Мултипликативна функција

Мултипликативна функција је, у теорији бројева, аритметичка функција $f$ позитивног целог броја $n$ са својством да је $f(1)=1$ и $$f(ab)=f(a)f(b)$$ кад год су $a$ и $b$ узајамно прости.

Аритметичка функција се назива потпуно мултипликативном (или тотално мултипликативном) ако је $f(1)=1$ и ако $f(ab)=f(a)f(b)$ важи за све позитивне целе бројеве $a$ и $b$, чак и када нису узајамно прости.

Примери

Неке мултипликативне функције дефинисане су тако да олакшају писање формула:

• $1(n)$: константна функција дефинисана са $1(n)=1$
• $\mathrm{Id}(n)$: идентична функција, дефинисана са $\mathrm{Id}(n)=n$
• ${\mathrm{Id}}_k(n)$: степенске функције, дефинисане са ${\mathrm{Id}}_k(n)=n^k$ за било који комплексан број $k$. Посебни случајеви су:

   *   ${\mathrm{Id}}_0(n)=1(n)$, и
   *   ${\mathrm{Id}}_1(n)=\mathrm{Id}(n)$.

• $\epsilon (n)$: функција дефинисана са $\epsilon (n)=1$ ако је $n=1$ и $0$ иначе; ово је јединична функција, названа тако јер је мултипликативни идентитет за Дирихлеову конволуцију. Понекад се означава и са $u(n)$, што не треба мешати са $\mu (n)$.
• $\lambda (n)$: Лијувилова функција, $\lambda (n)=(-1{)}^{\mathrm{\Omega }(n)}$, где је $\mathrm{\Omega }(n)$ укупан број простих фактора (рачунатих са вишеструкошћу) који деле $n$.

Све горе наведене функције су потпуно мултипликативне.

• $1_C(n)$: индикаторска функција скупа $C\subseteq \mathbb{Z}$. Ова функција је мултипликативна тачно онда када је скуп $C$ затворен у односу на множење узајамно простих елемената. Постоје и други скупови (који нису затворени под множењем) који дају такве функције, као што је скуп бесквадратних бројева.

Други примери мултипликативних функција укључују многе функције од значаја у теорији бројева, као што су:

• $gcd(n,k)$: највећи заједнички делилац бројева $n$ и $k$, као функција од $n$, где је $k$ фиксиран цео број.
• $\phi (n)$: Ојлерова фи функција, која броји позитивне целе бројеве узајамно просте са $n$ (али не веће од $n$).
• $\mu (n)$: Мебијусова функција, парност ($-1$ за непаран, $+1$ за паран) броја простих фактора бесквадратних бројева; $0$ ако $n$ није бесквадратан.
• ${\sigma }_k(n)$: делитељска функција, која је збир $k$-тих степена свих позитивних делитеља броја $n$ (где $k$ може бити било који комплексан број). Посебни случајеви су:

   *   ${\sigma }_0(n)=d(n)$, број позитивних делитеља броја $n$,
   *   ${\sigma }_1(n)=\sigma (n)$, збир свих позитивних делитеља броја $n$.

• ${\sigma }_k^{\ast }(n)$: збир $k$-тих степена свих унитарних делитеља броја $n$:

   ${\sigma }_k^{\ast }(n)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{d\mid n}{gcd(d,n/d)=1}}{d}^k$

• $a(n)$: број неизоморфних абелових група реда $n$.
• $\gamma (n)$, дефинисана са $\gamma (n)=(-1{)}^{\omega (n)}$, где је адитивна функција $\omega (n)$ број различитих простих бројева који деле $n$.
• $\tau (n)$: Рамануџанова тау функција.
• Сви Дирихлеови карактери су потпуно мултипликативне функције, на пример:

   *   $(n/p)$, Лежандров симбол, посматран као функција од $n$ где је $p$ фиксиран прост број.

Пример немултипликативне функције је аритметичка функција $r_2(n)$, број представљања броја $n$ као збира квадрата два цела броја, позитивна, негативна, или нула, где је при бројању начина дозвољено обртање редоследа. На пример: Шаблон:Block indent и стога је $r_2(1)=4\ne 1$. Ово показује да функција није мултипликативна. Међутим, $r_2(n)/4$ јесте мултипликативна.

У Онлајн енциклопедији целобројних низова, низови вредности мултипликативне функције имају кључну реч "mult".

Видети аритметичка функција за неке друге примере немултипликативних функција.

Особине

Мултипликативна функција је у потпуности одређена својим вредностима на степенима простих бројева, што је последица основне теореме аритметике. Дакле, ако је n производ степена различитих простих бројева, рецимо n = p^a q^b ..., онда је f(n) = f(p^a) f(q^b) ...

Ова особина мултипликативних функција значајно смањује потребу за рачунањем, као у следећим примерима за n = 144 = 2⁴ · 3²: $$d(144)={\sigma }_0(144)={\sigma }_0(2^4){\sigma }_0(3^2)=(1^0+2^0+4^0+8^0+16^0)(1^0+3^0+9^0)=5\cdot 3=15$$ $$\sigma (144)={\sigma }_1(144)={\sigma }_1(2^4){\sigma }_1(3^2)=(1^1+2^1+4^1+8^1+16^1)(1^1+3^1+9^1)=31\cdot 13=403$$ $${\sigma }^{\ast }(144)={\sigma }^{\ast }(2^4){\sigma }^{\ast }(3^2)=(1^1+16^1)(1^1+9^1)=17\cdot 10=170$$

Слично, имамо: $$\phi (144)=\phi (2^4)\phi (3^2)=(2^4-2^3)(3^2-3^1)=(16-8)(9-3)=8\cdot 6=48$$

Уопштено, ако је f(n) мултипликативна функција и a, b су било која два позитивна цела броја, онда је Шаблон:Block indent

Свака потпуно мултипликативна функција је хомоморфизам моноида и у потпуности је одређена својом рестрикцијом на просте бројеве.

Конволуција

Ако су f и g две мултипликативне функције, дефинише се нова мултипликативна функција $f\ast g$, Дирихлеова конволуција функција f и g, са $$(f\ast g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)$$ где се сума протеже преко свих позитивних делитеља d броја n. Са овом операцијом, скуп свих мултипликативних функција постаје абелова група; идентични елемент је ε. Конволуција је комутативна, асоцијативна и дистрибутивна у односу на сабирање.Шаблон:Чињеница

Релације међу горе наведеним мултипликативним функцијама укључују:

• $\mu \ast 1=\epsilon$ (Мебијусова инверзиона формула)
• $(\mu {\mathrm{Id}}_k)\ast {\mathrm{Id}}_k=\epsilon$ (генерализована Мебијусова инверзија)
• $\phi \ast 1=\mathrm{Id}$
• $d=1\ast 1$
• $\sigma =\mathrm{Id}\ast 1=\phi \ast d$
• ${\sigma }_k={\mathrm{Id}}_k\ast 1$
• $\mathrm{Id}=\sigma \ast \mu$
• ${\mathrm{Id}}_k={\sigma }_k\ast \mu$

Дирихлеова конволуција се може дефинисати за опште аритметичке функције, и даје структуру прстена, Дирихлеовог прстена.

Дирихлеова конволуција две мултипликативне функције је поново мултипликативна.Шаблон:Чињеница Доказ ове чињенице дат је следећим развојем за узајамно просте $a,b\in {\mathbb{Z}}^{+}$: $$\begin{array}{cc}(f\ast g)(ab)& =\sum _{d|ab}f(d)g\left(\frac{ab}{d}\right)\\ & =\sum _{d_1|a}\sum _{d_2|b}f(d_1{d}_2)g\left(\frac{ab}{d_1{d}_2}\right)\\ & =\sum _{d_1|a}f(d_1)g\left(\frac{a}{d_1}\right)\times \sum _{d_2|b}f(d_2)g\left(\frac{b}{d_2}\right)\\ & =(f\ast g)(a)\cdot (f\ast g)(b).\end{array}$$

Дирихлеов ред за неке мултипликативне функције

• $\sum _{n\ge 1}\frac{\mu (n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta (s)}$
• $\sum _{n\ge 1}\frac{\phi (n)}{n^s}=\frac{\zeta (s-1)}{\zeta (s)}$
• $\sum _{n\ge 1}\frac{d(n{)}^2}{n^s}=\frac{\zeta (s{)}^4}{\zeta (2s)}$
• $\sum _{n\ge 1}\frac{2^{\omega (n)}}{n^s}=\frac{\zeta (s{)}^2}{\zeta (2s)}$

Више примера је приказано у чланку о Дирихлеовим редовима.

Рационалне аритметичке функције

Аритметичка функција f се назива рационалном аритметичком функцијом реда $(r,s)$ ако постоје потпуно мултипликативне функције g₁,...,g_r, h₁,...,h_s такве да је $$f=g_1\ast \cdots \ast g_r\ast h_1^{-1}\ast \cdots \ast h_s^{-1},$$ где су инверзи у односу на Дирихлеову конволуцију. Рационалне аритметичке функције реда $(1,1)$ познате су као тотијент функције, а рационалне аритметичке функције реда $(2,0)$ као квадратне или специјално мултипликативне функције. Ојлерова функција $\phi (n)$ је тотијент функција, а делитељска функција ${\sigma }_k(n)$ је квадратна функција.

Потпуно мултипликативне функције су рационалне аритметичке функције реда $(1,0)$. Лијувилова функција $\lambda (n)$ је потпуно мултипликативна. Мебијусова функција $\mu (n)$ је рационална аритметичка функција реда $(0,1)$. По конвенцији, идентитетски елемент $\epsilon$ под Дирихлеовом конволуцијом је рационална аритметичка функција реда $(0,0)$.

Све рационалне аритметичке функције су мултипликативне. Мултипликативна функција f је рационална аритметичка функција реда $(r,s)$ ако и само ако је њен Белов ред облика $$f_p(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(p^n)x^n=\frac{(1-h_1(p)x)(1-h_2(p)x)\cdots (1-h_s(p)x)}{(1-g_1(p)x)(1-g_2(p)x)\cdots (1-g_r(p)x)}$$ за све просте бројеве $p$.

Концепт рационалне аритметичке функције потиче од Р. Ваидјанатасвамија (1931).

Буше-Рамануџанови идентитети

Мултипликативна функција $f$ се назива специјално мултипликативном ако постоји потпуно мултипликативна функција $f_A$ таква да је

$f(m)f(n)=\sum _{d\mid (m,n)}f(mn/d^2)f_A(d)$

за све позитивне целе бројеве $m$ и $n$, или еквивалентно

$f(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}f(m/d)f(n/d)\mu (d)f_A(d)$

за све позитивне целе бројеве $m$ и $n$, где је $\mu$ Мебијусова функција. Ово су познати као Буше-Рамануџанови идентитети.

Године 1906, Е. Буше је навео идентитет

${\sigma }_k(m){\sigma }_k(n)=\sum _{d\mid (m,n)}{\sigma }_k(mn/d^2)d^k,$

а 1915, С. Рамануџан је дао инверзни облик

${\sigma }_k(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}{\sigma }_k(m/d){\sigma }_k(n/d)\mu (d)d^k$

за $k=0$. С. Човла је дао инверзни облик за опште $k$ 1929. године. Проучавање Буше-Рамануџанових идентитета почело је покушајем да се боље разумеју посебни случајеви које су дали Буше и Рамануџан.

Познато је да квадратне функције $f=g_1\ast g_2$ задовољавају Буше-Рамануџанове идентитете са $f_A=g_1{g}_2$. Квадратне функције су потпуно исте као и специјално мултипликативне функције. Тотијенти задовољавају ограничен Буше-Рамануџанов идентитет.

Мултипликативна функција над $F_q[X]$

Нека је $A=F_q[X]$, прстен полинома над коначним пољем са q елемената. A је домен главних идеала и стога је A домен јединствене факторизације.

Комплексно-вредносна функција $\lambda$ на A назива се мултипликативном ако је $\lambda (fg)=\lambda (f)\lambda (g)$ кад год су f и g узајамно прости.

Зета функција и Дирихлеов ред у $F_q[X]$

Нека је h аритметичка функција полинома (тј. функција на скупу моничних полинома над A). Њен одговарајући Дирихлеов ред дефинише се као

$$D_h(s)=\sum _{f\text{ моничан}}h(f)|f{|}^{-s},$$

где за $g\in A,$ поставимо $|g|=q^{\mathrm{deg}(g)}$ ако је $g\ne 0,$ и $|g|=0$ иначе.

Полиномна зета функција је тада

$${\zeta }_A(s)=\sum _{f\text{ моничан}}|f{|}^{-s}.$$

Слично као у случају $\mathbb{N}$, сваки Дирихлеов ред мултипликативне функције h има производну репрезентацију (Ојлеров производ):

$$D_h(s)=\prod _P(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}h(P^n)|P{|}^{-sn}),$$

где се производ протеже преко свих моничних иредуцибилних полинома P. На пример, производна репрезентација зета функције је као за целе бројеве:

$${\zeta }_A(s)=\prod _P(1-|P{|}^{-s}{)}^{-1}.$$

За разлику од класичне зета функције, ${\zeta }_A(s)$ је једноставна рационална функција:

$${\zeta }_A(s)=\sum _f|f{|}^{-s}=\sum _n\sum _{\mathrm{deg}(f)=n}{q}^{-sn}=\sum _n(q^{n-sn})=(1-q^{1-s}{)}^{-1}.$$

На сличан начин, ако су f и g две аритметичке функције полинома, дефинише се f * g, Дирихлеова конволуција функција f и g, са

$$\begin{array}{cc}(f\ast g)(m)& =\sum _{d\mid m}f(d)g\left(\frac{m}{d}\right)\\ & =\sum _{ab=m}f(a)g(b),\end{array}$$

где се сума протеже преко свих моничних делитеља d од m, или еквивалентно преко свих парова (a, b) моничних полинома чији је производ m. Идентитет $D_h{D}_g=D_{h\ast g}$ и даље важи.

Генерализације

Аритметичка функција $f$ је квазимултипликативна ако постоји ненулта константа $c$ таква да је $cf(mn)=f(m)f(n)$ за све позитивне целе бројеве $m,n$ са $(m,n)=1$. Овај концепт потиче од Лахирија (1972).

Аритметичка функција $f$ је семимултипликативна ако постоји ненулта константа $c$, позитиван цео број $a$ и мултипликативна функција $f_m$ таква да је $f(n)=c{f}_m(n/a)$ за све позитивне целе бројеве $n$ (под конвенцијом да је $f_m(x)=0$ ако $x$ није позитиван цео број). Овај концепт је дело Дејвида Ририка (1966).

Аритметичка функција $f$ је Селбергова мултипликативна ако за сваки прост број $p$ постоји функција $f_p$ на ненегативним целим бројевима са $f_p(0)=1$ за све осим коначно много простих бројева $p$ таква да је $f(n)=\prod _p{f}_p({\nu }_p(n))$ за све позитивне целе бројеве $n$, где је ${\nu }_p(n)$ експонент од $p$ у канонској факторизацији од $n$. Погледати Селберг (1977).

Познато је да се класе семимултипликативних и Селбергових мултипликативних функција поклапају. Обе задовољавају аритметички идентитет $f(m)f(n)=f((m,n))f([m,n])$ за све позитивне целе бројеве $m,n$. Погледати Хауканен (2012).

Добро је познато и лако се види да су мултипликативне функције квазимултипликативне функције са $c=1$ и да су квазимултипликативне функције семимултипликативне функције са $a=1$.

Види још

• Ојлеров производ
• Белова серија
• Ламбертова серија

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Ramanujan, S. "Some formulae in the analytic theory of numbers". Messenger of Mathematics, 45 (1915), 81-84.
• Busche, E. "Lösung einer Aufgabe über Teileranzahlen". Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg, 4, 229-237 (1906).
• Selberg, A. "Remarks on multiplicative functions". Number theory day (Proc. Conf., Rockefeller Univ., New York, 1976), pp. 232–241, Springer, 1977.

Спољашње везе

• Шаблон:PlanetMath