Бернулијеви бројеви

Бернулијеви бројеви $B_k$ представљају низ рационалних бројева, које је открио Јакоб Бернули, а везани су за суму:

$S_m(n)=\sum _{k=1}^n{k}^m=\frac{1}{m+1}\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})B_k{n}^{m+1-k}$

Неколико првих Бернулијевих бројева дано је табелом:

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Bn	1	$-\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$	0	$-\frac{1}{30}$	0	$\frac{1}{42}$	0	$-\frac{1}{30}$	0	$\frac{5}{66}$	0	$-\frac{691}{2730}$	0	$\frac{7}{6}$

Генерирајућа функција

$\frac{x}{e^x-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_k\frac{x^k}{k!}=1-\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}\frac{x^2}{2!}-\frac{1}{30}\frac{x^4}{4!}+\frac{1}{42}\frac{x^6}{6!}-\frac{1}{30}\frac{x^8}{8!}+\frac{5}{66}\frac{x^{10}}{10!}+\dots$

за $|x|<\pi$

Рекурзивна формула

$B_0=1,$

$B_n=\frac{-1}{n+1}\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})B_{n-k},n\in \mathbb{N}.$

Својства

Ојлер-Маклоренова формула, која се користи за асимптотска рачунања интеграла приказана је помоћу Бернулијевих бројева:

$\sum _{a\le k<b}f(k)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\sum _{k=1}^m\frac{B_k}{k!}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).$

Бернулијеви бројеви користе се и приликом развоја следећих функција:

• $x\mathrm{ctg}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{B}_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}{x}^{2n},|x|<\pi$
• $\mathrm{tg}x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}{x}^{2n-1},|x|<\pi /2$.
• Леонард Ојлер је нашао везу између Бернулијевих бројева и Риманове зета-функције ζ(s) за парне s = 2k:

$B_{2k}=2(-1{)}^{k+1}\frac{\zeta (2k)(2k)!}{(2\pi {)}^{2k}}.$

Одатле следи:

$B_n=-n\zeta (1-n)$ за све n.

Осим тога Бернулијеви бројеви повезани су и са следећим интегралом:

• $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}=\frac{1}{4n}|B_{2n}|,n=1,2,\dots .$

Литература

• -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, Шаблон:ISBN}-
• Бернулијеви бројеви