Историја концепта функције

Математички концепт функције потиче из 17. века у вези са развојем математичке анализе; на пример, нагиб $dy/dx$ графика у тачки сматран је функцијом x-координате тачке. Функције нису експлицитно разматране у антици, али неки претходници овог концепта можда се могу уочити у делима средњовековних филозофа и математичара као што је Орем.

Математичари из 18. века типично су сматрали да је функција дефинисана аналитичким изразом. У 19. веку, захтеви за ригорозним развојем математичке анализе од стране Карла Вајерштраса и других, преформулација геометрије кроз анализу, и проналазак теорије скупова од стране Георга Кантора, на крају су довели до много општијег модерног концепта функције као једнозначног пресликавања из једног скупа у други.

Функције пре 17. века

У 12. веку, математичар Шараф ал Дин ал Туси анализирао је једначину Шаблон:Math у облику Шаблон:Math наводећи да лева страна мора бар бити једнака вредности Шаблон:Mvar да би једначина имала решење. Затим је одредио максималну вредност овог израза. Може се тврдити да је изолација овог израза рани приступ појму „функције”. Вредност мања од Шаблон:Mvar значи да нема позитивног решења; вредност једнака Шаблон:Mvar одговара једном решењу, док вредност већа од Шаблон:Mvar одговара двама решењима. Анализа ове једначине коју је спровео Шараф ал Дин била је значајан развој у исламској математици, али његов рад у то време није даље настављен, ни у муслиманском свету ни у Европи.

Према Жану ДједонеуШаблон:Sfn и Понтеу, концепт функције појавио се у 17. веку као резултат развоја аналитичке геометрије и инфинитезималног рачуна. Ипак, Медведев сугерише да је имплицитни концепт функције онај са древним пореклом. Понте такође види експлицитније приступе овом концепту у средњем веку:

Историјски гледано, за неке математичаре се може сматрати да су предвидели и приближили се модерној формулацији концепта функције. Међу њима је Никола Орем (1323–1382) Шаблон:Nowrap У његовој теорији изгледа да су присутне неке опште идеје о независним и зависним променљивим величинама.Шаблон:Sfn

Развој аналитичке геометрије око 1640. године омогућио је математичарима да прелазе између геометријских проблема о кривама и алгебарских релација између „променљивих координата x и y”.Шаблон:Sfn Рачун је развијен коришћењем појма променљивих, са њиховим придруженим геометријским значењем, што се задржало дубоко у осамнаестом веку.Шаблон:Sfn Међутим, терминологија „функције” почела је да се користи у интеракцијама између Лајбница и Бернулија крајем 17. века.

Појам функције у анализи

Термин „функција” дословно је увео Готфрид Лајбниц, у писму из 1673. године, да би описао величину повезану са тачкама криве, као што су координата или нагиб криве. Јохан Бернули почео је да назива изразе састављене од једне променљиве „функцијама”. Године 1698. сложио се са Лајбницом да се свака величина формирана „на алгебарски и трансцедентан начин” може назвати функцијом од x. До 1718. године, почео је да сматра функцијом „сваки израз састављен од променљиве и неких константи”.Шаблон:Sfn Алексис Клод Клеро (отприлике 1734. године) и Леонард Ојлер увели су познату нотацију $f(x)$ за вредност функције.Шаблон:Sfn

Функције разматране у то време данас се називају диференцијабилним функцијама. За овај тип функције, може се говорити о граничним вредностима и изводима; оба представљају мерења излаза или промене у излазу у зависности од улаза или промене у улазу. Такве функције су основа рачуна.

Ојлер

У првом тому свог фундаменталног текста Introductio in analysin infinitorum, објављеног 1748. године, Ојлер је дао суштински исту дефиницију функције као и његов учитељ Бернули, као израз или формула који укључује променљиве и константе, нпр. $x^2+3x+2$. Ојлерова сопствена дефиниција гласи:

Функција променљиве величине је аналитички израз састављен на било који начин од променљиве величине и бројева или константних величина.Шаблон:Sfn

Ојлер је такође дозвољавао вишезначне функције чије су вредности одређене имплицитном једначином.

Године 1755, међутим, у свом делу Institutiones calculi differentialis, Ојлер је дао општији концепт функције:

Када одређене величине зависе од других на такав начин да трпе промену када се ове друге промене, тада се прве називају функцијама других. Овај назив има изузетно широк карактер; он обухвата све начине на које једна величина може бити одређена преко других.Шаблон:Sfn

МедведевШаблон:Sfn сматра да је „У суштини ово дефиниција која је постала позната као Дирихлеова дефиниција.” ЕдвардсШаблон:Sfn такође приписује Ојлеру општи концепт функције и даље каже да

Односи међу овим величинама нису замишљени као дати формулама, али с друге стране сигурно нису замишљени ни као врста општих теоријско-скуповних подскупова производа простора где је све дозвољено, на које модерни математичари мисле када користе реч „функција”.

Фурије

У свом делу Théorie Analytique de la Chaleur,Шаблон:Sfn Жозеф Фурије је тврдио да се произвољна функција може представити Фуријеовим редом. Фурије је имао опште схватање функције, које је укључивало функције које нису биле ни непрекидне нити дефинисане аналитичким изразом. Сродна питања о природи и представљању функција, која су произашла из решења таласне једначине за вибрирајућу жицу, већ су била предмет спора између Жана ле Рона д'Аламбера и Ојлера, и имала су значајан утицај на генерализацију појма функције. Николај Лузин примећује да:

Модерно разумевање функције и њене дефиниције, које нам се чини исправним, могло је настати тек након Фуријеовог открића. Његово откриће је јасно показало да су већина неспоразума који су се појавили у расправи о вибрирајућој жици резултат мешања два наизглед идентична, али заправо веома различита концепта, наиме концепта функције и концепта њене аналитичке репрезентације. Заиста, пре Фуријеовог открића није се правила разлика између концепата „функције” и „аналитичке репрезентације”, и управо је ово откриће довело до њиховог раздвајања.

Коши

Током 19. века, математичари су почели да формализују све различите гране математике. Један од првих који је то урадио био је Огистен Луј Коши; његове донекле непрецизне резултате касније је учинио потпуно ригорозним Вајерштрас, који се залагао за изградњу рачуна на аритметици уместо на геометрији, што је фаворизовало Ојлерову дефиницију у односу на Лајбницову (види аритметизација анализе). Према Смитису, Коши је замишљао функције као дефинисане једначинама које укључују реалне или комплексне бројеве, и прећутно претпостављао да су оне непрекидне:

Коши даје неке опште напомене о функцијама у поглављу I, одељак 1 свог дела Analyse algébrique (1821). Из онога што тамо каже, јасно је да он нормално сматра да је функција дефинисана аналитичким изразом (ако је експлицитна) или једначином или системом једначина (ако је имплицитна); тамо где се разликује од својих претходника јесте у томе што је спреман да размотри могућност да функција може бити дефинисана само за ограничени опсег независне променљиве.Шаблон:Sfn

Лобачевски и Дирихле

Николај Лобачевски и Петер Густав Лежен Дирихле традиционално добијају заслуге за независно давање модерне „формалне” дефиниције функције као релације у којој сваки први елемент има јединствени други елемент.

Лобачевски (1834) пише да

Општи концепт функције захтева да функција од x буде дефинисана као број дат за свако x и који се постепено мења са x. Вредност функције може бити дата било аналитичким изразом, било условом који пружа средство за испитивање свих бројева и бирање једног од њих; или на крају зависност може постојати, али остати непозната.

док Дирихле (1837) пише

Ако сада јединствено коначно y одговара сваком x, и штавише на такав начин да када x непрекидно пролази кроз интервал од a до b, $y=f(x)$ такође варира непрекидно, тада се y назива непрекидном функцијом од x за овај интервал. Овде уопште није неопходно да y буде дато преко x по једном истом закону кроз цео интервал, и није неопходно да се то сматра зависношћу израженом помоћу математичких операција.

Ивс тврди да се „студент математике обично сусреће са Дирихлеовом дефиницијом функције у свом уводном курсу рачуна.

Дирихлеово право на ову формализацију оспорио је Имре Лакатош:

Такве дефиниције уопште нема у Дирихлеовим делима. Али постоји обиље доказа да он није имао идеју о овом концепту. У свом раду из [1837], на пример, када расправља о по деловима непрекидним функцијама, он каже да у тачкама прекида функција има две вредности: ...

Међутим, Гардинер каже „...чини ми се да Лакатош иде предалеко, на пример, када тврди да 'постоји обиље доказа да [Дирихле] није имао идеју о [модерном концепту] функције'.” Штавише, као што је горе наведено, чини се да Дирихлеов рад укључује дефиницију на линији онога што му се обично приписује, иако (попут Лобачевског) он то наводи само за непрекидне функције реалне променљиве.

Слично томе, Лавин примећује:

Предмет је извесног спора колико заслуга Дирихле заслужује за модерну дефиницију функције, делимично зато што је своју дефиницију ограничио на непрекидне функције.... Верујем да је Дирихле дефинисао појам непрекидне функције како би јасно ставио до знања да никакво правило или закон нису потребни чак ни у случају непрекидних функција, а не само уопштено. Ово би заслуживало посебан нагласак због Ојлерове дефиниције непрекидне функције као оне која је дата једним изразом — или законом. Али такође сумњам да има довољно доказа да се спор реши.Шаблон:Sfn

Зато што су Лобачевски и Дирихле добили признање као међу првима који су увели појам произвољне кореспонденције, овај појам се понекад назива Дирихлеовом или Лобачевски-Дирихлеовом дефиницијом функције. Општу верзију ове дефиниције касније је користио Никола Бурбаки (1939), а неки у образовној заједници је називају „Дирихле–Бурбакијевом” дефиницијом функције.

Дедекинд

Дједоне, који је био један од оснивача Бурбаки групе, приписује прецизну и општу модерну дефиницију функције Дедекинду у његовом делу Was sind und was sollen die Zahlen, које се појавило 1888. године, али је већ било скицирано 1878. Дједоне примећује да уместо да се ограничи, као у претходним схватањима, на реалне (или комплексне) функције, Дедекинд дефинише функцију као једнозначно пресликавање између било која два скупа:

Оно што је било ново и што је требало да буде суштинско за целу математику било је потпуно опште схватање функције.Шаблон:Sfn

Харди

Шаблон:Harvnb је дефинисао функцију као релацију између две променљиве x и y такву да „неким вредностима од x у сваком случају одговарају вредности од y.” Он није захтевао да функција буде дефинисана за све вредности од x нити да повезује сваку вредност од x са једном вредношћу од y. Ова широка дефиниција функције обухвата више релација него што се обично сматрају функцијама у савременој математици. На пример, Хардијева дефиниција укључује вишезначне функције и оно што се у теорији израчунљивости назива парцијалним функцијама.

Функција код логичара

Пре 1850. године

Логичари тог времена били су првенствено укључени у анализу силогизама (2000 година старих аристотеловских форми и осталих), или како је то навео Огастус де Морган (1847): „испитивање оног дела резоновања који зависи од начина на који се формирају закључци, и истраживање општих максима и правила за конструисање аргумената”.Шаблон:Sfn У то време појам (логичке) „функције” није експлицитан, али је бар у раду Де Моргана и Џорџа Була имплициран: видимо апстракцију форми аргумената, увођење променљивих, увођење симболичке алгебре у односу на ове променљиве и неке од појмова теорије скупова.

Де Морганово дело из 1847. „ФОРМАЛНА ЛОГИКА ИЛИ, Рачун закључивања, нужни и вероватни” примећује да „логичка истина зависи од структуре исказа, а не од конкретних ствари о којима се говори”; он не губи време (предговор страница i) апстрахујући: „У форми пропозиције, копула је учињена исто толико апстрактном као и термини”. Он одмах (стр. 1) претвара оно што назива „пропозицијом” (данашња исказна функција или релација) у облик као што је „X је Y”, где симболи X, „је”, и Y представљају, редом, субјекат, копулу и предикат. Иако се реч „функција” не појављује, појам „апстракције” је ту, „променљиве” су ту, појам инклузије у његовом симболизму „сво Δ је у О” (стр. 9) је ту, и на крају нови симболизам за логичку анализу појма „релације” (он користи ту реч у вези са овим примером „ X)Y ” (стр. 75) ) је ту:

" A₁ X)Y Да би се узело X неопходно је узети Y" [или Да би било X неопходно је бити Y]

" A¹ Y)X Да би се узело Y довољно је узети X" [или Да би било Y довољно је бити X], итд.

У свом делу The Nature of Logic из 1848. Бул тврди да „логика ... је у посебном смислу наука о резоновању помоћу знакова”, и он укратко расправља о појмовима „припадања” и „класе”: „Појединац може поседовати велики низ атрибута и тако припадати великом броју различитих класа”. Као и Де Морган, он користи појам „променљиве” преузет из анализе; даје пример „представљања класе волова са x и класе коња са y и везника и знаком + . . . могли бисмо представити збирну класу волова и коња са x + y”.

У контексту „Диференцијалног рачуна” Бул је дефинисао (око 1849) појам функције на следећи начин:

„Она величина чија је варијација униформна . . . назива се независном променљивом. Она величина чија се варијација односи на варијацију ове прве назива се функцијом ње. Диференцијални рачун нам омогућава да у сваком случају пређемо са функције на лимес. То ради одређеном Операцијом. Али у самој Идеји Операције налази се . . . идеја инверзне операције. Да се изврши та инверзна операција у садашњем случају посао је Инт[егралног] рачуна.”

Функција код логичара 1850–1950

Ивс примећује „да су логичари настојали да даље спусте почетни ниво дефиниционог развоја математике и да изведу теорију скупова, или класа, из темеља у логици пропозиција и исказних функција”.Шаблон:Sfn Али до краја 19. века истраживање логичара о основама математике пролазило је кроз велики расцеп. Правац прве групе, логициста, вероватно се најбоље може сажети код Шаблон:Harvard citations – „да се испуне два циља, прво, да се покаже да сва математика следи из симболичке логике, и друго да се открије, колико год је то могуће, који су сами принципи симболичке логике.”

Друга група логичара, теоретичари скупова, појавила се са „теоријом скупова” Георга Кантора (1870–1890), али су били делимично потиснути напред као резултат Раселовог открића парадокса који се могао извести из Фрегеове концепције „функције”, али и као реакција против Раселовог предложеног решења. Теоријско-скуповни одговор Ернста Цермела било је његово дело из 1908. Investigations in the foundations of set theory I – прва аксиоматска теорија скупова; овде такође појам „исказне функције” игра улогу.

Болови Закони мишљења 1854; Венова Симболичка логика 1881

У свом делу An Investigation into the laws of thought Бул је сада дефинисао функцију у смислу симбола x на следећи начин:

„8. Дефиниција. – Било који алгебарски израз који укључује симбол x назива се функцијом од x, и може бити представљен скраћеним обликом f(x)”Шаблон:Sfn

Бул је затим користио алгебарске изразе да дефинише и алгебарске и логичке појмове, нпр. 1 − x је логичко НЕ(x), xy је логичко И(x,y), x + y је логичко ИЛИ(x, y), x(x + y) је xx + xy, и „специјални закон” xx = x² = x.

У својој Симболичкој логици из 1881. Вен је користио речи „логичка функција” и савремени симболизам (x = f(y), y = f⁻¹(x), уп. стр. xxi) плус кружне дијаграме историјски повезане са Веном да опише „односе класа”, појмове „'квантификовање' нашег предиката”, „пропозиције у погледу њихове екстензије”, „однос инклузије и ексклузије двеју класа једна према другој”, и „исказна функција” (све на стр. 10), црту преко променљиве да означи не-x (стр. 43), итд. Заиста, недвосмислено је изједначио појам „логичке функције” са „класом” [модерни „скуп”]: „... према гледишту усвојеном у овој књизи, f(x) никада не означава ништа друго до логичку класу. То може бити сложена класа састављена од многих једноставних класа; то може бити класа назначена одређеним инверзним логичким операцијама, може бити састављена од две групе класа које су једнаке једна другој, или што је иста ствар, њихова разлика проглашена једнаком нули, то јест, логичка једначина. Али како год да је састављена или изведена, f(x) код нас никада неће бити ништа друго до општи израз за такве логичке класе ствари које праведно могу наћи место у обичној логици”.Шаблон:Sfn

Фрегеов Појмовно писмо 1879

Појмовно писмо (1879) Готлоба Фрегеа претходило је Ђузепеу Пеану (1889), али Пеано није имао знања о Шаблон:Harvnb све док није објавио своје дело из 1889. Оба писца су снажно утицала на Шаблон:Harvtxt. Расел је заузврат утицао на већи део математике и логике 20. века кроз свој Principia Mathematica (1913) чији је коаутор био Алфред Норт Вајтхед.

На самом почетку Фреге напушта традиционалне „концепте субјекат и предикат”, замењујући их аргументом и функцијом респективно, за које верује да „ће издржати тест времена. Лако је видети како посматрање садржаја као функције аргумента доводи до формирања концепата. Штавише, демонстрација везе између значења речи ако, и, не, или, постоји, неки, сви, и тако даље, заслужује пажњу”.

Фреге започиње своју расправу о „функцији” примером: Почните са изразом „Водоник је лакши од угљен-диоксида”. Сада уклоните знак за водоник (тј. реч „водоник”) и замените га знаком за кисеоник (тј. речју „кисеоник”); ово чини другу изјаву. Урадите ово поново (користећи било коју изјаву) и замените знак за азот (тј. реч „азот”) и приметите да „Ово мења значење на такав начин да 'кисеоник' или 'азот' улазе у релације у којима је 'водоник' стајао раније”. Постоје три изјаве:

• „Водоник је лакши од угљен-диоксида.”
• „Кисеоник је лакши од угљен-диоксида.”
• „Азот је лакши од угљен-диоксида.”

Сада уочите у све три „стабилну компоненту, која представља тоталитет [тих] релација”; назовите ово функцијом, тј.

„... је лакши од угљен-диоксида”, је функција.

Фреге назива аргументом функције „[з]нак [нпр. водоник, кисеоник или азот], који се сматра заменљивим другима који означавају објекат који стоји у овим релацијама”. Он напомиње да смо могли да изведемо функцију и као „Водоник је лакши од . . .”, са позицијом аргумента на десној страни; потпуно исто запажање даје Пеано (види више испод). Коначно, Фреге дозвољава случај два (или више) аргумената. На пример, уклоните „угљен-диоксид” да бисте добили инваријантни део (функцију) као:

• „... је лакши од ... ”

Функцију са једним аргументом Фреге генерализује у облик Φ(A) где је A аргумент а Φ( ) представља функцију, док функцију са два аргумента симболизује као Ψ(A, B) са A и B као аргументима и Ψ( , ) као функцијом и упозорава да „уопштено Ψ(A, B) се разликује од Ψ(B, A)”. Користећи свој јединствени симболизам он преводи за читаоца следећи симболизам:

„Можемо читати |--- Φ(A) као "A има својство Φ. |--- Ψ(A, B) се може превести са "B стоји у релацији Ψ према A" или "B је резултат примене процедуре Ψ на објекат A".”

Пеанови Принципи аритметике 1889

Пеано је дефинисао појам „функције” на начин донекле сличан Фрегеовом, али без прецизности. Прво Пеано дефинише знак „K значи класа, или агрегат објеката”,Шаблон:Sfn чији објекти задовољавају три једноставна услова једнакости,Шаблон:Sfn a = a, (a = b) = (b = a), АКО ((a = b) И (b = c)) ОНДА (a = c). Затим уводи φ, „знак или агрегат знакова такав да ако је x објекат класе s, израз φx означава нови објекат”. Пеано додаје два услова на ове нове објекте: Прво, да три услова једнакости важе за објекте φx; друго, да „ако су x и y објекти класе s и ако је x = y, претпостављамо да је могуће извести φx = φy”. Под условом да су сви ови услови испуњени, φ је „предзнак функције”. Исто тако он идентификује „постзнак функције”. На пример, ако је φ предзнак функције a+, онда φx даје a+x, или ако је φ постзнак функције +a онда xφ даје x+a.Шаблон:Sfn

Раселови Принципи математике 1903

Иако је утицај Кантора и Пеана био најважнији, у Додатку A „Фрегеове логичке и аритметичке доктрине” у Принципи математике, Расел долази до расправе о Фрегеовом појму функције, „...тачка у којој је Фрегеов рад веома важан и захтева пажљиво испитивање”.Шаблон:Sfn Као одговор на своју размену писама са Фрегеом 1902. године о контрадикцији коју је открио у Фрегеовом Појмовном писму Расел је додао овај одељак у последњем тренутку.

За Расела збуњујући појам је појам променљиве: „6. Математичке пропозиције не карактерише само чињеница да оне тврде импликације, већ и чињеница да садрже променљиве. Појам променљиве је један од најтежих са којима логика мора да се бави. За сада, отворено желим да разјасним да постоје променљиве у свим математичким пропозицијама, чак и тамо где би на први поглед могло изгледати да су одсутне. . . . Увек ћемо наћи, у свим математичким пропозицијама, да се појављују речи било који или неки; а ове речи су ознаке променљиве и формалне импликације”.Шаблон:Sfn

Како је то изразио Расел „процес трансформисања константи у пропозицији у променљиве доводи до онога што се зове генерализација, и даје нам, такорећи, формалну суштину пропозиције ... Све док се било који термин у нашој пропозицији може претворити у променљиву, наша пропозиција може бити генерализована; и све док је то могуће, посао математике је да то уради”;Шаблон:Sfn ове генерализације Расел је назвао исказним функцијама.Шаблон:Sfn Заиста, он цитира и наводи из Фрегеовог Појмовног писма и представља сликовит пример из Фрегеовог дела Function und Begriff из 1891: Да је „суштина аритметичке функције 2x³ + x оно што остаје када се уклони x, тј. у горњем примеру 2( )³ + ( ). Аргумент x не припада функцији већ та два заједно чине целину”.Шаблон:Sfn Расел се сложио са Фрегеовим појмом „функције” у једном смислу: „Он сматра функције – и у томе се слажем с њим – фундаменталнијим од предиката и релација”, али је Расел одбацио Фрегеову „теорију субјекта и тврдње”, посебно „он мисли да, ако се термин a појављује у пропозицији, пропозиција се увек може анализирати на a и тврдњу о a”.Шаблон:Sfn

Еволуција Раселове идеје о „функцији” 1908–1913

Расел ће пренети своје идеје даље у свом делу Mathematical logical as based on the theory of types из 1908. и у своје и Вајтхедово дело Principia Mathematica (1910–1913). До времена објављивања Principia Mathematica Расел је, попут Фрегеа, сматрао исказну функцију фундаменталном: „Исказне функције су фундаментална врста из које су изведене уобичајеније врсте функција, као што су "sin x" или log x или "отац од x". Ове изведене функције . . . се називају "дескриптивним функцијама". Функције пропозиција . . . су посебан случај исказних функција”.

Исказне функције: Пошто се његова терминологија разликује од савремене, читалац може бити збуњен Раселовом „исказном функцијом”. Пример може помоћи. Расел пише исказну функцију у њеном сировом облику, нпр. као φŷ: „ŷ је повређен”. (Обратите пажњу на циркумфлекс или „капицу” изнад променљиве y). За наш пример, доделићемо само 4 вредности променљивој ŷ: „Боб”, „Ова птица”, „Емили зечица” и „y”. Замена једне од ових вредности за променљиву ŷ даје пропозицију; ова пропозиција се назива „вредношћу” исказне функције. У нашем примеру постоје четири вредности исказне функције, нпр. „Боб је повређен”, „Ова птица је повређена”, „Емили зечица је повређена” и „y је повређено.” Пропозиција, ако је значајна—тј. ако је њена истинитост одређена—има истинитосну вредност истине или лажи. Ако је истинитосна вредност пропозиције „истина” онда се каже да вредност променљиве задовољава исказну функцију. Коначно, према Раселовој дефиницији, „класа [скуп] су сви објекти који задовољавају неку исказну функцију” (стр. 23). Обратите пажњу на реч „сви” – овако улазе савремени појмови „За све ∀” и „постоји бар један случај ∃” у третман (стр. 15).

Да наставимо са примером: Претпоставимо (изван математике/логике) да неко утврди да пропозиција „Боб је повређен” има истинитосну вредност „лаж”, „Ова птица је повређена” има истинитосну вредност „истина”, „Емили зечица је повређена” има неодређену истинитосну вредност јер „Емили зечица” не постоји, а „y је повређено” је двосмислено у погледу своје истинитосне вредности јер је сам аргумент y двосмислен. Иако су две пропозиције „Боб је повређен” и „Ова птица је повређена” значајне (обе имају истинитосне вредности), само вредност „Ова птица” променљиве ŷ задовољава исказну функцију φŷ: „ŷ је повређен”. Када неко крене да формира класу α: φŷ: „ŷ је повређен”, само „Ова птица” је укључена, с обзиром на четири вредности „Боб”, „Ова птица”, „Емили зечица” и „y” за променљиву ŷ и њихове одговарајуће истинитосне вредности: лаж, истина, неодређено, двосмислено.

Расел дефинише функције пропозиција са аргументима, и истинитосне функције f(p). На пример, претпоставимо да неко треба да формира „функцију пропозиција са аргументима” p₁: „НЕ(p) И q” и додели њеним променљивама вредности од p: „Боб је повређен” и q: „Ова птица је повређена”. (Ограничени смо на логичке везе НЕ, И, ИЛИ и ИМПЛИЦИРА, и можемо само да доделимо „значајне” пропозиције променљивама p и q). Тада је „функција пропозиција са аргументима” p₁: НЕ(„Боб је повређен”) И „Ова птица је повређена”. Да бисмо одредили истинитосну вредност ове „функције пропозиција са аргументима” ми је подвргавамо „истинитосној функцији”, нпр. f(p₁): f( НЕ(„Боб је повређен”) И „Ова птица је повређена” ), што даје истинитосну вредност „истина”.

Појам „више-према-један” функционалне релације”: Расел прво расправља о појму „идентитета”, а затим дефинише дескриптивну функцију (странице 30 и даље) као јединствену вредност ιx која задовољава (са 2 променљиве) исказну функцију (тј. „релацију”) φŷ.

N.B. Читалац овде треба да буде упозорен да је редослед променљивих обрнут! y је независна променљива а x је зависна променљива, нпр. x = sin(y).

Расел симболизује дескриптивну функцију као „објекат који стоји у релацији са y”: R'y =_DEF (ιx)(x R y). Расел понавља да је „R'y функција од y, али не и исказна функција [sic]; ми ћемо је звати дескриптивном функцијом. Све обичне функције математике су ове врсте. Тако би у нашој нотацији "sin y" било написано " sin 'y ", а "sin" би стајало за релацију коју sin 'y има према y”.

Функција код формалиста: Хилбертова аксиоматизација математике (1904–1927)

Давид Хилберт је себи поставио циљ „формализације” класичне математике „као формалне аксиоматске теорије, а ова теорија ће бити доказана као конзистентна, тј. без контрадикција”.Шаблон:Sfn У делу Шаблон:Harvnb Основи математике он уоквирује појам функције у смислу постојања „објекта”:

13. A(a) --> A(ε(A)) Овде ε(A) стоји за објекат за који пропозиција A(a) сигурно важи ако важи за било који објекат уопште; назовимо ε логичком ε-функцијом”. [Стрелица означава „имплицира”.]

Хилберт затим илуструје три начина како се ε-функција треба користити, прво као појмови „за све” и „постоји”, друго да представља „објекат за који [пропозиција] важи”, и на крају како да је претвори у функцију избора.

Теорија рекурзије и израчунљивост: Али неочекивани исход Хилбертовог и труда његовог студента Бернајса био је неуспех; види Геделове теореме о непотпуности из 1931. У отприлике исто време, у покушају да реше Хилбертов Entscheidungsproblem, математичари су кренули да дефинишу шта се подразумева под „ефективно израчунљивом функцијом” (Алонзо Черч 1936), тј. „ефективним методом” или „алгоритмом”, то јест, експлицитном процедуром корак-по-корак која би успела у израчунавању функције. Разни модели за алгоритме појавили су се у брзом низу, укључујући Черчов ламбда рачун (1936), μ-рекурзивне функције Стивена Клинија (1936) и појам Алана Тјуринга (1936–7) о замени људских „рачунара” потпуно механичким „рачунским машинама” (види Тјурингове машине). Показано је да сви ови модели могу израчунати исту класу израчунљивих функција. Черчова теза тврди да ова класа функција исцрпљује све бројно-теоретске функције које се могу израчунати алгоритмом. Исход ових напора биле су живописне демонстрације да, Тјуринговим речима, „не може постојати општи процес за одређивање да ли је дата формула U функционалног рачуна K [Principia Mathematica] доказива”; види више на независност и теорија израчунљивости.

Развој теоријско-скуповне дефиниције

Теорија скупова је почела радом логичара са појмом „класе” (модерни „скуп”), на пример Шаблон:Harvtxt, Џевонс (1880), Шаблон:Harvtxt, Шаблон:Harvtxt и Шаблон:Harvtxt. Подстакнута је покушајем Георга Кантора да дефинише бесконачност у теоријско-скуповном третману (1870–1890) и накнадним открићем антиномије (контрадикције, парадокса) у овом третману (Канторов парадокс), Раселовим открићем (1902) антиномије у Фрегеовом делу из 1879. (Раселов парадокс), открићем више антиномија почетком 20. века (нпр. Бурали-Фортијев парадокс из 1897. и Ришаров парадокс из 1905), и отпором према Раселовом сложеном третману логикеШаблон:Sfn и несклоношћу његовом аксиому сводљивости (1908, 1910–1913) који је предложио као средство за избегавање антиномија.

Раселов парадокс 1902

Године 1902. Расел је послао писмо Фрегеу у којем је истакао да је Фрегеово Појмовно писмо из 1879. дозвољавало функцији да буде аргумент саме себе: „Са друге стране, такође може бити да је аргумент одређен а функција неодређена . . .” Из ове неограничене ситуације Расел је успео да формира парадокс:

„Ви тврдите ... да функција, такође, може деловати као неодређени елемент. У то сам раније веровао, али сада ми се ово гледиште чини сумњивим због следеће контрадикције. Нека је w предикат: бити предикат који се не може предицирати о себи самом. Да ли се w може предицирати о себи самом?”

Фреге је брзо одговорио да „Ваше откриће контрадикције изазвало ми је највеће изненађење и, готово бих рекао, констернацију, јер је уздрмало основу на којој сам намеравао да изградим аритметику”.

Од овог тренутка па надаље развој основа математике постао је вежба у томе како избећи „Раселов парадокс”, уоквирен као што је био у „голим [теоријско-скуповним] појмовима скупа и елемента”.

Цермелова теорија скупова (1908) модификована од стране Сколема (1922)

Појам „функције” се појављује као Цермелов аксиом III—Аксиом издвајања (Axiom der Aussonderung). Овај аксиом нас ограничава да користимо исказну функцију Φ(x) да „издвојимо” подскуп M_Φ из претходно формираног скупа M:

„АКСИОМ III. (Аксиом издвајања). Кад год је исказна функција Φ(x) коначна за све елементе скупа M, M поседује подскуп M_Φ који садржи као елементе управо оне елементе x из M за које је Φ(x) истинито”.

Пошто не постоји универзални скуп — скупови настају путем Аксиома II из елемената (не-скуп) домена B – „...ово решава Раселову антиномију што се нас тиче”. Али Цермелов „коначни критеријум” је непрецизан, и фиксирали су га Вајл, Френкел, Сколем и фон Нојман.

У ствари, Сколем је у свом делу из 1922. овај „коначни критеријум” или „својство” назвао „коначном пропозицијом”:

„... коначни израз конструисан из елементарних пропозиција облика a ε b или a = b помоћу пет операција [логичка конјункција, дисјункција, негација, универзални квантификатор, и егзистенцијални квантификатор].

Ван Хајенорт резимира:

„Својство је коначно у Сколемовом смислу ако је изражено . . . добро формулисаном формулом у једноставном предикатском рачуну првог реда у којем су једине предикатске константе ε и могуће, =. ... Данас је аксиоматизација теорије скупова обично уграђена у логички рачун, а Вајлов и Сколемов приступ формулацији аксиома издвајања је генерално усвојен.

У овом цитату читалац може приметити помак у терминологији: нигде се не помиње појам „исказне функције”, већ се виде речи „формула”, „предикатски рачун”, „предикат” и „логички рачун.” О овом померању терминологије се више говори у одељку који покрива „функцију” у савременој теорији скупова.

Винер-Хаусдорф-Куратовскијева дефиниција уређеног пара 1914–1921

Историја појма „уређени пар” није јасна. Као што је горе наведено, Фреге (1879) је предложио интуитивно уређивање у својој дефиницији функције са два аргумента Ψ(A, B). Норберт Винер у свом делу из 1914. (види испод) примећује да се његов сопствени третман суштински „враћа на третман релације Шредера као класе уређених парова”. Шаблон:Harvtxt је разматрао дефиницију релације (као што је Ψ(A, B)) као „класе парова” али ју је одбацио:

„Постоји искушење да се релација сматра дефинисаном у екстензији као класа парова. Ово је формална предност јер избегава потребу за примитивном пропозицијом која тврди да сваки пар има релацију која не важи ни између једног другог пара термина. Али неопходно је дати смисао пару, да би се разликовао референт [домен] од релатума [конверзни домен]: тако пар постаје суштински различит од класе од два термина, и мора бити сам уведен као примитивна идеја. . . . Чини се стога исправнијим заузети интензионални поглед на релације, и идентификовати их пре са концептима класа него са класама.”Шаблон:Sfn

До 1910–1913. и дела Principia Mathematica Расел је одустао од захтева за интензионалном дефиницијом релације, наводећи да се „математика увек бави екстензијама пре него интензијама” и „Релације, попут класа, треба узети у екстензији”. Да би демонстрирао појам релације у екстензији Расел је сада прихватио појам уређеног пара: „Можемо посматрати релацију ... као класу парова ... релација одређена са φ(x, y) је класа парова (x, y) за које је φ(x, y) истинито”.Шаблон:Sfn У фусноти је појаснио свој појам и дошао до ове дефиниције:

„Такав пар има смисао, тј. пар (x, y) се разликује од пара (y, x) осим ако није x = y. Зваћемо га "пар са смислом," ... може се такође назвати уређеним паром. Шаблон:Sfn

Али он даље каже да не би уводио уређене парове даље у свој „симболички третман”; он предлаже своју „матрицу” и свој непопуларни аксиом сводљивости на њихово место.

Покушај да се реши проблем антиномија навео је Расела да предложи своју „доктрину типова” у додатку B свог дела Принципи математике из 1903.Шаблон:Sfn За неколико година ће усавршити овај појам и предложити у својој Теорији типова из 1908. два аксиома сводљивости, чија је сврха била да сведу (са једном променљивом) исказне функције и (са две променљиве) релације на „нижу” форму (и коначно у потпуно екстензионалну форму); он и Алфред Норт Вајтхед ће пренети овај третман у Principia Mathematica 1910–1913 са даљим усавршавањем названим „матрица”. Први аксиом је *12.1; други је *12.11. Да цитирамо Винера други аксиом *12.11 „је укључен само у теорију релација”. Оба аксиома су, међутим, наишла на скептицизам и отпор; види више на аксиома сводљивости. До 1914. Норберт Винер, користећи Вајтхедов и Раселов симболизам, елиминисао је аксиом *12.11 (верзија аксиома сводљивости са две променљиве (релациона)) изражавајући релацију као уређени пар користећи празан скуп. У отприлике исто време, Феликс Хаусдорф (1914, стр. 32) дао је дефиницију уређеног пара (a, b) као {{a,1}, {b, 2}}. Неколико година касније Куратовски (1921) понудио је дефиницију која се од тада широко користи, наиме {{a, b}, {a}}”. Како примећује Шаблон:Harvtxt „Ова дефиниција . . . била је историјски важна у свођењу теорије релација на теорију скупова.

Приметите да иако је Винер „свео” релациону *12.11 форму аксиома сводљивости он није свео нити на други начин променио форму исказне функције *12.1; заиста је прогласио то „суштинским за третман идентитета, дескрипција, класа и релација”.

Шенфинкелово схватање функције као више-према-један кореспонденције 1924

Одакле тачно потиче општи појам „функције” као више-према-један кореспонденције није јасно. Расел у свом делу Увод у математичку филозофију из 1920. наводи да „Треба приметити да све математичке функције произилазе из један-више [sic – савремена употреба је више-један] релација . . . Функције у овом смислу су дескриптивне функције”.Шаблон:Sfn Разумна могућност је појам „дескриптивне функције” из Principia Mathematica – R 'y =_DEF (ιx)(x R y): „јединствени објекат који има релацију R према y”. Како год било, до 1924. године, Мозес Шенфинкел је изразио овај појам, тврдећи да је „добро познат”:

„Као што је добро познато, под функцијом подразумевамо у најједноставнијем случају кореспонденцију између елемената неког домена величина, домена аргумената, и оних из домена вредности функције ... тако да свакој вредности аргумента одговара највише једна вредност функције”.

Према Виларду Квајну, Шаблон:Harvnb „обезбеђује ... читав распон апстрактне теорије скупова. Суштина ствари је да Шенфинкел допушта да функције стоје као аргументи. За Шенфинкела, суштински као и за Фрегеа, класе су посебне врсте функција. Оне су исказне функције, функције чије су вредности истинитосне вредности. Све функције, исказне и друге, за Шенфинкела су функције са једним местом”. Невероватно, Шенфинкел своди сву математику на екстремно компактан функционални рачун који се састоји од само три функције: Константности, фузије (тј. композиције) и међусобне искључивости. Квајн примећује да је Хаскел Кари (1958) пренео овај рад даље „под насловом комбинаторна логика”.

Фон Нојманова теорија скупова 1925

До 1925. Абрахам Френкел (1922) и Торалф Сколем (1922) изменили су Цермелову теорију скупова из 1908. Али фон Нојман није био убеђен да ова аксиоматизација не може довести до антиномија. Зато је предложио сопствену теорију, своје дело из 1925. Аксиоматизација теорије скупова. Она експлицитно садржи „савремену”, теоријско-скуповну верзију појма „функције”:

„[За разлику од Цермелове теорије скупова] [м]и више волимо, међутим, да не аксиоматизујемо "скуп" већ "функцију". Овај други појам свакако укључује први. (Тачније, два појма су потпуно еквивалентна, пошто се функција може сматрати скупом парова, а скуп као функција која може узети две вредности.)”.

На самом почетку он почиње са I-објектима и II-објектима, два објекта A и B који су I-објекти (први аксиом), и две врсте „операција” које претпостављају уређење као структурно својство добијено од резултујућих објеката [x, y] и (x, y). Два „домена објеката” називају се „аргументи” (I-објекти) и „функције” (II-објекти); тамо где се преклапају су „функције аргумената” (он их назива I-II објектима). Он уводи две „универзалне операције са две променљиве” – (i) операцију [x, y]: „. . . чита се 'вредност функције x за аргумент y . . . она сама је објекат типа I”, и (ii) операцију (x, y): „. . . (чита се 'уређени пар x, y') чије променљиве x и y обе морају бити аргументи и која сама производи аргумент (x, y). Њено најважније својство је да x₁ = x₂ и y₁ = y₂ следи из (x₁ = y₂) = (x₂ = y₂)”. Да би разјаснио пар функција он напомиње да „Уместо f(x) пишемо [f,x] да бисмо указали да се f, баш као и x, треба сматрати променљивом у овој процедури”. Да би избегли „антиномије наивне теорије скупова, код Расела пре свега . . . морамо одустати од третирања одређених функција као аргумената”. Он усваја појам од Цермела да ограничи ове „одређене функције”.

Супес примећује да је фон Нојманову аксиоматизацију модификовао Бернајс „како би остао ближи оригиналном Цермеловом систему . . . Он је увео две релације припадности: једну између скупова и једну између скупова и класа”. Затим је Гедел [1940] додатно модификовао теорију: „његови примитивни појмови су појмови скупа, класе и припадности (иако је припадност сама довољна)”. Ова аксиоматизација је сада позната као фон Нојман–Бернајс–Геделова теорија скупова.

Бурбаки 1939

Године 1939, група Никола Бурбаки, поред тога што је дала добро познату дефиницију функције преко уређеног пара као одређеног подскупа Декартовог производа E × F, дала је следеће:

„Нека су E и F два скупа, који могу или не морају бити различити. Релација између променљивог елемента x из E и променљивог елемента y из F назива се функционална релација по y ако, за свако x ∈ E, постоји јединствено y ∈ F које је у датој релацији са x. Дајемо назив функција операцији која на овај начин повезује са сваким елементом x ∈ E елемент y ∈ F који је у датој релацији са x, и за функцију се каже да је одређена датом функционалном релацијом. Две еквивалентне функционалне релације одређују исту функцију.”

Од 1950. године

У савременој теорији скупова

И аксиоматски и наивни облици Цермелове теорије скупова модификоване од стране Френкела (1922) и Сколема (1922) дефинишу „функцију” као релацију, дефинишу релацију као скуп уређених парова, и дефинишу уређени пар као скуп два „несиметрична” скупа.

Иако читалац дела Шаблон:Harvtxt Аксиоматска теорија скупова или Шаблон:Harvtxt Наивна теорија скупова примећује употребу симболизма функција у аксиому издвајања, нпр. φ(x) (код Супеса) и S(x) (код Халмоса), они неће видети никакво помињање „пропозиције” нити чак „предикатског рачуна првог реда”. На њиховом месту су „изрази објектног језика”, „атомске формуле”, „примитивне формуле” и „атомске реченице”.

Шаблон:Harvtxt дефинише речи на следећи начин: „У говорним језицима, пропозиција се изражава реченицом. Тада се 'предикат' изражава непотпуном реченицом или скелетом реченице који садржи празно место. На пример, "___ је човек" изражава предикат ... Предикат је исказна функција једне променљиве. Предикати се често називају 'својствима' ... Предикатски рачун ће се бавити логиком предиката у овом општем смислу 'предиката', тј. као исказне функције”.Шаблон:Sfn

Године 1954, Бурбаки, на стр. 76 у поглављу II дела Theorie des Ensembles (теорија скупова), дао је дефиницију функције као тројке f = (F, A, B). Овде је F функционални граф, што значи скуп парова где ниједна два пара немају исти први члан. На стр. 77 (op. cit.) Бурбаки наводи (дослован превод): „Често ћемо користити, у остатку овог Трактата, реч функција уместо функционални граф.”

Шаблон:Harvtxt у Аксиоматској теорији скупова, формално дефинише релацију (стр. 57) као скуп парова, и функцију (стр. 86) као релацију где ниједна два пара немају исти први члан.

Релациони облик функције

Разлог за нестанак речи „исказна функција” нпр. у Шаблон:Harvtxt и Шаблон:Harvtxt, објашњава Шаблон:Harvtxt заједно са даљим објашњењем терминологије:

„Израз као што је x је цео број, који садржи променљиве и, заменом ових променљивих константама постаје реченица, назива се РЕЧЕНИЧНОМ [тј. исказном уп. његов индекс] ФУНКЦИЈОМ. Али математичари, успут, нису баш љубитељи овог израза, јер они користе термин "функција" у другачијем значењу. ... реченичне функције и реченице састављене у потпуности од математичких симбола (а не речи свакодневног језика), као што су: x + y = 5 математичари обично називају ФОРМУЛАМА. Уместо "реченичне функције" понекад ћемо једноставно рећи "реченица" – али само у случајевима када нема опасности од било каквог неспоразума”.Шаблон:Sfn

Са своје стране Тарски назива релациони облик функције „ФУНКЦИОНАЛНОМ РЕЛАЦИЈОМ или једноставно ФУНКЦИЈОМ”.Шаблон:Sfn Након расправе о овој „функционалној релацији” он тврди да:

„Концепт функције који сада разматрамо суштински се разликује од концепата реченичне [исказне] и дезигнаторне функције .... Строго говорећи ... [ове] не припадају домену логике или математике; оне означавају одређене категорије израза које служе за састављање логичких и математичких исказа, али оне не означавају ствари о којима се у тим исказима расправља... . Термин "функција" у свом новом смислу, с друге стране, је израз чисто логичког карактера; он означава одређену врсту ствари којом се баве логика и математика.”Шаблон:Sfn

Види више о „истини под интерпретацијом” код Алфреда Тарског.

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Reichenbach, Hans (1947) Шаблон:Cite book, Dover Publishing Inc., New York NY, .
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal

Спољашње везе

• Функције са сајта cut-the-knot.