Виноградовљева теорема

У теорији бројева, Виноградовљева теорема је резултат који имплицира да се сваки довољно велики непаран цео број може написати као збир три проста бројаШаблон:Чињеница. То је слабији облик Голдбахове слабе претпоставке, која би имплицирала постојање такве репрезентације за све непарне целе бројеве веће од петШаблон:Чињеница. Названа је по Ивану Матвејевичу Виноградову, који ју је доказао 1930-их годинаШаблон:Чињеница. Харди и Литлвуд су раније показали да овај резултат следи из генерализоване Риманове хипотезе, а Виноградов је успео да уклони ову претпоставкуШаблон:Чињеница. Потпун исказ Виноградовљеве теореме даје асимптотске границе броја репрезентација непарног целог броја као збира три проста бројаШаблон:Чињеница. Појам „довољно велики” био је недефинисан у оригиналном Виноградовљевом раду, али је 2002. године показано да је 10¹³⁴⁶ довољно велико. Додатно, бројеви до 10²⁰ су проверени методама грубе силе, тако да је остао само коначан број случајева за проверу пре него што би се Голдбахова слаба претпоставка доказала или оборила. Године 2013, Харалд Хелфгот је доказао Голдбахову слабу претпоставку за све случајевеШаблон:Чињеница.

Исказ Виноградовљеве теореме

Нека је A позитиван реалан број. Тада

$r(N)=\frac{1}{2}G(N)N^2+O\left(N^2{\log }^{-A}N\right),$

где је

$r(N)=\sum _{k_1+k_2+k_3=N}\mathrm{\Lambda }(k_1)\mathrm{\Lambda }(k_2)\mathrm{\Lambda }(k_3),$

користећи фон Манголтову функцију $\mathrm{\Lambda }$, и

$G(N)=\left(\prod _{p\mid N}(1-\frac{1}{{(p-1)}^2})\right)\left(\prod _{p\nmid N}(1+\frac{1}{{(p-1)}^3})\right).$

Последица

Ако је N непаран, тада је G(N) приближно 1, па је $N^2\ll r(N)$ за све довољно велике NШаблон:Чињеница. Показујући да је допринос који r(N) дају прави степени простих бројева $O\left(N^{\frac{3}{2}}{\log }^{2}N\right)$, видимо да јеШаблон:Чињеница

$N^2{\log }^{-3}N\ll \left(\text{број начина на које се N може написати као збир три проста броја}\right).$

Ово посебно значи да се сваки довољно велики непаран цео број може написати као збир три проста броја, чиме се доказује Голдбахова слаба претпоставка за све осим коначног броја случајеваШаблон:Чињеница.

Стратегија доказа

Доказ теореме следи Харди-Литлвудову методу круга. Дефинишимо експоненцијални збир

$S(\alpha )=\sum _{n=1}^N\mathrm{\Lambda }(n)e(\alpha n)$.

Тада имамо

$S(\alpha {)}^3=\sum _{n_1,n_2,n_3\le N}\mathrm{\Lambda }(n_1)\mathrm{\Lambda }(n_2)\mathrm{\Lambda }(n_3)e(\alpha (n_1+n_2+n_3))=\sum _{n\le 3N}\tilde{r}(n)e(\alpha n)$,

где $\tilde{r}$ означава број репрезентација ограничених на степене простих бројева $\le N$. Стога

$r(N)={\int }_0^{1}S(\alpha {)}^{3}e(-\alpha N)d\alpha$.

Ако је $\alpha$ рационалан број $\frac{p}{q}$, тада се $S(\alpha )$ може дати расподелом простих бројева у класама остатака по модулу $q$. Стога, користећи Зигел-Валфишову теорему, можемо израчунати допринос горњег интеграла у малим околинама рационалних тачака са малим имениоцемШаблон:Чињеница. Скуп реалних бројева блиских таквим рационалним тачкама обично се назива великим луковима, док комплемент чини мале луковеШаблон:Чињеница. Испоставља се да ови интервали доминирају интегралом, па је за доказ теореме потребно дати горњу границу за $S(\alpha )$ за $\alpha$ садржано у малим луковимаШаблон:Чињеница. Ова процена је најтежи део доказаШаблон:Чињеница.

Ако претпоставимо генерализовану Риманову хипотезу, аргумент коришћен за велике лукове може се проширити и на мале лукове. Ово су урадили Харди и Литлвуд 1923. годинеШаблон:Чињеница. Године 1937. Виноградов је дао безусловну горњу границу за $|S(\alpha )|$Шаблон:Чињеница. Његов аргумент је почео једноставним идентитетом сита, а резултујући чланови су затим преуређени на компликован начин да би се добило неко скраћивање. Године 1977. Р. К. Вон је пронашао много једноставнији аргумент, заснован на ономе што је касније постало познато као Вонов идентитет. Он је доказао да ако је $|\alpha -\frac{a}{q}|<\frac{1}{q^2}$, тада је

$|S(\alpha )|\ll (\frac{N}{\sqrt{q}}+N^{4/5}+\sqrt{Nq}){\log }^{4}N$.

Користећи Зигел-Валфишову теорему, можемо се бавити са $q$ до произвољних степена од $\log N$, а користећи Дирихлеову теорему апроксимације добијамо $|S(\alpha )|\ll \frac{N}{{\log }^{A}N}$ на малим луковима. Стога се интеграл преко малих лукова може ограничити одозго са

$\frac{CN}{{\log }^{A}N}{\int }_0^1|S(\alpha ){|}^{2}d\alpha \ll \frac{N^2}{{\log }^{A-1}N}$,

што даје члан грешке у теореми.

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book Поглавље 8.

Спољашње везе

• Шаблон:MathWorld