frac{1-\cos \theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}$
• $d_{3/2,-3/2}^{3/2}=-\frac{1-\cos \theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}$
• $d_{1/2,1/2}^{3/2}=\frac{3\cos \theta -1}{2}\cos \frac{\theta }{2}$
• $d_{1/2,-1/2}^{3/2}=-\frac{3\cos \theta +1}{2}\sin \frac{\theta }{2}$

За j=2

• $d_{2,2}^2=\frac{1}{4}{(1+\cos \theta )}^2$
• $d_{2,1}^2=-\frac{1}{2}\sin \theta (1+\cos \theta )$
• $d_{2,0}^2=\sqrt{\frac{3}{8}}{\sin }^2\theta$
• $d_{2,-1}^2=-\frac{1}{2}\sin \theta (1-\cos \theta )$
• $d_{2,-2}^2=\frac{1}{4}{(1-\cos \theta )}^2$
• $d_{1,1}^2=\frac{1}{2}(2{\cos }^2\theta +\cos \theta -1)$
• $d_{1,0}^2=-\sqrt{\frac{3}{8}}\sin 2\theta$
• $d_{1,-1}^2=\frac{1}{2}(-2{\cos }^2\theta +\cos \theta +1)$
• $d_{0,0}^2=\frac{1}{2}(3{\cos }^2\theta -1)$

Литература

• Шаблон:Cite book
• -{Wigner E. P., Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra, New York: Academic Press (1959)}-
• Шаблон:Cite book.