Рамануџанов збир

У теорији бројева, Рамануџанов збир, који се обично означава са $c_q(n)$, је функција две позитивне целобројне променљиве q и n дефинисана формулом:

$c_q(n)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\le a\le q}{(a,q)=1}}{e}^{2\pi i\frac{a}{q}n},$

где $(a,q)=1$ значи да a узима само вредности узајамно просте са q.

Сриниваса Рамануџан је поменуо ове збирове у раду из 1918. године. Поред развоја размотрених у овом чланку, Рамануџанови збирови се користе у доказу Виноградовљеве теореме да је сваки довољно велики непаран број збир три проста броја.

Нотација

За целе бројеве a и b, $a\mid b$ се чита „a дели b” и значи да постоји цео број c такав да је $\frac{b}{a}=c.$ Слично, $a\nmid b$ се чита „a не дели b”. Симбол за сумирање

$\sum _{d\mid m}f(d)$

значи да d пролази кроз све позитивне делитеље броја m, нпр.

$\sum _{d\mid 12}f(d)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(6)+f(12).$

$(a,b)$ је највећи заједнички делилац,

$\varphi (n)$ је Ојлерова фи функција,

$\mu (n)$ је Мебијусова функција, а

$\zeta (s)$ је Риманова зета-функција.

Формуле за c_q(n)

Тригонометрија

Ове формуле потичу из дефиниције, Ојлерове формуле $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ и елементарних тригонометријских идентитета.

$\begin{array}{cc}{c}_1(n)& =1\\ c_2(n)& =\cos n\pi \\ c_3(n)& =2\cos \frac{2}{3}n\pi \\ c_4(n)& =2\cos \frac{1}{2}n\pi \\ c_5(n)& =2\cos \frac{2}{5}n\pi +2\cos \frac{4}{5}n\pi \\ c_6(n)& =2\cos \frac{1}{3}n\pi \\ c_7(n)& =2\cos \frac{2}{7}n\pi +2\cos \frac{4}{7}n\pi +2\cos \frac{6}{7}n\pi \\ c_8(n)& =2\cos \frac{1}{4}n\pi +2\cos \frac{3}{4}n\pi \\ c_9(n)& =2\cos \frac{2}{9}n\pi +2\cos \frac{4}{9}n\pi +2\cos \frac{8}{9}n\pi \\ c_{10}(n)& =2\cos \frac{1}{5}n\pi +2\cos \frac{3}{5}n\pi \end{array}$

и тако даље (Шаблон:OEIS, Шаблон:OEIS, Шаблон:OEIS, Шаблон:OEIS,.., Шаблон:OEIS,...). $c_q(n)$ је увек цео број.

Клојверова формула

Нека је ${\zeta }_q=e^{\frac{2\pi i}{q}}.$ Тада је ${\zeta }_q$ корен једначине $x^q-1=0$. Сваки његов степен,

${\zeta }_q,{\zeta }_q^2,\dots ,{\zeta }_q^{q-1},{\zeta }_q^q={\zeta }_q^0=1$

је такође корен. Пошто их има q, они су сви корени. Бројеви ${\zeta }_q^n$ где је 1 ≤ n ≤ q називају се q-ти корени јединице. ${\zeta }_q$ се назива примитивни q-ти корен јединице јер је најмања вредност n за коју је ${\zeta }_q^n=1$ управо q. Остали примитивни q-ти корени јединице су бројеви ${\zeta }_q^a$ где је (a, q) = 1. Стога, постоји φ(q) примитивних q-тих корена јединице.

Тако је Рамануџанов збир c_q(n) збир n-тих степена примитивних q-тих корена јединице.

Чињеница је да су степени од ${\zeta }_q$ тачно примитивни корени за све делитеље броја q.

Пример. Нека је q = 12. Тада су

${\zeta }_{12},{\zeta }_{12}^5,{\zeta }_{12}^7,$ и ${\zeta }_{12}^{11}$ примитивни дванаести корени јединице,

${\zeta }_{12}^2$ и ${\zeta }_{12}^{10}$ су примитивни шести корени јединице,

${\zeta }_{12}^3=i$ и ${\zeta }_{12}^9=-i$ су примитивни четврти корени јединице,

${\zeta }_{12}^4$ и ${\zeta }_{12}^8$ су примитивни трећи корени јединице,

${\zeta }_{12}^6=-1$ је примитивни други корен јединице, и

${\zeta }_{12}^{12}=1$ је примитивни први корен јединице.

Стога, ако је

${\eta }_q(n)=\sum _{k=1}^q{\zeta }_q^{kn}$

збир n-тих степена свих корена, примитивних и непримитивних,

${\eta }_q(n)=\sum _{d\mid q}{c}_d(n),$

и помоћу Мебијусове инверзије,

$c_q(n)=\sum _{d\mid q}\mu \left(\frac{q}{d}\right){\eta }_d(n).$

Из идентитета x^q − 1 = (x − 1)(x^q−1 + x^q−2 + ... + x + 1) следи да је

${\eta }_q(n)=\{\begin{array}{cc}0& q\nmid n\\ q& q\mid n\end{array}$

а ово води до формуле

$c_q(n)=\sum _{d\mid (q,n)}\mu \left(\frac{q}{d}\right)d,$

коју је објавио Клојвер 1906. године.

Ово показује да је c_q(n) увек цео број. Упоредите је са формулом

$\varphi (q)=\sum _{d\mid q}\mu \left(\frac{q}{d}\right)d.$

вон Штернекова формула

Из дефиниције се лако показује да је c_q(n) мултипликативна када се посматра као функција од q за фиксну вредност n: тј.

$\text{Ако је }(q,r)=1\text{ тада је }{c}_q(n)c_r(n)=c_{qr}(n).$

Из дефиниције (или Клојверове формуле) једноставно је доказати да, ако је p прост број,

$c_p(n)=\{\begin{array}{cc}-1& \text{ ако }p\nmid n\\ \varphi (p)& \text{ ако }p\mid n\end{array},$

и ако је p^k степен простог броја где је k > 1,

$c_{p^k}(n)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ ако }{p}^{k-1}\nmid n\\ -p^{k-1}& \text{ ако }{p}^{k-1}\mid n\text{ и }{p}^k\nmid n\\ \varphi (p^k)& \text{ ако }{p}^k\mid n\end{array}.$

Овај резултат и мултипликативно својство могу се користити да се докаже

$c_q(n)=\mu \left(\frac{q}{(q,n)}\right)\frac{\varphi (q)}{\varphi \left(\frac{q}{(q,n)}\right)}.$

Ово се назива вон Штернекова аритметичка функција. Еквивалентност ове функције и Рамануџановог збира дугује се Хелдеру.

Друга својства c_q(n)

За све позитивне целе бројеве q,

$\begin{array}{cc}{c}_1(q)& =1\\ c_q(1)& =\mu (q)\\ c_q(q)& =\varphi (q)\\ c_q(m)& =c_q(n)& & \text{за }m\equiv n(\mathrm{mod}q)\end{array}$

За фиксну вредност q, апсолутна вредност низа $\{c_q(1),c_q(2),\dots \}$ је ограничена са φ(q), а за фиксну вредност n, апсолутна вредност низа $\{c_1(n),c_2(n),\dots \}$ је ограничена са n.

Ако је q > 1

$\sum _{n=a}^{a+q-1}{c}_q(n)=0.$

Нека су m₁, m₂ > 0, m = нзс(m₁, m₂). Тада Рамануџанови збирови задовољавају својство ортогоналности:

$\frac{1}{m}\sum _{k=1}^m{c}_{m_1}(k)c_{m_2}(k)=\{\begin{array}{cc}\varphi (m)& m_1=m_2=m,\\ 0& \text{иначе}\end{array}$

Нека су n, k > 0. Тада

$\sum _{\stackrel{d\mid n}{gcd(d,k)=1}}d\frac{\mu (\frac{n}{d})}{\varphi (d)}=\frac{\mu (n)c_n(k)}{\varphi (n)},$

познат као Брауер-Радемахеров идентитет.

Ако је n > 0 и a било који цео број, такође имамо

$\sum _{\stackrel{1\le k\le n}{gcd(k,n)=1}}{c}_n(k-a)=\mu (n)c_n(a),$

што се дугује Коену.

Табела

Рамануџанов збир c_s(n)

		n
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
s	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	2	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1
	3	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2
	4	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2
	5	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4
	6	1	−1	−2	−1	1	2	1	−1	−2	−1	1	2	1	−1	−2	−1	1	2	1	−1	−2	−1	1	2	1	−1	−2	−1	1	2
	7	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1
	8	0	0	0	−4	0	0	0	4	0	0	0	−4	0	0	0	4	0	0	0	−4	0	0	0	4	0	0	0	−4	0	0
	9	0	0	−3	0	0	−3	0	0	6	0	0	−3	0	0	−3	0	0	6	0	0	−3	0	0	−3	0	0	6	0	0	−3
	10	1	−1	1	−1	−4	−1	1	−1	1	4	1	−1	1	−1	−4	−1	1	−1	1	4	1	−1	1	−1	−4	−1	1	−1	1	4
	11	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	10	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	10	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
	12	0	2	0	−2	0	−4	0	−2	0	2	0	4	0	2	0	−2	0	−4	0	−2	0	2	0	4	0	2	0	−2	0	−4
	13	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	12	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	12	−1	−1	−1	−1
	14	1	−1	1	−1	1	−1	−6	−1	1	−1	1	−1	1	6	1	−1	1	−1	1	−1	−6	−1	1	−1	1	−1	1	6	1	−1
	15	1	1	−2	1	−4	−2	1	1	−2	−4	1	−2	1	1	8	1	1	−2	1	−4	−2	1	1	−2	−4	1	−2	1	1	8
	16	0	0	0	0	0	0	0	−8	0	0	0	0	0	0	0	8	0	0	0	0	0	0	0	−8	0	0	0	0	0	0
	17	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	16	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
	18	0	0	3	0	0	−3	0	0	−6	0	0	−3	0	0	3	0	0	6	0	0	3	0	0	−3	0	0	−6	0	0	−3
	19	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	18	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
	20	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	−8	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	8	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	−8
	21	1	1	−2	1	1	−2	−6	1	−2	1	1	−2	1	−6	−2	1	1	−2	1	1	12	1	1	−2	1	1	−2	−6	1	−2
	22	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	−10	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	10	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1
	23	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	22	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
	24	0	0	0	4	0	0	0	−4	0	0	0	−8	0	0	0	−4	0	0	0	4	0	0	0	8	0	0	0	4	0	0
	25	0	0	0	0	−5	0	0	0	0	−5	0	0	0	0	−5	0	0	0	0	−5	0	0	0	0	20	0	0	0	0	−5
	26	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	−12	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	12	1	−1	1	−1
	27	0	0	0	0	0	0	0	0	−9	0	0	0	0	0	0	0	0	−9	0	0	0	0	0	0	0	0	18	0	0	0
	28	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	−12	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	12	0	2
	29	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	28	−1
	30	−1	1	2	1	4	−2	−1	1	2	−4	−1	−2	−1	1	−8	1	−1	−2	−1	−4	2	1	−1	−2	4	1	2	1	−1	8

Рамануџанови развоји

Ако је f(n) аритметичка функција (тј. функција комплексне вредности целих или природних бројева), онда се конвергентни бесконачни ред облика:

$f(n)=\sum _{q=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_q{c}_q(n)$

или облика:

$f(q)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{c}_q(n)$

где су a_k ∈ C, назива Рамануџанов развој функције f(n).

Рамануџан је пронашао развоје неких од познатих функција у теорији бројева. Сви ови резултати су доказани на "елементаран" начин (тј. само коришћењем формалних манипулација са редовима и најједноставнијих резултата о конвергенцији).

Развој нулте функције зависи од резултата из аналитичке теорије простих бројева, наиме да ред

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n}$

конвергира ка 0, а резултати за r(n) и r′(n) зависе од теорема из ранијег рада.

Све формуле у овом одељку потичу из Рамануџановог рада из 1918. године.

Генераторне функције

Генераторне функције Рамануџанових збирова су Дирихлеови редови:

$\zeta (s)\sum _{\delta \mid q}\mu \left(\frac{q}{\delta }\right){\delta }^{1-s}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_q(n)}{n^s}$

је генераторна функција низа c_q(1), c_q(2), ... где је q константно, а

$\frac{{\sigma }_{r-1}(n)}{n^{r-1}\zeta (r)}=\sum _{q=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_q(n)}{q^r}$

је генераторна функција низа c₁(n), c₂(n), ... где је n константно.

Постоји и двоструки Дирихлеов ред

$\frac{\zeta (s)\zeta (r+s-1)}{\zeta (r)}=\sum _{q=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_q(n)}{q^r{n}^s}.$

Полином са Рамануџановим збировима као коефицијентима може се изразити помоћу циклотомичних полинома

$\sum _{n=1}^q{c}_q(n)x^{n-1}=(x^q-1)\frac{{{\mathrm{\Phi }}_q}^{\prime }(x)}{{\mathrm{\Phi }}_q(x)}={{\mathrm{\Phi }}_q}^{\prime }(x)\prod _{\begin{array}{c}d\mid q\\ d\ne q\end{array}}{\mathrm{\Phi }}_d(x)$

σ_k(n)

σ_k(n) је делитељска функција (тј. збир k-тих степена делитеља броја n, укључујући 1 и n). σ₀(n), број делитеља од n, обично се пише d(n), а σ₁(n), збир делитеља од n, обично се пише σ(n).

Ако је s > 0,

$\begin{array}{cc}{\sigma }_s(n)& =n^s\zeta (s+1)(\frac{c_1(n)}{1^{s+1}}+\frac{c_2(n)}{2^{s+1}}+\frac{c_3(n)}{3^{s+1}}+\cdots )\\ {\sigma }_{-s}(n)& =\zeta (s+1)(\frac{c_1(n)}{1^{s+1}}+\frac{c_2(n)}{2^{s+1}}+\frac{c_3(n)}{3^{s+1}}+\cdots )\end{array}$

Постављањем s = 1 добија се

$\sigma (n)=\frac{{\pi }^2}{6}n(\frac{c_1(n)}{1}+\frac{c_2(n)}{4}+\frac{c_3(n)}{9}+\cdots ).$

Ако је Риманова хипотеза тачна, и $-\frac{1}{2}<s<\frac{1}{2},$

${\sigma }_s(n)=\zeta (1-s)(\frac{c_1(n)}{1^{1-s}}+\frac{c_2(n)}{2^{1-s}}+\frac{c_3(n)}{3^{1-s}}+\cdots )=n^s\zeta (1+s)(\frac{c_1(n)}{1^{1+s}}+\frac{c_2(n)}{2^{1+s}}+\frac{c_3(n)}{3^{1+s}}+\cdots ).$

d(n)

d(n) = σ₀(n) је број делитеља од n, укључујући 1 и n.

$\begin{array}{cc}-d(n)& =\frac{\log 1}{1}{c}_1(n)+\frac{\log 2}{2}{c}_2(n)+\frac{\log 3}{3}{c}_3(n)+\cdots \\ -d(n)(2\gamma +\log n)& =\frac{{\log }^{2}1}{1}{c}_1(n)+\frac{{\log }^{2}2}{2}{c}_2(n)+\frac{{\log }^{2}3}{3}{c}_3(n)+\cdots \end{array}$

где је γ = 0.5772... Ојлер-Маскеронијева константа.

φ(n)

Ојлерова фи функција φ(n) је број позитивних целих бројева мањих од n и узајамно простих са n. Рамануџан дефинише њену генерализацију, ако је

$n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}{p}_3^{a_3}\cdots$

проста факторизација броја n, и s је комплексни број, нека је

${\phi }_s(n)=n^s(1-p_1^{-s})(1-p_2^{-s})(1-p_3^{-s})\cdots ,$

тако да је φ₁(n) = φ(n) Ојлерова функција.

Он доказује да је

$\frac{\mu (n)n^s}{{\phi }_s(n)\zeta (s)}=\sum _{\nu =1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n\nu )}{{\nu }^s}$

и користи ово да покаже да је

$\frac{{\phi }_s(n)\zeta (s+1)}{n^s}=\frac{\mu (1)c_1(n)}{{\phi }_{s+1}(1)}+\frac{\mu (2)c_2(n)}{{\phi }_{s+1}(2)}+\frac{\mu (3)c_3(n)}{{\phi }_{s+1}(3)}+\cdots .$

За s = 1,

$\phi (n)=\frac{6}{{\pi }^2}n(c_1(n)-\frac{c_2(n)}{2^2-1}-\frac{c_3(n)}{3^2-1}-\frac{c_5(n)}{5^2-1}+\frac{c_6(n)}{(2^2-1)(3^2-1)}-\frac{c_7(n)}{7^2-1}+\frac{c_{10}(n)}{(2^2-1)(5^2-1)}-\cdots ).$

Приметимо да је константа инверзна константи у формули за σ(n).

Λ(n)

Фон Манголтова функција Λ(n) = 0 осим ако је n = p^k степен простог броја, у ком случају је то природни логаритам log p.

$-\mathrm{\Lambda }(m)=c_m(1)+\frac{1}{2}{c}_m(2)+\frac{1}{3}{c}_m(3)+\cdots$

Нулта функција

За све n > 0,

$0=c_1(n)+\frac{1}{2}{c}_2(n)+\frac{1}{3}{c}_3(n)+\cdots .$

Ово је еквивалентно теореми о простим бројевима.

r_2s(n) (збирови квадрата)

r_2s(n) је број начина представљања n као збира 2s квадрата, рачунајући различите редоследе и знакове као различите (нпр., r₂(13) = 8, јер је 13 = (±2)² + (±3)² = (±3)² + (±2)².)

Рамануџан дефинише функцију δ_2s(n) и позива се на рад у којем је доказао да је r_2s(n) = δ_2s(n) за s = 1, 2, 3, и 4. За s > 4 он показује да је δ_2s(n) добра апроксимација за r_2s(n).

s = 1 има посебну формулу:

${\delta }_2(n)=\pi (\frac{c_1(n)}{1}-\frac{c_3(n)}{3}+\frac{c_5(n)}{5}-\cdots ).$

У следећим формулама знаци се понављају са периодом 4.

$\begin{array}{cccc}{\delta }_{2s}(n)& =\frac{{\pi }^s{n}^{s-1}}{(s-1)!}(\frac{c_1(n)}{1^s}+\frac{c_4(n)}{2^s}+\frac{c_3(n)}{3^s}+\frac{c_8(n)}{4^s}+\frac{c_5(n)}{5^s}+\frac{c_{12}(n)}{6^s}+\frac{c_7(n)}{7^s}+\frac{c_{16}(n)}{8^s}+\cdots )& & s\equiv 0(\mathrm{mod}4)\\ {\delta }_{2s}(n)& =\frac{{\pi }^s{n}^{s-1}}{(s-1)!}(\frac{c_1(n)}{1^s}-\frac{c_4(n)}{2^s}+\frac{c_3(n)}{3^s}-\frac{c_8(n)}{4^s}+\frac{c_5(n)}{5^s}-\frac{c_{12}(n)}{6^s}+\frac{c_7(n)}{7^s}-\frac{c_{16}(n)}{8^s}+\cdots )& & s\equiv 2(\mathrm{mod}4)\\ {\delta }_{2s}(n)& =\frac{{\pi }^s{n}^{s-1}}{(s-1)!}(\frac{c_1(n)}{1^s}+\frac{c_4(n)}{2^s}-\frac{c_3(n)}{3^s}+\frac{c_8(n)}{4^s}+\frac{c_5(n)}{5^s}+\frac{c_{12}(n)}{6^s}-\frac{c_7(n)}{7^s}+\frac{c_{16}(n)}{8^s}+\cdots )& & s\equiv 1(\mathrm{mod}4)\text{ и }s>1\\ {\delta }_{2s}(n)& =\frac{{\pi }^s{n}^{s-1}}{(s-1)!}(\frac{c_1(n)}{1^s}-\frac{c_4(n)}{2^s}-\frac{c_3(n)}{3^s}-\frac{c_8(n)}{4^s}+\frac{c_5(n)}{5^s}-\frac{c_{12}(n)}{6^s}-\frac{c_7(n)}{7^s}-\frac{c_{16}(n)}{8^s}+\cdots )& & s\equiv 3(\mathrm{mod}4)\end{array}$

и стога,

$\begin{array}{cc}{r}_2(n)& =\pi (\frac{c_1(n)}{1}-\frac{c_3(n)}{3}+\frac{c_5(n)}{5}-\frac{c_7(n)}{7}+\frac{c_{11}(n)}{11}-\frac{c_{13}(n)}{13}+\frac{c_{15}(n)}{15}-\frac{c_{17}(n)}{17}+\cdots )\\ r_4(n)& ={\pi }^{2}n(\frac{c_1(n)}{1}-\frac{c_4(n)}{4}+\frac{c_3(n)}{9}-\frac{c_8(n)}{16}+\frac{c_5(n)}{25}-\frac{c_{12}(n)}{36}+\frac{c_7(n)}{49}-\frac{c_{16}(n)}{64}+\cdots )\\ r_6(n)& =\frac{{\pi }^3{n}^2}{2}(\frac{c_1(n)}{1}-\frac{c_4(n)}{8}-\frac{c_3(n)}{27}-\frac{c_8(n)}{64}+\frac{c_5(n)}{125}-\frac{c_{12}(n)}{216}-\frac{c_7(n)}{343}-\frac{c_{16}(n)}{512}+\cdots )\\ r_8(n)& =\frac{{\pi }^4{n}^3}{6}(\frac{c_1(n)}{1}+\frac{c_4(n)}{16}+\frac{c_3(n)}{81}+\frac{c_8(n)}{256}+\frac{c_5(n)}{625}+\frac{c_{12}(n)}{1296}+\frac{c_7(n)}{2401}+\frac{c_{16}(n)}{4096}+\cdots )\end{array}$

r′_2s(n) (збирови троугаоних бројева)

$r{\text{'}}_{2s}(n)$ је број начина на које се n може представити као збир 2s троугаоних бројева (тј. бројева 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 15, ...; n-ти троугаони број је дат формулом n(n + 1)/2.)

Анализа је овде слична оној за квадрате. Рамануџан се позива на исти рад као и за квадрате, где је показао да постоји функција $\delta {\text{'}}_{2s}(n)$ таква да је $r{\text{'}}_{2s}(n)=\delta {\text{'}}_{2s}(n)$ за s = 1, 2, 3, и 4, и да је за s > 4, $\delta {\text{'}}_{2s}(n)$ добра апроксимација за $r{\text{'}}_{2s}(n).$

Опет, s = 1 захтева посебну формулу:

$\delta {\text{'}}_2(n)=\frac{\pi }{4}(\frac{c_1(4n+1)}{1}-\frac{c_3(4n+1)}{3}+\frac{c_5(4n+1)}{5}-\frac{c_7(4n+1)}{7}+\cdots ).$

Ако је s дељиво са 4,

$\begin{array}{cccc}\delta {\text{'}}_{2s}(n)& =\frac{(\frac{\pi }{2}{)}^s}{(s-1)!}{(n+\frac{s}{4})}^{s-1}(\frac{c_1(n+\frac{s}{4})}{1^s}+\frac{c_3(n+\frac{s}{4})}{3^s}+\frac{c_5(n+\frac{s}{4})}{5^s}+\cdots )& & s\equiv 0(\mathrm{mod}4)\\ \delta {\text{'}}_{2s}(n)& =\frac{(\frac{\pi }{2}{)}^s}{(s-1)!}{(n+\frac{s}{4})}^{s-1}(\frac{c_1(2n+\frac{s}{2})}{1^s}+\frac{c_3(2n+\frac{s}{2})}{3^s}+\frac{c_5(2n+\frac{s}{2})}{5^s}+\cdots )& & s\equiv 2(\mathrm{mod}4)\\ \delta {\text{'}}_{2s}(n)& =\frac{(\frac{\pi }{2}{)}^s}{(s-1)!}{(n+\frac{s}{4})}^{s-1}(\frac{c_1(4n+s)}{1^s}-\frac{c_3(4n+s)}{3^s}+\frac{c_5(4n+s)}{5^s}-\cdots )& & s\equiv 1(\mathrm{mod}2)\text{ и }s>1\end{array}$

Стога,

$\begin{array}{cc}r{\text{'}}_2(n)& =\frac{\pi }{4}(\frac{c_1(4n+1)}{1}-\frac{c_3(4n+1)}{3}+\frac{c_5(4n+1)}{5}-\frac{c_7(4n+1)}{7}+\cdots )\\ r{\text{'}}_4(n)& ={\left(\frac{\pi }{2}\right)}^2(n+\frac{1}{2})(\frac{c_1(2n+1)}{1}+\frac{c_3(2n+1)}{9}+\frac{c_5(2n+1)}{25}+\cdots )\\ r{\text{'}}_6(n)& =\frac{(\frac{\pi }{2}{)}^3}{2}{(n+\frac{3}{4})}^2(\frac{c_1(4n+3)}{1}-\frac{c_3(4n+3)}{27}+\frac{c_5(4n+3)}{125}-\cdots )\\ r{\text{'}}_8(n)& =\frac{(\frac{\pi }{2}{)}^4}{6}(n+1{)}^3(\frac{c_1(n+1)}{1}+\frac{c_3(n+1)}{81}+\frac{c_5(n+1)}{625}+\cdots )\end{array}$

Збирови

Нека је

$\begin{array}{cc}{T}_q(n)& =c_q(1)+c_q(2)+\cdots +c_q(n)\\ U_q(n)& =T_q(n)+\frac{1}{2}\varphi (q)\end{array}$

Тада за s > 1,

$\begin{array}{cc}{\sigma }_{-s}(1)+\cdots +{\sigma }_{-s}(n)& =\zeta (s+1)(n+\frac{T_2(n)}{2^{s+1}}+\frac{T_3(n)}{3^{s+1}}+\frac{T_4(n)}{4^{s+1}}+\cdots )\\ & =\zeta (s+1)(n+\frac{1}{2}+\frac{U_2(n)}{2^{s+1}}+\frac{U_3(n)}{3^{s+1}}+\frac{U_4(n)}{4^{s+1}}+\cdots )-\frac{1}{2}\zeta (s)\\ d(1)+\cdots +d(n)& =-\frac{T_2(n)\log 2}{2}-\frac{T_3(n)\log 3}{3}-\frac{T_4(n)\log 4}{4}-\cdots \\ d(1)\log 1+\cdots +d(n)\log n& =-\frac{T_2(n)(2\gamma \log 2-{\log }^{2}2)}{2}-\frac{T_3(n)(2\gamma \log 3-{\log }^{2}3)}{3}-\frac{T_4(n)(2\gamma \log 4-{\log }^{2}4)}{4}-\cdots \\ r_2(1)+\cdots +r_2(n)& =\pi (n-\frac{T_3(n)}{3}+\frac{T_5(n)}{5}-\frac{T_7(n)}{7}+\cdots )\end{array}$

Види још

• Гаусов период
• Клостерманов збир

Референце

• Шаблон:Cite book

• Шаблон:Cite book

• Шаблон:Cite book.

• Шаблон:Cite journal

• Шаблон:Cite journal (стр. 179–199 његових Collected Papers)

• Шаблон:Cite journal (стр. 136–163 његових Collected Papers)

• Шаблон:Cite book

• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• Шаблон:Cite journal