Гегенбауерови полиноми

Гегенбауерови полиноми су ортогонални полиноми $C_{n}^{(α)}$ , који представљају решење Гегенбауерове диференцијалне једначине:

(1 - x^{2}) y^{″} - (2 α + 1) x y^{'} + n (n + 2 α) y = 0.

Гегенбауерови полиноми представљају специјални случај Јакобијевих полинома, а Лежандрови полиноми и Чебишевљеви полиноми су специјални случај Гегенбауерових полинома. Добили су име по аустријском математичару Леополду Гегенбауеру.

Својства

Гегенбауерови полиноми су специјални случај Јакобијевих полинома:

C_{n}^{(α)} (x) = \frac{(2 α)_{n}}{(α + \frac{1}{2})_{n}} P_{n}^{(α - 1 / 2, α - 1 / 2)} (x) .

C_{n}^{(α)} (z) = \frac{(2 α)_{n}}{n!}_{2} F_{1} (- n, 2 α + n; α + \frac{1}{2}; \frac{1 - z}{2}) .

односно развојем се добија:

C_{n}^{(α)} (z) = \sum_{k = 0}^{⌊ n / 2 ⌋} (- 1)^{k} \frac{Γ (n - k + α)}{Γ (α) k! (n - 2 k)!} (2 z)^{n - 2 k} .

Гегенбауерови полиноми могу да се прикажу и помоћу Родригезове формуле:

C_{n}^{(α)} (z) = \sum_{k = 0}^{⌊ n / 2 ⌋} (- 1)^{k} \frac{Γ (n - k + α)}{Γ (α) k! (n - 2 k)!} (2 z)^{n - 2 k} .

Функција генератриса Гегенбауерових полинома је:

\frac{1}{(1 - 2 x t + t^{2})^{α}} = \sum_{n = 0}^{\infty} C_{n}^{(α)} (x) t^{n} .

Гегенбауерови полиноми задовољавају следећу рекурзију:

\begin{matrix} C_{0}^{α} (x) & = 1 \\ C_{1}^{α} (x) & = 2 α x \\ C_{n}^{α} (x) & = \frac{1}{n} [2 x (n + α - 1) C_{n - 1}^{α} (x) - (n + 2 α - 2) C_{n - 2}^{α} (x)] . \end{matrix}

За фиксни α полиноми су ортогонални на [−1, 1] са тежинском функцијом:

w (z) = {(1 - z^{2})}^{α - \frac{1}{2}} .

Добија се за n ≠ m,

\int_{- 1}^{1} C_{n}^{(α)} (x) C_{m}^{(α)} (x) (1 - x^{2})^{α - \frac{1}{2}} d x = 0.

а за исти n:

\int_{- 1}^{1} {[C_{n}^{(α)} (x)]}^{2} (1 - x^{2})^{α - \frac{1}{2}} d x = \frac{π 2^{1 - 2 α} Γ (n + 2 α)}{n! (n + α) [Γ (α)]^{2}} .

Гегенбауерови полиноми
-{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, Шаблон:ISBN}-