Чебишевљеви полиноми

Чебишевљеви полиноми су ортогонални полиноми $T_n(x)$ и $U_n(x)$. Чебишевљеви полиноми првога реда $T_n(x)$ представљају решења диференцијалне једначине:

$(1-x^2)y^{″}-x{y}^{\prime }+n^{2}y=0.$

Чебишевљеви полиноми другога реда $U_n(x)$ представљају решења диференцијалне једначине:

$(1-x^2)y^{″}-3x{y}^{\prime }+n(n+2)y=0.$

Те диференцијалне једначине су Штурм-Лијувиловога облика. Полиноми су добили назив у част рускога математичара Пафнутија Чебишева.

Чебишевљеви полиноми првога реда, T_1 је означен црвеном, T_2 плавом, T_3 зеленом и T_4 окер бојом

Дефиниција полинома првога реда

Полиноми првога реда могу да се дефинишу и формулама рекурзије:

$\begin{array}{cc}{T}_0(x)& =1\\ T_1(x)& =x\\ T_{n+1}(x)& =2x{T}_n(x)-T_{n-1}(x).\end{array}$

Најчешћа генерирајућа функција Чебишевљевих полинома је:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_n(x)t^n=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.$

Постоје још две друге генерирајуће функције:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_n(x)\frac{t^n}{n!}=\frac{1}{2}(e^{(x-\sqrt{x^2-1})t}+e^{(x+\sqrt{x^2-1})t}).$

и

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_n\left(x\right)\frac{t^n}{n}=\ln \frac{e}{\sqrt{1-2tx+t^2}}.$

Дефиниција полинома другога реда

Полиноми другога реда могу да се дефинишу и формулама рекурзије:

$\begin{array}{cc}{U}_0(x)& =1\\ U_1(x)& =2x\\ U_{n+1}(x)& =2x{U}_n(x)-U_{n-1}(x).\end{array}$

Генерирајућа функција је дана са:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{U}_n(x)t^n=\frac{1}{1-2tx+t^2}.$

Ортогоналност

Чебишевљеви полиноми првога и другога реда представљају ортогоналне полиноме. Полиноми првога реда ортогонални су са тежинском функцијом $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ на интервалу (−1,1), па је релација ортогоналности:

${\int }_{-1}^1{T}_n(x)T_m(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\{\begin{array}{cc}0& :n\ne m\\ \pi & :n=m=0\\ \pi /2& :n=m\ne 0\end{array}$

Полиноми другога реда су ортогонални са тежинским фактором $\sqrt{1-x^2}$ па је релација ортогоналности:

${\int }_{-1}^1{U}_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}dx=\{\begin{array}{cc}0& :n\ne m,\\ \pi /2& :n=m.\end{array}$

Везе између полинома првога и другога реда

$\frac{d}{dx}{T}_n(x)=n{U}_{n-1}(x)\text{ , }n=1,\dots$

$T_n(x)=\frac{1}{2}(U_n(x)-U_{n-2}(x)).$

$T_{n+1}(x)=x{T}_n(x)-(1-x^2)U_{n-1}(x)$

$T_n(x)=U_n(x)-x{U}_{n-1}(x),$

$U_n(x)=2\sum _{j\text{odd}}^n{T}_j(x)$, за непарни n.

$U_n(x)=2\sum _{j\text{even}}^n{T}_j(x)-1$, за парни n.

Тригонометријска дефиниција

Чебишевљеви полиноми првога реда могу да се дефинишу помоћу тригонометријских релација као:

$T_n(x)=\cos (n\arccos x)=\cosh (n\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}x)$

где је:

$T_n(\cos (\vartheta ))=\cos (n\vartheta )$

Чебишевљеви полиноми другога реда реда могу да се дефинишу помоћу тригонометријских релација као:

$U_n(\cos (\vartheta ))=\frac{\sin ((n+1)\vartheta )}{\sin \vartheta },$

Разне једначине и релације

Чебишевљеви полиноми могу да се дефинишу и као решења Пелове једначине:

$T_n(x{)}^2-(x^2-1)U_{n-1}(x{)}^2=1$

Релација рекурзије за изводе Чебишевљивих полинома је:

$2T_n(x)=\frac{1}{n+1}\frac{d}{dx}{T}_{n+1}(x)-\frac{1}{n-1}\frac{d}{dx}{T}_{n-1}(x)\text{ , }n=1,\dots$

Туранове неједначине за Чебишевљеве полиноме су облика:

$T_n(x{)}^2-T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)=1-x^2>0\text{ za }-1<x<1$ и

$U_n(x{)}^2-U_{n-1}(x)U_{n+1}(x)=1>0.$

Чебишевљеви полиноми другога реда

Примери

Неколико првих Чебишевљевих полинома првога реда:

$T_0(x)=1$

$T_1(x)=x$

$T_2(x)=2x^2-1$

$T_3(x)=4x^3-3x$

$T_4(x)=8x^4-8x^2+1$

$T_5(x)=16x^5-20x^3+5x$

$T_6(x)=32x^6-48x^4+18x^2-1$

$T_7(x)=64x^7-112x^5+56x^3-7x$

$T_8(x)=128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1$

$T_9(x)=256x^9-576x^7+432x^5-120x^3+9x$

Неколико првих Чебишевљевих полинома другога реда:

$U_0(x)=1$

$U_1(x)=2x$

$U_2(x)=4x^2-1$

$U_3(x)=8x^3-4x$

$U_4(x)=16x^4-12x^2+1$

$U_5(x)=32x^5-32x^3+6x$

$U_6(x)=64x^6-80x^4+24x^2-1$

$U_7(x)=128x^7-192x^5+80x^3-8x$

$U_8(x)=256x^8-448x^6+240x^4-40x^2+1$

$U_9(x)=512x^9-1024x^7+672x^5-160x^3+10x$

Литература

• -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. Шаблон:ISBN.}-
• Чебишевљеви полиноми првога реда
• Чебишевљеви полиноми другога реда