Конјугован комплексан број

Геометријски приказ комплексног броја z и њему конјугованог z̅ у комплексној равни.

У математици, конјугован комплексан број је број коме је промењен знак имагинарног дела, тј. конјугат броја $z=a+ib$ где $a,b\in ℝ$ је број $\overline{z}=a-ib$. Често се користи и ознака $\overline{z}$.

Пример: $\overline{(3-2i)}=3+2i$, $\overline{i}=-i$ и $\overline{7}=7$.

Уколико посматрамо комплексни број као тачку у равни, конјугат комплексног броја био би представљен његовим одразом од x-осе (пошто се на y-оси налази имагинарни део).

Својства

Својства се односе на све комплексне бројеве уколико није другачије речено.

$\overline{(z+w)}=\overline{z}+\overline{w}$

$\overline{(zw)}=\overline{z}\overline{w}$

$\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}$ ако је w различит од 0

$\overline{z}=z$ акко је -{z}- реалан број

$\left|\overline{z}\right|=\left|z\right|$

${\left|z\right|}^2=z\overline{z}$

$z^{-1}=\frac{\overline{z}}{{\left|z\right|}^2}$ ако је -{z}- различит од 0

Уколико је $p$ полином са реалним коефицијентима, и уколико је $p(z)=0$, тада је и $p(\overline{z})=0$, тј. корени полинома са реалним коефицијентима се појављују као конјуговани комплексни бројеви уколико нису на реалној правој.