Парност функције

У математици, парне функције и непарне функције су математичке функције које задовољавају одређене релације симетричности. Важне су у математичкој анализи, посебни у теорији степених редова и Фуријеових редова. Назване су по парности степена њихових степених редова који задовољавају сваки од услова: функција -{x}-^-{n}- је парна функција ако је -{n}- паран цео број, а непарна је функција ако је -{n}- непаран цео број.

Парне функције

$f(x)=x^2,$ пример парне функције

Нека је -{f}-(-{x}-) реална функција реалне променљиве. Онда је -{f}- парна функција ако следеће једначине важе за свако -{x}- у домену функције -{f}-:

$f(x)=f(-x)$.

Геометријски, парна функција је симетрична у односу на -{y}- осу, што значи да график функције остаје непромењен после рефлексије око -{y}- осе.

Примери парних функција су апсолутна вредност, -{x}-², -{x}-⁴, -{cos}-(-{x}-), и -{cosh}-(-{x}-).

Непарне функције

$f(x)=x^3,$ пример непарне функције

Поново, нека је -{f}-(-{x}-) реална функција реалне променљиве. Онда је -{f}- непарна функција ако следеће једначине важе за свако -{x}- у домену функције -{f}-:

$-f(x)=f(-x)$.

Геометријски, непарна функција је симетрична у односу на координатни почетак, што значи да график функције остаје непромењен после координатне ротације за 180 степени око координатног почетка.

Примери непарних фукницја су -{x}-, -{x}-³, -{x}-⁵, -{sin}-(-{x}-), и -{erf}- (-{x}-).

Неке чињенице

$f(x)=x^3+1$ није ни парна ни непарна функција

Напомена: парност функције не имплицира диференцијабилност, нити чак непрекидност функције. Својства која укључују Фуријеове редове, Тејлорове редове, изводе итд. могу се користити само ако се претпостави да они постоје.

Основна својства

• Једина функција која је у исто време и парна и непарна је константна функција једнака нули (тј. -{f}-(-{x}-) = 0 за свако -{x}-).
• Збир парне и непарне функције није ни парна ни непарна функција, осим ако једна од те две функције није једнака нули.
• Збир две парне функције је парна функција, и резултат сваког множења парне функције константом је такође парна функција.
• Збир две непарне функције је такође непарна функција, и резултат сваког множења непарне функције константом је непарна функција.
• Производ две парне функције је парна функција.
• Производ две непарне функције је парна функција.
• Производ парне и непарне функције је непарна функција.
• Количник дељења две парне функције је парна функција.
• Количник дељења две непарне функције је парна функција.
• Количник дељења парне функције и непарне функције је непарна функција.
• Извод парне функције је непарна функција.
• Извод непарне функције је парна функција.
• Композиција две парне функције је парна, а композиција две непарне функције је непарна функција.
• Композиција парне и непарне функције је парна функција.
• Композиција било које функције са парном функцијом је парна функција (али не важи обратно).
• Интеграл непарне функције од --{A}- до +-{A}- је нула (где је -{A}- коначно, а функција нема вертикалних асимптота између --{A}- и -{A}-).
• Интеграл парне функције од --{A}- до +-{A}- је двоструко већи од интеграла од 0 до +-{A}- (где је -{A}- коначно, а функција нема вертикалних асимптота између --{A}- и -{A}-).

Редови

• Меклоренов ред парне функције укључује само парне степене.
• Меклоренов ред непарне функције укључује само непарне степене.
• Фуријеов ред периодичне парне функције укључује само косинусне чланове.
• Фуријеов ред периодичне непарне функције укључује само синусне чланове.

Алгебарске структуре

• Свака линеарна комбинација парних функција је такође парна функција, и парне функције формирају векторски простор над реалним бројевима. Исто тако, линеарна комбинација непарних функција формира векторски простор над реалним бројевима. У ствари, векторски простор свих реалних функција је директна сума линеарних подпростора парних и непарних функција. Другим речима, свака функција се може јединствено написати као сума парне и непарне функције:

$f(x)=f_{\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}}(x)+f_{\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d}}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$

• Парне функције формирају К-алгебру над реалним бројевима. С друге стране, непарне функције не формирају К-алгебру над реалним бројевима.

Види још

• Хермитијан функција за генерализацију над комплексним бројевима
• Тејлоров ред
• Фуријеов ред