Лагранжова теорема

Датотека:Lagranzova teorema.png

Геометријска интерпретација Лагранжове теореме

Лагранжова теорема (Шаблон:Јез-енгл) је једна од основних теорема диференцијалног рачуна и уопште математичке анализе. Често се још назива и теорема о средњој вредности диференцијалног рачуна.

Формулација

Ако је функција f:

• непрекидна на затвореном интервалу $[a,b]$, и
• диференцијабилна на отвореном интервалу $(a,b)$,

онда постоји тачка $c$ из интервала $(a,b)$, таква да је:

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$

Доказ 1

Посматрајмо функцију

$h(x)=f(x)+\lambda x$.

И она је непрекидна на $[a,b]$ и диференцијабилна на $(a,b)$. Одредимо $\lambda$ за које функција $h(x)$ задовољава услове Ролове теореме.

Дакле, да би било $h(a)=h(b)$, мора бити:

$\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Тада, по условима Ролове теореме, постоји тачка $c$ из интервала $(a,b)$, таква да је:

$0=h^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)+\lambda ,$ те је

$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Доказ 2

Посматрајмо функцију

$h(x)=f(x)-f(a)-(\frac{f(b)-f(a)}{b-a})(x-a)$

Како је функција $f$ непрекидна и диференцијабилна на интервалу $[a,b]$, односно $(a,b)$, и функција $h$ је непрекидна и диференцијабилна на истим интервалима. Шта више, $h(a)=h(b)=0$, што значи да на функцију $h$ можемо применити Ролову теорему.

Први извод функције $h$ је:

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Према Роловој теореми сада следи да постоји тачка $c$, таква да је $f^{\prime }(c)=0$, тј.

$0=h^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$,

односно:

$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$,

што је и требало да се покаже.

Геометријска интерпретација

Геометријска интерпретација: За било коју функцију непрекидну на [a, b] и диференцијабилну на (a, b), постоји тачка c из интервала (a, b) у којој је тангента (tangent) паралелна са сечицом (secant) која повезује крајеве интервала [a, b].

Геометријски значај ове теореме се састоји у томе да под датим условима постоји тангента криве $y=f(x)$ у некој тачки $c$, која припада затвореном интервалу $(a,b)$, паралелна са сечицом која пролази кроз тачке $A=(a,f(a))$ и $B=(b,f(b)).$

Механичка интерпретација

Ако се тачка креће по закону $x=x(t)$, где је $x(t)$ непрекидна на $[a,b]$ и диференцијабилна на $(a,b)$, онда постоји тренутак $t_0$ у ком је тренутна брзина $x^{\prime }(t_0)$ једнака средњој брзини на интервалу $[a,b]$, која износи $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, управо јер постоји то $t_0$ када је: $f^{\prime }(t_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Последице и напомене

• Као ни Ролова теорема, ни Лагранжова теорема нам не даје информацију о конструкцији тачке $c$, као ни о броју таквих тачака.
• Такође, последица Лагранжове теореме је и следеће: Ако је за свако $x$ из затвореног интервала $[a,b]$, $f^{\prime }(x)=0$, онда је функција $f$ константна на затвореном интервалу $[a,b]$.
• Лагранжова теорема се може посматрати као уопштење Ролове теореме. Наиме, за $f(a)=f(b)$, добијамо функцију која испуњава све услове Ролове теореме.
• Два важна уопштења Лагранжове формуле, тј. теореме, су Кошијева теорема и Тејлорова теорема.

Види још

• Кошијева теорема
• Тејлорова теорема
• Ролова теорема
• Теореме средње вредности
• Интервал
• Математичка анализа