1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

Графички приказ првих 15.000 парцијалних сума реда 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + ...

1 − 2 + 3 − 4 + · · · је бесконачан ред у математици, који обухвата узастопне природне бројеве са наизменичним знацима. Сума првих $m$ чланова реда може да се напише као:

$1-2+3-4+\cdots +m(-1{)}^{m-1}=\sum _{n=1}^{m}n(-1{)}^{n-1}.$

Овај бесконачни низ дивергира, што значи да редослед његових парцијалних сума Шаблон:Nowrap, не тежи ка крајњим границама. Међутим, средином 18. века, Леонард Ојлер је написао следеће, што је касније окарактерисао као парадоксално:

$1-2+3-4+\cdots =\frac{1}{4}.$

Математичка метода која би објаснила ову једначину, развијена је много касније. Почев од 1890. године, Ернесто Чезаро, Емил Борел и други математичари испитивали су постојеће методе за одређивање суме дивергентних редова — укључујући и нова тумачења Ојлерових покушаја. Коришћењем многих од ових метода за израчунавање суме реда Шаблон:Nowrap довело је до коначног резултата који је износио ¹⁄₄. Чезарово сумирање је једна од ретких метода помоћу којих не можемо одредити износ Шаблон:Nowrap, већ се морамо користити јачим методама, као што је Абелово сумирање.

Ред Шаблон:Nowrap је много сличан Грандијевом реду Шаблон:Nowrap, а Ојлер је третирао ова два посебна случаја као Шаблон:Nowrap за произвољно n. Даља истраживања временом су довела до других функција, које су данас познате као Риманова зета-функција и Дирихлеова ета-функција.

Дивергентност

Чланови реда Шаблон:Nowrap не теже ка 0, те Шаблон:Nowrap дивергира применом теста општег члана. За даље разматрање, било би корисно да се одреди дивергенција основног нивоа. По дефиницији, конвергенција или дивергенција бесконачног реда условљена је конвергенцијом или дивергенцијом реда парцијалних сума. Сходно томе, парцијалне суме реда Шаблон:Nowrap су:Шаблон:Sfn

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

…

$\sum _{n=1}^m(-1{)}^{n-1}n=\frac{(-1{)}^{m-1}(2m+1)+1}{4}$

Овај ред је важан због присуства сваког целог броја — чак и 0, ако рачунамо празну парцијалну суму — чиме је успостављена бројивост чланова скупа целих бројева $\mathbb{Z}$.Шаблон:Sfn Редослед парцијалних сума јасно показује да ред не конвергира ка одређеном броју (за сваку граничну вредност x можемо наћи тачку иза које су све наредне парцијалне сума ван интервала [x-1, x+1]), те стога Шаблон:Nowrap дивергира.

Хеуристички приступ сумирања

Стабилност и линеарност

Будући да чланови 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... следе једноставне законитост, ред Шаблон:Nowrap је могуће трансформисати премештањем и додавањем члана на члан, са циљем да му се припише неко нумеричко значење. Ако израз Шаблон:Nowrap за неки дати број s има смисла, онда следеће формалне трансформације указују на то да је Шаблон:NowrapШаблон:Sfn

$\begin{array}{ccccccc}4s& =& & (1-2+3-4+\cdots )& +(1-2+3-4+\cdots )& +(1-2+3-4+\cdots )& +(1-2+3-4+\cdots )\\ & =& & (1-2+3-4+\cdots )& +1+(-2+3-4+5+\cdots )& +1+(-2+3-4+5+\cdots )& -1+(3-4+5-6\cdots )\\ & =& 1+[& (1-2-2+3)& +(-2+3+3-4)& +(3-4-4+5)& +(-4+5+5-6)+\cdots ]\\ & =& 1+[& 0+0+0+0+\cdots ]\\ 4s& =& 1\end{array}$

Додавањем четири копије Шаблон:Nowrap користећи само премештање и додавање члана на члан, даје за резултат 1.

Због тога, $s=\frac{1}{4}$. Ово извођење је графички представљено на цртежу са десне стране.

Иако Шаблон:Nowrap нема суму у уобичајеном смислу, једначина Шаблон:Nowrap даје најбољи одговор на то да ли та сума може да се одреди. Уопштена дефиниција „суме“ дивергентног реда назива се метод сумирања, који омогућава израчунавање суме неколико подскупова свих могућих редова. Постоје бројне методе за опште сумирање редова, а неке од њих садрже неке од особина обичног сумирања редова. У ствари, горе је доказано да се коришћењем било ког метода за сумирање који је линеаран и стабилан за резултат реда Шаблон:Nowrap добија Шаблон:Frac. Тачније:

$\begin{array}{cccccc}2s& =& & (1-2+3-4+\cdots )& +& (1-2+3-4+\cdots )\\ & =& 1+& (-2+3-4+\cdots )& +1-2& +(3-4+5\cdots )\\ & =& 0+& (-2+3)+(3-4)+(-4+5)+\cdots \\ 2s& =& & 1-1+1-1\cdots \end{array}$

примена овог метода даје и решење суме Грандијевог реда, Шаблон:Nowrap

Кошијев производ

Године 1891, Ернесто Чезаро изразио је наду да ће дивергентни редови бити укључени у калкулус, указујући на следеће:

За Чезара, ова једначина представља примену теореме коју је објавио годину пре, те се може сматрати првом теоремом у историји сумирања дивергентних редова. Детаљи овог метода за сумирање су приказани доле; основна идеја је да Шаблон:Nowrap јесте Кошијев производ Шаблон:Nowrap и Шаблон:Nowrap.

Кошијев производ два бесконачна реда је дефинисан, чак иако су та два реда дивергентна. У случају где је Σa_n = Σb_n = Σ(−1)ⁿ, услови Кошијевог производа дати су коначним дијагоналним сумама:

$\begin{array}{ccc}{c}_n& =& \sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(-1{)}^{n-k}\\ & =& \sum _{k=0}^n(-1{)}^n=(-1{)}^n(n+1).\end{array}$

Затим, производ реда је:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(n+1)=1-2+3-4+\cdots .$

На тај начин, метод за сумирање који садржи Кошијев производ два реда и даје суму Шаблон:Nowrap такође даје суму Шаблон:Nowrap. Са резултатом добијеним у претходном одељку, ово подразумева једнакост између сумирања Шаблон:Nowrap и Шаблон:Nowrap са методама које су линеарне, стабилне и садрже Кошијев производ.

Чезарова теорема је префињен пример. Ред Шаблон:Nowrap, према Чезару, може да буде сумиран и зове се Шаблон:Nowrap док ред Шаблон:Nowrap захтева дубљу примену Чезарове теореме,Шаблон:SfnШаблон:Sfn и зове се Шаблон:Nowrap Будући да су сви облици Чезарове теореме линеарни и стабилни, вредности суме су оне које смо претходно израчунали.

Посебне методе

Чезаро и Хелдер

Подаци за суму (H, 2) од Шаблон:Frac

За израчунавање Чезарове суме (C, 1) за Шаблон:Nowrap, ако постоји, неопходно је да се прво израчуна аритметичка средина парцијалних сума реда. Парцијалне суме су:

1, −1, 2, −2, 3, −3, ...,

а аритметичка средина ових парцијалних сума:

$1,0,\frac{2}{3},0,\frac{3}{5},0,\frac{4}{7},\dots$.

Пошто овај ред не конвергира, самим тим Шаблон:Nowrap, према Чезару, не може да се сумира.

Постоје две познате генерализације Чезаровог сумирања — концептуално једноставнија метода јесте она која се састоји од низа (H, n) метода за природне бројеве n. Сума (H, 1) је сума по Чезару, а методе вишег реда понављају израчунавање. У наведеном примеру, парне средње вредности конвергирају до Шаблон:Frac, док све непарне средње вредности су једнаке 0; дакле, средње вредности средњих вредности се међусобно приближавају вредностима између 0 и Шаблон:Frac, односно до Шаблон:Frac.Шаблон:SfnШаблон:Sfn Стога, ред Шаблон:Nowrap има суму (H, 2) која износи Шаблон:Frac.

Ознака „H“ представља скраћеницу презимена Ота Хелдера (Шаблон:Јез-нем), који је 1882. године био први који је доказао оно што математичари данас сматрају везом између Абеловог сумирања и (H, n) сумирања. Ред Шаблон:Nowrap је био први пример који је употребљен у ту сврху.Шаблон:SfnШаблон:Sfn Чињеница да Шаблон:Frac је сума (H, 2) од Шаблон:Nowrap потврђује да је ово Абелова сума, такође; ово је директно доказано испод.

Друга честа генерализација Чезаровог сумирања јесте низ од (C, n) метода. Већ је доказано да сумирање (C, n) и сумирање (H, n) увек даје исти резултат, али она заправо имају различите историјске позадине. Године 1887, Чезаро је био близу дефинисања (C, n) сумирања, али је дао само неколико примера. Конкретно, сумирао је Шаблон:Nowrap и добио резултат Шаблон:Frac методом која се може преформулисати као (C, n), али која у то време није била призната. Формално је дефинисао (C, n) методе 1890. године, са циљем да поткрепи своју теорему да Кошијев производ суме реда (C, n) и суме реда (C, m) је једнак суми (C, m + n + 1).Шаблон:Sfn

Абелово сумирање

Изводи из 1−2x+3x²+...; 1/(1 + x)²; и граничне вредности у тачки 1

У извештају из 1749. године, Леонард Ојлер је признао да ред дивергира, али ипак се спремао да израчуна његову суму:

Ојлер је неколико пута предлагао генерализацију појма „сума реда“. У случају Шаблон:Nowrap његове идеје су сличне ономе што је данас познато као Абелово сумирање:

Постоји много начина да се види, бар за апсолутне вредности $|x|<1$, да Ојлер је у праву:

$1-2x+3x^2-4x^3+\cdots =\frac{1}{(1+x{)}^2}.$

Могуће је да изврши проширивање на десној страни Тејлоровог реда или да се примени формални процес дељења полинома. Почевши са леве стране, може да се следи општа хеуристика приказана горе и два пута да се помножи са (1+x) или да се изврши квадрирање геометријског реда Шаблон:Nowrap Изгледа да је Ојлер, исто тако, предложио диференцирање последњег реда члан по члан.Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn

Са савремене тачке гледишта, ред 1 − 2x + 3x² − 4x³ + ... не дефинише функцију у тачки $x=1$, тако да вредност не може једноставно да се замени у добијени израз. Пошто је функција дефинисана за свако $|x|<1$, може да израчуна гранична вредност, јер $x$ тежи $1$, што у суштини представља дефиницију Абеловог сумирања:

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n(-x{)}^{n-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1}{(1+x{)}^2}=\frac{1}{4}.$

Ојлер и Борел

Ојлерово сумирање за Шаблон:Frac − Шаблон:Frac

Ојлер је применио другу методу за овај ред, познату као Ојлерова трансформација, што је један од његових изума. Да би израчунали Ојлерову трансформацију, неопходно је да се почне са низом позитивних чланова — у овом случају са Шаблон:Nowrap Први члан овог низа је означен као a₀.

Осим тога, неопходно је да се израчуна коначна разлика између чланова низа Шаблон:Nowrap, који је једнак Шаблон:Nowrap Први члан овог низа ј означен као Δa₀. Такође, Ојлерова трансформација зависи и од разлике разлика, али све даље разлике чланова низа Шаблон:Nowrap су једнаке са 0. У том случају, Ојлерова трансформација за ред Шаблон:Nowrap дефинисана је као:

$\frac{1}{2}{a}_0-\frac{1}{4}\mathrm{\Delta }{a}_0+\frac{1}{8}{\mathrm{\Delta }}^2{a}_0-\cdots =\frac{1}{2}-\frac{1}{4}.$

У савременој терминологији, каже се да ред Шаблон:Nowrap може да се сумира по Ојлеру, те се притом добије сума једнака Шаблон:Frac.

Сумирање по Ојлеру подразумева постојање још једне врсте сумирања. Представљајући ред Шаблон:Nowrap као:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(k+1)$

доводи до конвергентног реда у свакој тачки, што се може написати као:

$a(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(k+1)x^k}{k!}=e^{-x}(1-x).$

Дакле, Борелова сума реда Шаблон:Nowrap може да се израчуна као:Шаблон:Sfn

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}a(x)dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-2x}(1-x)dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}.$

Раздвајање скала

Математичари Сајчев и Војчињски дошли су до решења Шаблон:Nowrap применом два физичка принципа — инфинитезималне релаксације и раздвајање скала. Прецизније, ови принципи касније ће довести до утврђивања широке породице „метода за φ-сумирање“, који сви за суму дају резултат Шаблон:Frac:

• Ако φ(x) је функција чији су први и други извод континуирани и интеграбилни у интервалу (0, ∞), тако да φ(0) = 1 и граничне вредности од φ(x) и xφ(x) за +∞ су једнаки 0, онда:Шаблон:Sfn

$\underset{\delta \to 0}{\lim }\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m(m+1)\phi (\delta m)=\frac{1}{4}.$

Овај резултат је генерализација Абеловог сумирања, који се добија увођењем замене φ(x) = exp(−x). Општа тврдња може да се докаже груписањем чланова реда у парове преко $m$ и трансформацијом израза у Риманов интеграл. Када се ради о последњем кораку, доказ за Шаблон:Nowrap садржи примену Лагранжове теореме за средњу вредност, али у овом случају захтева примену Лагранжовог облика напредне Тејлорове теореме.

Генерализација

Одломак 233. стране из E212 — Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum. Ојлер сумира сличне редове, око 1755.

Троструки Кошијев производ реда Шаблон:Nowrap износи Шаблон:Nowrap односно наизменични ред троугластих бројева, чија је Абелова и Ојлерова сума једнака Шаблон:Frac.Шаблон:Sfn Четвороструки Кошијев производ реда Шаблон:Nowrap износи, ипак, Шаблон:Nowrap што представља наизменични ред тетраедалних бројева, чија је Абелова сума једнака Шаблон:Frac.

Друга генерализација реда Шаблон:Nowrap на нешто другачији начин јесте ред Шаблон:Nowrap за остале вредности n. У случају да n има вредност позитивног броја, редови овог типа имају следеће Абелове суме:Шаблон:SfnШаблон:Sfn

$1-2^n+3^n-\cdots =\frac{2^{n+1}-1}{n+1}{B}_{n+1}$

где су B_n Бернулијеви бројеви. Када је n паран број, једначина се своди на:

$1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0.$

Последња сума постала је Абелов предмет подсмеха, који је 1826. године записао следеће:

Чезаров учитељ, Ежен Шарл Каталан, такође је понижавао дивергентне редове. Под његовим утицајем, Чезаро је „условне формуле“ за Шаблон:Nowrap првобитно окарактерисао као „апсурдне једнакости“, а 1893. године изразио је мишљење — уобичајено за то време — да су формуле погрешне, али и на неки начин корисне. Коначно, у свом делу Sur la multiplication des séries из 1890. године, Чезаро је применио савремени приступ, почев од дефиниција.Шаблон:Sfn

Редови су предмет проучавања и за вредности n које нису цели бројеви, који сачињавају Дирихлеову ета-функцију. Део Ојлеровог занимања за изучавање редова повезаних са редом Шаблон:Nowrap била је функционална једначина за ета-функцију, што директно доводи до функционалне једначине за Риманову зета-функцију. Ојлер је већ постао познат по проналажењу вредности ових функција са позитивним парним бројевима — укључујући и Базелски проблем — а покушавао је да пронађе вредности и за позитивне непарне бројеве — укључујући и Аперијеву константу — проблем који је остао нерешен и необјашњив до данас. Са Ојлеровим методама је лакше радити са ета-функцијама, због тога што је Абелово сумирање његовог Дирихлеовог реда увек могуће. С друге стране, Дирихлеов ред са зета-функцијама теже се сумира, јер тај ред дивергира.Шаблон:Sfn Тако на пример, ред Шаблон:Nowrap у зета-функцији јесте ненаизменичан ред Шаблон:Nowrap, који има дубоке примене у савременој физици, али захтева примену много јаче методе за израчунавање његових сума.

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• Једначине и формуле за 1 − 2 + 3 − 4 + ...
• Mathematics Magazine (1983) — Euler and Infinite Series
• Series — Wolfram's Mathworld