Мебијусова функција

Шаблон:Разликовати Класична Мебијусова функција, у ознаци $\mu (n)$, је значајна мултипликативна функција у теорији бројева и комбинаторици. Добила је име по немачком математичару Аугусту Фернанду Мебијусу који је дефинисао 1832. године.

Дефиниција

$\mu (n)$ је дефинисана за све позитивне целе бројеве -{n}- којима додељује једну од вредности {-1, 0, 1}, у зависности од факторизације броја -{n}- на просте чиниоце. Задата је на следећи начин:

$\mu (n)=\{\begin{array}{cc}1& \text{kada je }n=1\\ (-1{)}^k& \text{kada }n\text{ nije deljivo potpunim kvadratom, }k\text{ je broj prostih činilaca}\\ 0& \text{inače }\end{array}$

Другим речима,

• $\mu (n)=1$ ако је -{n}- позитиван цео број који није дељив потпуним квадратом, и има паран број различитих простих чинилаца.
• $\mu (n)=-1$ ако је -{n}- позитиван цео број недељив потпуним квадратом са непарним бројем различитих простих чинилаца.
• $\mu (n)=0$ ако је -{n}- дељиво потпуним квадратом.

Еквивалентан начин да се то искаже је да се дефинишу две функције

-{ω(n)}-, број различитих простих бројева који су делиоци броја -{n}- и
-{Ω(n)}-, број простих чинилаца броја -{n}-, при чему се броје сва појављивања. Јасно је да важи -{ω(n) ≤ Ω(n)}-.

Онда је

$\mu (n)=\{\begin{array}{cc}(-1{)}^{\omega (n)}=(-1{)}^{\mathrm{\Omega }(n)}& \text{ako je }\omega (n)=\mathrm{\Omega }(n)\\ 0& \text{ako je }\omega (n)<\mathrm{\Omega }(n).\end{array}$

Одавде следи да је -{μ}-(1) = 1, пошто број 1 има паран број, односно нула простих чинилаца. Вредност -{μ}-(0) није дефинисана.

Вредности Мебијусове функције за првих 20 позитивних целих бројева:

-{n}-	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
-{μ(n)}-	1	-1	-1	0	-1	1	-1	0	0	1	-1	0	-1	1	1	0	-1	0	-1	0

На следећој слици је приказано првих 50 вредности Мебијусове функције:

Првих 50 вредности функције

Спољашње везе

• Мебијусова функција на -{mathworld.wolfram.com}- Шаблон:En