Историја алгебре

Алгебра се у суштини може сматрати извођењем рачунања сличних онима из аритметике, али са ненумеричким математичким објектима. Међутим, све до 19. века, алгебра се у основи састојала од теорије једначина. На пример, основна теорема алгебре припада теорији једначина и не сматра се делом алгебре (у ствари, сваки математички доказ мора да користи комплетност реалних бројева, што није алгебарска особина).

Овај чланак описује историју теорије једначина, која се у овом чланку назива „алгебром“, од њених почетака до појаве алгебре као засебне области математике.

Етимологија

Реч „алгебра“ потиче од арапске речи Шаблон:Lang Шаблон:Transliteration, а она долази из расправе коју је 830. године написао средњовековни персијски математичар, Мухамед ибн Муса ел-Хорезми, чији се арапски наслов, Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala, може превести као Садржајна књига о рачунању путем допуњавања и уравнотежења. Расправа је пружила систематско решавање линеарних и квадратних једначина. Према једном историјском извору, „[н]ије сасвим сигурно шта тачно значе изрази al-jabr и muqabalah, али уобичајено тумачење је слично ономе које се подразумева у претходном преводу. Реч 'al-jabr' је вероватно значила нешто попут 'обнављање' или 'допуњавање' и чини се да се односи на преношење одузетих чланова на другу страну једначине; за реч 'muqabalah' се каже да се односи на 'свођење' или 'уравнотежење'—то јест, поништавање сличних чланова на супротним странама једначине. Арапски утицај у Шпанији дуго након времена Ел-Хорезмија налази се у Дон Кихоту, где се реч 'algebrista' користи за намештача костију, то јест, 'обновитеља'.“^[1] Израз користи Ел-Хорезми да опише операције које је увео, „свођење“ и „уравнотежење“, што се односи на преношење одузетих чланова на другу страну једначине, односно на поништавање сличних чланова на супротним странама једначине.^[2]

Фазе развоја алгебре

Шаблон:See also

Алгебарски израз

Алгебра није одувек користила симболику која је данас свеприсутна у математици; уместо тога, прошла је кроз три различите фазе. Фазе у развоју симболичке алгебре су приближно следеће:^[3] Шаблон:Anchor

Реторичка алгебра, у којој су једначине написане у пуним реченицама. На пример, реторички облик за $x + 1 = 2$ је „Ствар плус један једнако је два“ или могуће „Ствар плус 1 једнако је 2“. Реторичку алгебру су први развили древни Вавилонци и она је остала доминантна све до 16. века.

Шаблон:Anchor

Синкопирана алгебра, у којој се користи извесна симболика, али која не садржи све карактеристике симболичке алгебре. На пример, може постојати ограничење да се одузимање може користити само једном на једној страни једначине, што није случај са симболичком алгебром. Синкопирани алгебарски израз први пут се појавио у Диофантовој Аритметици (3. век н.е.), а затим у Брамагуптиној Брахма-спхута-сидханти (7. век).
Симболичка алгебра, у којој се користи потпуна симболика. Рани кораци ка овоме могу се видети у радовима неколико исламских математичара као што су Ибн ел-Бана (13–14. век) и ел-Каласади (15. век), иако је потпуно симболичку алгебру развио Франсоа Вијет (16. век). Касније је Рене Декарт (17. век) увео модерну нотацију (на пример, употребу x—види доле) и показао да се проблеми који се јављају у геометрији могу изразити и решити помоћу алгебре (Картезијева геометрија).

Колико год да је била важна употреба или недостатак симболизма у алгебри, толико је био важан и степен једначина које су решаване. Квадратне једначине су играле важну улогу у раној алгебри; и током већег дела историје, све до раног модерног периода, све квадратне једначине су класификоване као припаднице једне од три категорије.

$x^{2} + p x = q$
$x^{2} = p x + q$
$x^{2} + q = p x$

где су $p$ и $q$ позитивни. Ова трихотомија произилази из чињенице да квадратне једначине облика $x^{2} + p x + q = 0$ , са позитивним $p$ и $q$ , немају позитивне корене.^[4]

Између реторичке и синкопиране фазе симболичке алгебре, развила се геометријска конструктивна алгебра код класичних грчких и ведских индијских математичара у којој су алгебарске једначине решаване путем геометрије. На пример, једначина облика $x^{2} = A$ решавана је проналажењем странице квадрата површине $A .$

Концептуалне фазе

Поред три фазе изражавања алгебарских идеја, неки аутори су препознали четири концептуалне фазе у развоју алгебре које су се одвијале упоредо са променама у изражавању. Те четири фазе су следеће:^[5]

Геометријска фаза, где су концепти алгебре углавном геометријски. Ово датира од Вавилонаца и наставило се са Грцима, а касније ју је обновио Омар Хајам.
Фаза статичког решавања једначина, где је циљ пронаћи бројеве који задовољавају одређене односе. Удаљавање од геометријске фазе датира од Диофанта и Брамагупте, али алгебра се није одлучно померила ка фази статичког решавања једначина све док Ел-Хорезми није увео генерализоване алгоритамске процесе за решавање алгебарских проблема.
Динамичка функцијска фаза, где је кретање основна идеја. Идеја функције почела је да се појављује код Шараф ал-Дина ал-Тусија, али алгебра се није одлучно померила ка динамичкој функцијској фази све до Готфрида Лајбница.
Апстрактна фаза, где математичка структура игра централну улогу. Апстрактна алгебра је углавном производ 19. и 20. века.

Вавилон

Шаблон:See also

Порекло алгебре може се пратити до древних Вавилонаца,^[6] који су развили позициони бројевни систем који им је у великој мери помогао у решавању њихових реторичких алгебарских једначина. Вавилонци нису били заинтересовани за тачна решења, већ пре за апроксимације, па би обично користили линеарну интерполацију да апроксимирају међувредности.^[7] Једна од најпознатијих плочица је плочица Плимптон 322, настала око 1900–1600. п. н. е., која даје табелу Питагориних тројки и представља једну од најнапреднијих математика пре грчке математике.^[8]

Вавилонска алгебра је била много напреднија од египатске алгебре тог времена; док су се Египћани углавном бавили линеарним једначинама, Вавилонци су се више бавили квадратним и кубним једначинама.^[7] Вавилонци су развили флексибилне алгебарске операције помоћу којих су могли да додају једнако једнаком и множе обе стране једначине сличним величинама како би елиминисали разломке и факторе.^[7] Били су упознати са многим једноставним облицима растављања на факторе,^[7] трочланим квадратним једначинама са позитивним коренима,^[9] и многим кубним једначинама,^[10] иако није познато да ли су били у стању да сведу општу кубну једначину.^[10]

Стари Египат

Шаблон:See also Древна египатска алгебра бавила се углавном линеарним једначинама, док су Вавилонци сматрали да су ове једначине сувише елементарне и развили су математику на виши ниво од Египћана.^[7]

Рајндов папирус, такође познат и као Ахмесов папирус, је древни египатски папирус написан око 1650. п. н. е. од стране Ахмеса, који га је преписао са ранијег дела које је датирао између 2000. и 1800. п. н. е.^[11] То је најобимнији древни египатски математички документ познат историчарима.^[12] Рајндов папирус садржи проблеме у којима се решавају линеарне једначине облика $x + a x = b$ и $x + a x + b x = c$ , где су $a, b,$ и $c$ познати, а $x,$ која се назива "aha" или гомила, је непозната.^[13] Решења су вероватно, али не и сигурно, добијена коришћењем „метода лажне позиције“, или regula falsi, где се прво одређена вредност замени у леву страну једначине, затим се изврше потребне аритметичке радње, треће резултат се упореди са десном страном једначине, и коначно се тачан одговор пронађе коришћењем пропорција. У неким проблемима аутор „проверава“ своје решење, чиме записује један од најранијих познатих једноставних доказа.^[13]

Шаблон:Anchor Грчка математика

Шаблон:See also

Понекад се тврди да Грци нису имали алгебру, али то је спорно.^[15] До времена Платона, грчка математика је претрпела драстичну промену. Грци су створили геометријску алгебру где су чланови били представљени страницама геометријских објеката,^[16] обично линијама, које су имале придружена слова,^[17] и са овим новим обликом алгебре могли су да пронађу решења једначина користећи процес који су измислили, познат као „примена површина“.^[16] "Примена површина" је само део геометријске алгебре и детаљно је обрађена у Еуклидовим Елементима.

Пример геометријске алгебре било би решавање линеарне једначине $a x = b c .$ Стари Грци би ову једначину решавали посматрајући је као једнакост површина, а не као једнакост између односа $a : b$ и $c : x .$ Грци би конструисали правоугаоник са страницама дужине $b$ и $c,$ затим продужили страницу правоугаоника до дужине $a,$ и на крају би довршили продужени правоугаоник како би пронашли страницу правоугаоника која је решење.^[16]

===Блум Тимарида Јамблих у делу Introductio arithmatica каже да је Тимарид (око 400. п. н. е. – око 350. п. н. е.) радио са симултаним линеарним једначинама.^[18] Конкретно, створио је тада чувено правило познато као „Тимаридов цвет“ или „Тимаридов блум“, које каже да:

Ако је дат збир $n$ величина, и такође збир сваког пара који садржи одређену величину, онда је та одређена величина једнака $1 / (n - 2)$ разлике између збирова ових парова и првог датог збира.^[19]

или користећи модерну нотацију, решење следећег система од $n$ линеарних једначина са $n$ непознатих,^[18]

$x + x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1} = s$
$x + x_{1} = m_{1}$
$x + x_{2} = m_{2}$
$⋮$
$x + x_{n - 1} = m_{n - 1}$

је,

$x = \frac{(m_{1} + m_{2} + ... + m_{n - 1}) - s}{n - 2} = \frac{(\sum_{i = 1}^{n - 1} m_{i}) - s}{n - 2} .$

Јамблих даље описује како се неки системи линеарних једначина који нису у овом облику могу довести у овај облик.^[18]

Еуклид из Александрије

Еуклид (грчки: Шаблон:Lang) је био грчки математичар који је стварао у Александрији, Египту, готово сигурно током владавине Птолемеја I (323–283. п. н. е.).^[20]^[21] Ни година ни место његовог рођења^[20] нису утврђени, нити околности његове смрти.

Еуклид се сматра „оцем геометрије“. Његови Елементи су најуспешнији уџбеник у историји математике.^[20] Иако је један од најпознатијих математичара у историји, њему се не приписују нова открића; пре је упамћен по својим великим вештинама објашњавања.^[22] Елементи нису, како се понекад мисли, збирка целокупног грчког математичког знања до тог датума; пре је то основни увод у њега.^[23]

Елементи

Геометријски рад Грка, оличен у Еуклидовим Елементима, пружио је оквир за генерализацију формула изван решавања појединачних проблема у општије системе постављања и решавања једначина.

Књига II Елемената садржи четрнаест пропозиција, које су у Еуклидово време биле изузетно значајне за извођење геометријске алгебре. Ове пропозиције и њихови резултати су геометријски еквиваленти наше модерне симболичке алгебре и тригонометрије.^[15] Данас, користећи модерну симболичку алгебру, пуштамо да симболи представљају познате и непознате величине (тј. бројеве) и затим примењујемо алгебарске операције на њих, док су у Еуклидово време величине посматране као линијски сегменти и резултати су извођени користећи аксиоме или теореме геометрије.^[15]

Многи основни закони сабирања и множења су укључени или доказани геометријски у Елементима. На пример, пропозиција 1 Књиге II каже:

Ако постоје две праве линије, и једна од њих је пресечена на било који број сегмената, правоугаоник обухваћен двема правим линијама једнак је правоугаоницима обухваћеним непресеченом правом линијом и сваким од сегмената.

Али ово није ништа друго до геометријска верзија (левог) дистрибутивног закона, $a (b + c + d) = a b + a c + a d$ ; а у Књигама V и VII Елемената демонстрирани су комутативни и асоцијативни закони за множење.^[15]

Многе основне једначине су такође доказане геометријски. На пример, пропозиција 5 у Књизи II доказује да $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b),$ ^[24] а пропозиција 4 у Књизи II доказује да $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} .$ ^[15]

Штавише, постоје и геометријска решења дата за многе једначине. На пример, пропозиција 6 Књиге II даје решење квадратне једначине $a x + x^{2} = b^{2},$ а пропозиција 11 Књиге II даје решење за $a x + x^{2} = a^{2} .$ ^[25]

Подаци

Подаци је дело које је написао Еуклид за употребу у школама у Александрији и било је замишљено да се користи као пратећи том уз првих шест књига Елемената. Књига садржи петнаест дефиниција и деведесет пет изјава, од којих постоји око двадесет изјава које служе као алгебарска правила или формуле.^[26] Неке од ових изјава су геометријски еквиваленти решења квадратних једначина.^[26] На пример, Подаци садрже решења једначина $d x^{2} - a d x + b^{2} c = 0$ и познате вавилонске једначине $x y = a^{2}, x \pm y = b .$ ^[26]

Конусни пресеци

Конусни пресек је крива која настаје као резултат пресека купe са равни. Постоје три основна типа конусних пресека: елипсе (укључујући кругове), параболе и хиперболе. Верује се да је конусне пресеке открио Менехмо^[27] (око 380. п. н. е. – око 320. п. н. е.) и пошто је бављење конусним пресецима еквивалентно бављењу њиховим одговарајућим једначинама, они су играли геометријске улоге еквивалентне кубним једначинама и другим једначинама вишег реда.

Менехмо је знао да у параболи важи једначина $y^{2} = l x$ , где је $l$ константа која се зове latus rectum, иако није био свестан чињенице да свака једначина са две непознате одређује криву.^[28] Очигледно је извео ове особине конусних пресека, као и друге. Користећи ове информације, сада је било могуће наћи решење проблема удвостручавања коцке решавањем тачака у којима се две параболе секу, што је решење еквивалентно решавању кубне једначине.^[28]

Обавештени смо од Еутоција да је метод који је користио за решавање кубне једначине потекао од Дионисодора (250. п. н. е. – 190. п. н. е.). Дионисодор је решио кубну једначину помоћу пресека правоугаоне хиперболе и параболе. Ово је било повезано са проблемом у Архимедовом делу О сфери и ваљку. Конусне пресеке ће проучавати и користити хиљадама година грчки, а касније исламски и европски математичари. Конкретно, чувено дело Аполонија из Перге Конике бави се, између осталог, конусним пресецима.

Кина

Шаблон:See also Кинеска математика датира бар од 300. п. н. е. са делом Џоу би суан ђинг, које се генерално сматра једним од најстаријих кинеских математичких докумената.^[29]

„Девет поглавља о математичкој вештини“

Чиу-џанг суан-шу или Девет поглавља о математичкој вештини, написано око 250. п. н. е., једна је од најутицајнијих кинеских математичких књига и састоји се од 246 проблема. Осмо поглавље бави се решавањем одређених и неодређених симултаних линеарних једначина користећи позитивне и негативне бројеве, са једним проблемом који укључује решавање четири једначине са пет непознатих.^[29]

„Морско огледало мерења круга“

Це-јуан хаи-ђинг, или Морско огледало мерења круга, збирка је од око 170 проблема коју је написао Ли Џи (или Ли Је) (1192–1279. н.е.). Користио је фан фа, или Хорнеров метод, за решавање једначина степена чак до шест, иако није описао свој метод решавања једначина.^[30]

„Математичка расправа у девет поглавља“

Шу-шу ђиу-џанг, или Математичка расправа у девет поглавља, написао је богати гувернер и министар Чин Ђиу-шао (око 1202 – око 1261). Увођењем методе за решавање симултаних конгруенција, сада назване кинеска теорема о остацима, означава врхунац у кинеској.^[30]

Магични квадрати

Најранији познати магични квадрати појавили су се у Кини.^[31] У Девет поглавља аутор решава систем симултаних линеарних једначина стављањем коефицијената и слободних чланова линеарних једначина у магични квадрат (тј. матрицу) и извођењем операција свођења над колонама на магичном квадрату.^[31] Најранији познати магични квадрати реда већег од три приписују се Јанг Хуију (деловао око 1261–1275), који је радио са магичним квадратима реда чак до десет.^[32]

„Драгоцено огледало четири елемента“

Си-јуан ју-ђиен《四元玉鑒》, или Драгоцено огледало четири елемента, написао је Чу Ши-ђие 1303. године и оно означава врхунац у развоју кинеске алгебре. Четири елемента, названа небо, земља, човек и материја, представљала су четири непознате величине у његовим алгебарским једначинама. Си-јуан ју-ђиен се бави симултаним једначинама и једначинама степена чак до четрнаест. Аутор користи метод фан фа, данас назван Хорнеров метод, за решавање ових једначина.^[33]

Драгоцено огледало почиње дијаграмом аритметичког троугла (Паскаловог троугла) користећи округли симбол за нулу, али Чу Ши-ђие одриче заслуге за то. Сличан троугао појављује се у раду Јанг Хуија, али без симбола за нулу.^[34]

Постоји много сумационих једначина датих без доказа у Драгоценом огледалу. Неколико сумација су:^[34]

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{3!}

1 + 8 + 30 + 80 + \dots + \frac{n^{2} (n + 1) (n + 2)}{3!} = \frac{n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (4 n + 1)}{5!}

Диофант

Шаблон:See also

Диофант је био хеленистички математичар који је живео око 250. н.е., али је несигурност овог датума толико велика да може бити погрешна и за више од једног века. Познат је по томе што је написао Аритметику, расправу која је изворно имала тринаест књига, али од којих је само првих шест сачувано.^[35] Аритметика је најраније постојеће дело које решава аритметичке проблеме алгебром. Диофант, међутим, није изумео метод алгебре, која је постојала пре њега.^[36] Алгебра су практиковали и усмено ширили практичари, а Диофант је покупио технике за решавање проблема у аритметици.^[37]

У модерној алгебри полином је линеарна комбинација променљиве x која је изграђена од степеновања, скаларног множења, сабирања и одузимања. Алгебра Диофанта, слична средњовековној арапској алгебри, је агрегација објеката различитих типова без присутних операција^[38]

На пример, код Диофанта полином "6 4Шаблон:Prime инверзни степени, 25 степени недостаје 9 јединица", што је у модерној нотацији $6 \frac{1}{4} x^{- 1} + 25 x^{2} - 9$ је колекција од $6 \frac{1}{4}$ објеката једне врсте са 25 објеката друге врсте којој недостаје 9 објеката треће врсте без присутне операције.^[39]

Слично средњовековној арапској алгебри, Диофант користи три фазе за решавање проблема алгебром:

1) Непозната се именује и поставља се једначина

2) Једначина се поједностављује до стандардног облика (ал-џабр и ал-мукабала на арапском)

3) Поједностављена једначина се решава^[40]

Диофант не даје класификацију једначина у шест типова попут Ел-Хорезмија у сачуваним деловима Аритметике. Он каже да ће дати решење за једначине са три члана касније, тако да је овај део рада вероватно само изгубљен^[37]

У Аритметици, Диофант први користи симболе за непознате бројеве, као и скраћенице за степене бројева, релације и операције;^[41] тако је користио оно што је сада познато као синкопирана алгебра. Главна разлика између Диофантове синкопиране алгебре и модерне алгебарске нотације је у томе што су првој недостајали посебни симболи за операције, релације и степеновање.^[42]

Тако, на пример, оно што бисмо ми написали као

x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 1 = 5,

што се може преписати као

(x^{3} 1 + x 10) - (x^{2} 2 + x^{0} 1) = x^{0} 5,

било би записано у Диофантовој синкопираној нотацији као

K^{υ} \overline{α} ζ \overline{ι} ⋔ Δ^{υ} \overline{β} M \overline{α}

Шаблон:Lang

σ M \overline{ε}

где симболи представљају следеће:^[43]^[44]

Симбол	Шта представља
$\overline{α}$	1
$\overline{β}$	2
$\overline{ε}$	5
$\overline{ι}$	10
Шаблон:Lang	„једнако“ (скраћено од Шаблон:Lang)
$⋔$	представља одузимање свега што следи иза $⋔$ до Шаблон:Lang
$M$	нулти степен (тј. константни члан)
$ζ$	непозната величина (јер број $x$ подигнут на први степен је само $x,$ ово се може сматрати „првим степеном“)
$Δ^{υ}$	други степен, од грчког Шаблон:Lang, што значи снага или моћ
$K^{υ}$	трећи степен, од грчког Шаблон:Lang, што значи коцка
$Δ^{υ} Δ$	четврти степен
$Δ K^{υ}$	пети степен
$K^{υ} K$	шести степен

За разлику од модерне нотације, коефицијенти долазе иза променљивих, а сабирање је представљено надовезивањем чланова. Дословни превод симбол-за-симбол Диофантове синкопиране једначине у модерну симболичку једначину био би следећи:^[43]

x^{3} 1 x 10 - x^{2} 2 x^{0} 1 = x^{0} 5

где да појаснимо, ако се користе модерне заграде и плус, онда се горња једначина може преписати као:^[43]

(x^{3} 1 + x 10) - (x^{2} 2 + x^{0} 1) = x^{0} 5

Међутим, разлика између "реторичке алгебре", "синкопиране алгебре" и "симболичке алгебре" се сматра застарелом од стране Џефрија Оукса и Жана Кристијанидиса. Проблеми су решавани на табли за прашину користећи неку нотацију, док су у књигама решења писана у "реторичком стилу".^[45]

Аритметика такође користи идентитете:^[46]

$(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})$	$= (a c + d b)^{2} + (b c - a d)^{2}$
	$= (a d + b c)^{2} + (a c - b d)^{2}$

Индија

Шаблон:See also Индијски математичари су били активни у проучавању бројевних система. Најранији познати индијски математички документи датирају отприлике из средине првог миленијума пре нове ере (око 6. века п. н. е.).^[47]

Понављајуће теме у индијској математици су, између осталог, одређене и неодређене линеарне и квадратне једначине, једноставна мерења и Питагорине тројке.^[48]

Арјабхата

Арјабхата (476–550) је био индијски математичар који је написао Арјабхатију. У њој је дао правила,^[49]

1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

и

1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = (1 + 2 + \dots + n)^{2}

Брахма-спхута-сидханта

Брамагупта (деловао 628. г.) био је индијски математичар који је написао Брахма-спхута-сидханту. У свом делу Брамагупта решава општу квадратну једначину и за позитивне и за негативне корене.^[50] У неодређеној анализи Брамагупта даје Питагорине тријаде $m, \frac{1}{2} (\frac{m^{2}}{n} - n),$ $\frac{1}{2} (\frac{m^{2}}{n} + n),$ али ово је модификовани облик старог вавилонског правила са којим је Брамагупта можда био упознат.^[51] Он је први дао опште решење линеарне Диофантове једначине $a x + b y = c,$ где су $a, b,$ и $c$ цели бројеви. За разлику од Диофанта који је дао само једно решење неодређене једначине, Брамагупта је дао сва целобројна решења; али то што је Брамагупта користио неке од истих примера као Диофант навело је неке историчаре да размотре могућност грчког утицаја на Брамагуптин рад, или бар заједнички вавилонски извор.^[52]

Попут Диофантове алгебре, и Брамагуптина алгебра је била синкопирана. Сабирање се означавало стављањем бројева један поред другог, одузимање стављањем тачке изнад умањиоца, а дељење стављањем делиоца испод дељеника, слично нашој модерној нотацији али без црте. Множење, кореновање и непознате величине представљани су скраћеницама одговарајућих израза.^[52] Обим грчког утицаја на ову синкопу, ако га је било, није познат и могуће је да и грчка и индијска синкопа потичу из заједничког вавилонског извора.^[52]

Баскара II

Баскара II (1114 – око 1185) био је водећи математичар 12. века. У алгебри је дао опште решење Пелове једначине.^[52] Аутор је дела Лилавати и Виџа-Ганита, која садрже проблеме који се баве одређеним и неодређеним линеарним и квадратним једначинама, и Питагориним тројкама^[48] и он не успева да разликује тачне и приближне исказе.^[53] Многи проблеми у Лилавати и Виџа-Ганити потичу из других хиндуистичких извора, тако да је Баскара најбољи у бављењу неодређеном анализом.^[53]

Баскара користи почетне симболе назива за боје као симболе за непознате променљиве. Тако, на пример, оно што бисмо данас написали као

(- x - 1) + (2 x - 8) = x - 9

Баскара би написао као

. _ .

ya 1 ru 1

.

ya 2 ru 8

.

Збир ya 1 ru 9

где ya означава први слог речи за црно, а ru је узето из речи врста. Тачке изнад бројева означавају одузимање.

Исламски свет

Страница из дела Садржајна књига о рачунању путем допуњавања и уравнотежења

Шаблон:See also

Први век исламског арапског калифата није донео готово никаква научна или математичка достигнућа пошто Арапи, са својим новоосвојеним царством, још нису стекли интелектуални замах, а истраживања у другим деловима света су избледела. У другој половини 8. века, ислам је доживео културно буђење, а истраживања у математици и науци су се повећала.^[54] Муслимански абасидски калиф ал-Мамун (809–833) је наводно сањао да му се указао Аристотел, и као последица тога, ал-Мамун је наредио да се преведе на арапски што је могуће више грчких дела, укључујући Птоломејев Алмагест и Еуклидове Елементе. Грчка дела су муслиманима давана од стране Византијског царства у замену за споразуме, пошто су два царства одржавала несигуран мир.^[54] Многа од ових грчких дела превео је Сабит ибн Кура (826–901), који је преводио књиге Еуклида, Архимеда, Аполонија, Птоломеја и Еутоција.^[55]

Арапски математичари су успоставили алгебру као независну дисциплину и дали јој име „алгебра“ (al-jabr). Они су први предавали алгебру у елементарном облику и ради ње саме.^[56] Постоје три теорије о пореклу арапске алгебре. Прва наглашава хиндуистички утицај, друга месопотамски или персијско-сиријски утицај, а трећа грчки утицај. Многи научници верују да је она резултат комбинације сва три извора.^[57]

Током своје владавине, Арапи су користили потпуно реторичку алгебру, где су често чак и бројеви исписивани речима. Арапи су на крају заменили исписане бројеве (нпр. двадесет два) арапским цифрама (нпр. 22), али Арапи нису усвојили нити развили синкопирану или симболичку алгебру^[55] све до рада Ибн ел-Бане, који је развио симболичку алгебру у 13. веку, а затим Ебул Хасана ибн Алија ел-Каласадија у 15. веку.

Al-jabr wa'l muqabalah

Шаблон:See also Шаблон:Multiple image

Муслимански^[58] персијски математичар Мухамед ибн Муса ал-Хорезми, описан као отац^[59]^[60]^[61] или оснивач^[62]^[63] алгебре, био је члан факултета „Куће мудрости“ (Баит ал-Хикма) у Багдаду, коју је основао Ал-Мамун. Ал-Хорезми, који је умро око 850. н.е., написао је више од пола туцета математичких и астрономских дела.^[54] Једна од најпознатијих ал-Хорезмијевих књига носи наслов Al-jabr wa'l muqabalah или Садржајна књига о рачунању путем допуњавања и уравнотежења, и даје исцрпан приказ решавања полинома до другог степена.^[64] Књига је такође увела основни концепт „свођења“ и „уравнотежења“, што се односи на преношење одузетих чланова на другу страну једначине, односно на поништавање сличних чланова на супротним странама једначине. Ово је операција коју је Ал-Хорезми изворно описао као al-jabr.^[65] Назив "алгебра" потиче од "al-jabr" у наслову његове књиге.

Р. Рашед и Анђела Армстронг пишу:

Шаблон:Blockquote

Al-Jabr је подељен у шест поглавља, од којих се свако бави различитим типом формуле. Прво поглавље Al-Jabr-а бави се једначинама чији су квадрати једнаки њиховим коренима $(a x^{2} = b x),$ друго поглавље се бави квадратима једнаким броју $(a x^{2} = c),$ треће поглавље се бави коренима једнаким броју $(b x = c),$ четврто поглавље се бави квадратима и коренима једнаким броју $(a x^{2} + b x = c),$ пето поглавље се бави квадратима и бројевима једнаким коренима $(a x^{2} + c = b x),$ а шесто и последње поглавље се бави коренима и бројевима једнаким квадратима $(b x + c = a x^{2}) .$ ^[66]

У делу Al-Jabr, ал-Хорезми користи геометријске доказе,^[17] не препознаје корен $x = 0,$ ^[66] и бави се само позитивним коренима.^[67] Он такође препознаје да дискриминанта мора бити позитивна и описао је метод допуне до потпуног квадрата, иако не оправдава процедуру.^[68] Грчки утицај се показује кроз геометријске основе Al-Jabr-а^[57]^[69] и кроз један проблем преузет од Херона.^[70] Он користи словне дијаграме, али су сви коефицијенти у свим његовим једначинама специфични бројеви пошто није имао начина да изрази параметрима оно што је могао изразити геометријски; иако је општост методе намеравана.^[17]

Ал-Хорезми највероватније није знао за Диофантову Аритметику,^[71] која је постала позната Арапима негде пре 10. века.^[72] Иако је ал-Хорезми највероватније знао за Брамагуптино дело, Al-Jabr је потпуно реторички са бројевима чак исписаним речима.^[71] Тако, на пример, оно што бисмо ми написали као

x^{2} + 10 x = 39

Диофант би написао као^[73]

Δ^{Υ} \overline{α} ς \overline{ι}

Шаблон:Lang

σ M λ \overline{θ}

А ал-Хорезми би написао као^[73]

Један квадрат и десет корена истог износе тридесет девет дирхема; то јест, колики мора бити квадрат који, када се повећа за десет сопствених корена, износи тридесет девет?

Логичке нужности у мешовитим једначинама

'Абд ал-Хамид ибн Турк је аутор рукописа под насловом Логичке нужности у мешовитим једначинама, који је веома сличан ал-Хорезмијевом Al-Jabr-у и објављен је отприлике у исто време, или можда чак и раније.^[72] Рукопис даје потпуно исту геометријску демонстрацију каква се налази у Al-Jabr-у, и у једном случају исти пример као у Al-Jabr-у, и чак иде даље од Al-Jabr-а дајући геометријски доказ да ако је дискриминанта негативна, квадратна једначина нема решење.^[72] Сличност између ова два дела навела је неке историчаре да закључе да је арапска алгебра можда била добро развијена до времена ал-Хорезмија и 'Абд ал-Хамида.^[72]

Абу Камил и ал-Караџи

Арапски математичари су третирали ирационалне бројеве као алгебарске објекте.^[74] Египатски математичар Абу Камил Шуџа ибн Аслам (око 850–930) био је први који је прихватио ирационалне бројеве у облику квадратног корена или четвртог корена као решења квадратних једначина или као коефицијенте у једначини.^[75] Он је такође први решио три нелинеарне симултане једначине са три непознате променљиве.^[76]

Ал-Караџи (953–1029), такође познат као Ал-Карки, био је наследник Абу ал-Вафа Бузџанија (940–998) и открио је прво нумеричко решење једначина облика $a x^{2 n} + b x^{n} = c .$ ^[77] Ал-Караџи је разматрао само позитивне корене.^[77] Он се такође сматра првом особом која је ослободила алгебру од геометријских операција и заменила их типом аритметичких операција које су у сржи алгебре данас. Његов рад на алгебри и полиномима дао је правила за аритметичке операције за манипулацију полиномима. Историчар математике Ф. Вепке, у делу Extrait du Fakhri, traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi (Париз, 1853), хвалио је Ал-Караџија што је "први који је увео теорију алгебарског рачуна". Проистичући из овога, Ал-Караџи је истраживао биномне коефицијенте и Паскалов троугао.^[78]

Омар Хајам, Шараф ал-Дин ал-Туси и ал-Каши

Да би решио једначину трећег степена $x^{3} + a^{2} x = b$ Хајам је конструисао параболу $x^{2} = a y,$ , круг пречника $b / a^{2},$ и вертикалну линију кроз тачку пресека. Решење је дато дужином хоризонталног линијског сегмента од координатног почетка до пресека вертикалне линије и $x$ -осе.

Омар Хајам (око 1050 – 1123) написао је књигу о Алгебри која је ишла даље од Al-Jabr-а и укључивала једначине трећег степена.^[79] Омар Хајам је дао и аритметичка и геометријска решења за квадратне једначине, али је давао само геометријска решења за опште кубне једначине јер је погрешно веровао да су аритметичка решења немогућа.^[79] Његов метод решавања кубних једначина коришћењем пресечних коника користили су Менехмо, Архимед и Ибн ел-Хајтам (Алхазен), али Омар Хајам је генерализовао метод да покрије све кубне једначине са позитивним коренима.^[79] Разматрао је само позитивне корене и није ишао даље од трећег степена.^[79] Такође је увидео снажну везу између геометрије и алгебре.^[79]

У 12. веку, Шараф ал-Дин ал-Туси (1135–1213) написао је Al-Mu'adalat (Расправа о једначинама), која се бавила са осам типова кубних једначина са позитивним решењима и пет типова кубних једначина које можда немају позитивна решења. Користио је оно што ће касније бити познато као „Руфини-[Хорнеров метод|Хорнеров] метод“ за нумеричко апроксимирање корена кубне једначине. Такође је развио концепте максимума и минимума кривих како би решио кубне једначине које можда немају позитивна решења.^[80] Разумео је важност дискриминанте кубне једначине и користио је рану верзију Карданове формуле^[81] за проналажење алгебарских решења одређених типова кубних једначина. Неки научници, попут Рошдија Рашеда, тврде да је Шараф ал-Дин открио извод кубних полинома и схватио његов значај, док други научници повезују његово решење са идејама Еуклида и Архимеда.^[82]

Шараф ал-Дин је такође развио концепт функције.^[83] У својој анализи једначине $x^{3} + d = b x^{2}$ на пример, он почиње променом облика једначине у $x^{2} (b - x) = d$ . Затим наводи да питање да ли једначина има решење зависи од тога да ли „функција“ на левој страни достиже вредност $d$ . Да би ово утврдио, он проналази максималну вредност функције. Доказује да се максимална вредност јавља када $x = \frac{2 b}{3}$ , што даје вредност функције $\frac{4 b^{3}}{27}$ . Шараф ал-Дин затим наводи да ако је ова вредност мања од $d$ , нема позитивних решења; ако је једнака $d$ , онда постоји једно решење у $x = \frac{2 b}{3}$ ; а ако је већа од $d$ , онда постоје два решења, једно између $0$ и $\frac{2 b}{3}$ и једно између $\frac{2 b}{3}$ и $b$ .^[84]Шаблон:Rp

Почетком 15. века, Џамшид ал-Каши је развио рани облик Њутновог метода за нумеричко решавање једначине $x^{P} - N = 0$ да би пронашао корене из $N$ .^[85] Ал-Каши је такође развио децималне разломке и тврдио је да их је сам открио. Међутим, Џ. Ленарт Бергрен примећује да је био у заблуди, јер су децималне разломке први пут користили пет векова пре њега математичар из Багдада Абу'л-Хасан ал-Уклидиси још у 10. веку.^[76]

Ал-Хасар, Ибн ал-Бана и ал-Каласади

Ал-Хасар, математичар из Марока специјализован за исламско наследно право током 12. века, развио је модерну симболичку математичку нотацију за разломке, где су бројилац и именилац раздвојени хоризонталном цртом. Ова иста нотација за разломке појавила се убрзо затим у делу Фибоначија у 13. веку.^[86]

Ебул Хасан ибн Али ел-Каласади (1412–1486) био је последњи велики средњовековни арапски алгебриста, који је направио први покушај стварања алгебарске нотације још од Ибн ал-Бане два века раније, који је и сам био први који је направио такав покушај још од Диофанта и Брамагупте у античко доба.^[87] Синкопиране нотације његових претходника, међутим, недостајали су симболи за математичке операције.^[42] Ал-Каласади је "направио прве кораке ка увођењу алгебарске симболике користећи слова уместо бројева"^[87] и "користећи кратке арапске речи, или само њихова почетна слова, као математичке симболе."^[87]

Европа и медитерански регион

Теон из Александрије и његова кћи Хипатија били су последњи активни математичари у Александрији у Касној антици, а смрт Боетија означава крај математике у Западном римском царству. Иако је било неког рада у Атини, он се завршио када је 529. године византијски цар Јустинијан затворио паганске филозофске школе. Година 529. се сада узима за почетак средњег века. Учењаци су бежали са Запада ка гостољубивијем Истоку, посебно ка Персији, где су нашли уточиште код краља Хозроја и основали оно што би се могло назвати "Атинском академијом у егзилу".^[88] Према уговору са Јустинијаном, Хозроје ће на крају вратити учењаке у Источно царство. Током Мрачног доба, европска математика је била на најнижој тачки, а математичко истраживање се углавном састојало од коментара на античке расправе; и већина овог истраживања била је усредсређена на Византијско царство. Крај средњег века се поставља као пад Цариграда под Турке 1453. године.

Касни средњи век

Италијански математичар Фибоначи увео је идеје и технике ал-Хорезмија у Европу у својим делима, пре свега у Књизи о абаку.^[89] Године 1545, италијански полимат Ђироламо Кардано објавио је своју књигу Арс Магна, која је покривала многе теме из алгебре, расправљала о имагинарним бројевима, и прва представила опште методе за решавање кубних и квартних једначина.^[90]

Како је исламски свет опадао после 15. века, европски свет се уздизао. И управо овде се алгебра даље развијала.

Симболичка алгебра

Модерна нотација за аритметичке операције уведена је између краја 15. и почетка 16. века од стране Јоханеса Видмана и Михаела Штифела. Крајем 16. века, Франсоа Вијет је увео симболе, сада зване променљиве, за представљање неодређених или непознатих бројева. Ово је створило нову алгебру која се састојала од рачунања са симболичким изразима као да су бројеви.^[91]^[92]

Још један кључни догађај у даљем развоју алгебре било је опште алгебарско решење кубне и квартне једначине, развијено средином 16. века. Идеју детерминанте развио је јапански математичар Кова Секи у 17. веку, а затим Готфрид Лајбниц десет година касније, у сврху решавања система симултаних линеарних једначина користећи матрице. Габријел Крамер је такође радио на матрицама и детерминантама у 18. веку.^[93]

Симбол x

По традицији, прва непозната променљива у алгебарском проблему данас се представља симболом $𝑥$ , а ако постоје друга или трећа непозната, онда се оне означавају са $𝑦$ и $𝑧$ респективно. Алгебарско $x$ се конвенционално штампа курзивом да би се разликовало од знака за множење.

Математички историчари^[94] се углавном слажу да је употребу $x$ у алгебри увео Рене Декарт и да је први пут објављена у његовој расправи La Géométrie (1637).^[95]^[96] У том делу, он је користио слова са почетка абецеде $(a, b, c, \dots)$ за познате величине, а слова са краја абецеде $(z, y, x, \dots)$ за непознате.^[97] Претпоставља се да се касније определио за $x$ (уместо $z$ ) за прву непознату због његове релативно веће заступљености у француским и латинским типографским фонтовима тог времена.^[98]

Три алтернативне теорије о пореклу алгебарског $x$ предложене су у 19. веку: (1) симбол који су користили немачки алгебристи и за који се мислило да је изведен из курзивног слова $r,$ погрешно замењеног за $x$ ;^[99] (2) цифра 1 са косим прецртавањем;^[100] и (3) арапски/шпански извор (види доле). Али швајцарско-амерички историчар математике Флоријан Кажори је испитао ове и нашао да све три немају конкретне доказе; Кажори је приписао Декарту заслуге за оригиналност, и описао његове $x, y,$ и $z$ као "ослобођене традиције[,] и њихов избор чисто произвољан."^[101]

Ипак, хипано-арапска хипотеза и даље има присуство у популарној култури данас.^[102] Она тврди да је алгебарско $x$ скраћеница од наводне позајмљенице из арапског у старом шпанском. Теорија је настала 1884. године код немачког оријенталисте Паула де Лагарда, убрзо након што је објавио своје издање шпанско/арапског двојезичног речника из 1505.^[103] у коме је шпанска реч Шаблон:Lang ("ствар") била упарена са својим арапским еквивалентом, Шаблон:Lang (shay^ʔ), транскрибованим као xei. (Звук "sh" у старом шпанском се рутински писао $x .$ ) Очигледно је Лагард био свестан да су арапски математичари, у "реторичкој" фази развоја алгебре, често користили ту реч за представљање непознате величине. Претпоставио је да "ништа не може бити природније" ("Nichts war also natürlicher...") него да почетно слово арапске речи—романизовано као старошпанско $x$ —буде усвојено за употребу у алгебри.^[104] Каснији читалац је реинтерпретирао Лагардову претпоставку као да је "доказала" ту тачку.^[105] Лагард није био свестан да су рани шпански математичари користили, не транскрипцију арапске речи, већ пре њен превод на сопствени језик, "cosa".^[106] Нема примера облика xei или сличних у неколико компилираних историјских речника шпанског.^[107]^[108]

Готфрид Лајбниц

Иако је математички појам функције био имплицитно присутан у тригонометријским и логаритамским таблицама, које су постојале у његово време, Готфрид Лајбниц је био први, 1692. и 1694. године, који га је експлицитно употребио, да означи било који од неколико геометријских концепата изведених из криве, као што су апсциса, ордината, тангента, тетива и нормала.^[109] У 18. веку, "функција" је изгубила ове геометријске асоцијације.

Лајбниц је схватио да се коефицијенти система линеарних једначина могу распоредити у низ, који се сада зове матрица, којим се може манипулисати да би се пронашло решење система, ако постоји. Ова метода је касније названа Гаусова елиминација. Лајбниц је такође открио Булову алгебру и симболичку логику, такође релевантне за алгебру.

Модерно доба

Током 17. и 18. века, чињени су бројни покушаји да се пронађу општа решења за полиноме петог и вишег степена, али су се сви показали неуспешним.^[110] Крајем 18. века, немачки математичар Карл Фридрих Гаус доказао је основну теорему алгебре, која описује постојање нула полинома било ког степена без пружања општег решења.^[111] Почетком 19. века, италијански математичар Паоло Руфини и норвешки математичар Нилс Хенрик Абел успели су да покажу да не постоји опште решење за полиноме петог и вишег степена.^[110] Као одговор на и убрзо након њихових налаза, француски математичар Еварист Галоа развио је оно што је касније постало познато као Галоаова теорија, која је понудила дубљу анализу решења полинома истовремено постављајући темеље теорије група.^[112]

Почев од средине 19. века, интересовање за алгебру се померило са проучавања полинома повезаних са елементарном алгебром ка општијем истраживању алгебарских структура, означавајући појаву апстрактне алгебре. Овај приступ је истраживао аксиоматску основу произвољних алгебарских операција.^[113] Проналазак нових алгебарских система заснованих на различитим операцијама и елементима пратио је овај развој, као што су Булова алгебра, векторска алгебра и матрична алгебра.^[114] Утицајне ране развоје у апстрактној алгебри направили су немачки математичари Давид Хилберт, Ернст Штајниц и Еми Нетер, као и аустријски математичар Емил Артин. Они су истраживали различите облике алгебарских структура и категорисали их на основу њихових основних аксиома у типове, као што су групе, прстени и поља.^[115]

Идеја о још општијем приступу повезаном са универзалном алгебром зачета је од стране енглеског математичара Алфреда Норта Вајтхеда у његовој књизи A Treatise on Universal Algebra из 1898. године. Почев од 1930-их, амерички математичар Гарет Биркоф проширио је ове идеје и развио многе од основних концепата овог поља.^[116] Проналазак универзалне алгебре довео је до појаве разних нових области усмерених на алгебризацију математикеШаблон:Em dashто јест, примену алгебарских метода на друге гране математике. Тополошка алгебра настала је почетком 20. века, проучавајући алгебарске структуре као што су тополошке групе и Лијеве групе.^[117] Током 1940-их и 50-их, појавила се хомолошка алгебра, која користи алгебарске технике за проучавање хомологије.^[118] Отприлике у исто време, развијена је теорија категорија и од тада игра кључну улогу у основама математике.^[119] Други развоји били су формулација теорије модела и проучавање слободних алгебри.^[120]

Отац алгебре

Титула "оца алгебре" често се приписује персијском математичару Ал-Хорезмију,^[121]^[122]^[123] уз подршку историчара математике, као што су Карл Бенџамин Бојер,^[121] Соломон Гандз и Бартел Лендерт ван дер Варден.^[124] Међутим, та тачка је спорна и титула се понекад приписује хеленистичком математичару Диофанту.^[121]^[125] Они који подржавају Диофанта указују на то да је алгебра пронађена у делу Al-Jabr више елементарна од алгебре пронађене у Аритметици, и да је Аритметика синкопирана док је Al-Jabr потпуно реторички.^[121] Међутим, историчар математике Курт Фогел аргументује против тога да Диофант носи ову титулу,^[126] јер његова математика није била много алгебарскија од оне старих Вавилонаца.^[127]

Они који подржавају Ал-Хорезмија указују на чињеницу да је дао исцрпно објашњење за алгебарско решење квадратних једначина са позитивним коренима,^[128] и да је био први који је предавао алгебру у елементарном облику и ради ње саме, док се Диофант првенствено бавио теоријом бројева.^[56] Ал-Хорезми је такође увео основни концепт „свођења“ и „уравнотежења“ (за који је изворно користио термин ал-џабр), који се односи на преношење одузетих чланова на другу страну једначине, односно на поништавање сличних чланова на супротним странама једначине.^[65] Други заговорници Ал-Хорезмија указују на то да се његова алгебра више не бави "низом проблема које треба решити, већ излагањем које почиње са примитивним терминима у којима комбинације морају дати све могуће прототипове за једначине, које одсада експлицитно чине прави предмет проучавања." Они такође указују на његово третирање једначине ради ње саме и "на генерички начин, утолико што се она не јавља једноставно у току решавања проблема, већ је посебно позвана да дефинише бесконачну класу проблема".^[129] Виктор Џ. Кац сматра Al-Jabr првим правим алгебарским текстом који је још увек сачуван.^[130]

Према Џефрију Оуксу и Жану Кристијанидису, ни Диофанта ни Ал-Хорезмија не треба називати "оцем алгебре".^[131]^[132] Предмодерну алгебру су развили и користили трговци и геодете као део онога што је Јенс Хојруп назвао "субнаучном" традицијом. Диофант је користио овај метод алгебре у својој књизи, посебно за неодређене проблеме, док је Ал-Хорезми написао једну од првих књига на арапском о овој методи.^[37]

Види још

Шаблон:Портал

Референце

Шаблон:Референце

Литература

Шаблон:Литература

Шаблон:Литература крај

Спољашње везе

Шаблон:Wikiquote

"Commentary by Islam's Sheikh Zakariyya al-Ansari on Ibn al-Hā’im's Poem on the Science of Algebra and Balancing Called the Creator's Epiphany in Explaining the Cogent" Шаблон:Wayback featuring the basic concepts of algebra dating back to the 15th century, from the World Digital Library.

Шаблон:Алгебра Шаблон:Историја науке Шаблон:Историја математике Шаблон:Подножје

↑ Шаблон:Harvcoltxt
↑ Шаблон:Cite journal
↑ Шаблон:Harv "Речено је да се у историјском развоју алгебре могу препознати три фазе: (1) реторичка или рана фаза, у којој је све у потпуности исписано речима; (2) синкопирана или средња фаза, у којој су усвојене неке скраћенице; и (3) симболичка или завршна фаза. Таква произвољна подела развоја алгебре на три фазе је, наравно, површно поједностављење; али може ефикасно послужити као прва апроксимација онога што се догодило"
↑ Шаблон:Harv "Све до модерних времена није се размишљало о решавању квадратне једначине облика $x^{2} + p x + q = 0$ , где су $p$ и $q$ позитивни, јер једначина нема позитиван корен. Стога су квадратне једначине у античко и средњовековно доба—па чак и у раном модерном периоду—биле класификоване у три типа: (1) $x^{2} + p x = q$ (2) $x^{2} = p x + q$ (3) $x^{2} + q = p x$ "
↑ Шаблон:Citation
↑ Шаблон:Cite book
↑ ^7,0 ^7,1 ^7,2 ^7,3 ^7,4 Шаблон:Harv "Вавилонски математичари нису оклевали да интерполирају пропорционалним деловима како би апроксимирали међувредности. Чини се да је линеарна интерполација била уобичајена процедура у древној Месопотамији, а позициона нотација се згодно уклапала у правило тројно. [...] табела неопходна у вавилонској алгебри; ова тема је достигла знатно виши ниво у Месопотамији него у Египту. Многи проблемски текстови из старовавилонског периода показују да решавање потпуне трочлане квадратне једначине Вавилонцима није представљало озбиљне потешкоће, јер су развијене флексибилне алгебарске операције. Могли су да преносе чланове у једначинама додавањем једнаких једнаким, и могли су да множе обе стране сличним величинама да би уклонили разломке или елиминисали факторе. Додавањем $4 a b$ на $(a - b)^{2}$ могли су да добију $(a + b)^{2}$ јер су били упознати са многим једноставним облицима растављања на факторе. [...] Египатска алгебра се углавном бавила линеарним једначинама, али Вавилонци су очигледно сматрали да су ове сувише елементарне да би им посветили много пажње. [...] У другом проблему у једном старовавилонском тексту налазимо две симултане линеарне једначине са две непознате величине, назване 'први сребрни прстен' и 'други сребрни прстен'."
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Harv "Чини се да је решавање трочлане квадратне једначине далеко превазилазило алгебарске могућности Египћана, али Нојгебауер је 1930. открио да су Вавилонци ефикасно решавали такве једначине у неким од најстаријих проблемских текстова."
↑ ^10,0 ^10,1 Шаблон:Harv "У Египту нема записа о решавању кубних једначина, али међу Вавилонцима постоје многи примери тога. [...] Није познато да ли су Вавилонци били у стању да сведу општи четворочлани кубни облик, ax³ + bx² + cx = d, на своју нормалну форму."
↑ Шаблон:Harv "Купљен је 1959. у летовалишту на Нилу од стране шкотског антиквара, Хенрија Рајнда; стога је често познат као Рајндов папирус или, ређе, као Ахмесов папирус у част писара чијом је руком преписана око 1650. п. н. е. Писар нам каже да материјал потиче од прототипа из Средњег краљевства од око 2000. до 1800. п. н. е."
↑ Шаблон:Harv "Велики део наших информација о египатској математици потиче из Рајндовог или Ахмесовог папируса, најобимнијег математичког документа из древног Египта; али постоје и други извори."
↑ ^13,0 ^13,1 Шаблон:Harv "До сада описани египатски проблеми најбоље се могу класификовати као аритметички, али постоје и други који спадају у класу којој је израз алгебарски прикладно примењен. Они се не тичу конкретних објеката као што су хлеб и пиво, нити захтевају операције над познатим бројевима. Уместо тога, захтевају еквивалент решења линеарних једначина облика $x + a x = b$ или $x + a x + b x = c$ , где су a, b и c познати, а x је непознато. Непознато се назива 'aha', или гомила. [...] Решење које даје Ахмес није оно из модерних уџбеника, већ једно предложено карактеристично за процедуру сада познату као 'метод лажне позиције', или 'правило лажног'. Конкретна лажна вредност предложена од стране научника из 1920-их и назначене операције на левој страни знака једнакости изводе се над овим претпостављеним бројем. Савремена истраживања показују да писари нису нагађали у овим ситуацијама. Тачни одговори рационалних бројева записани у серијама египатских разломака збунили су научнике из 1920-их. Потврђени резултат показује да је Ахмес 'проверио' резултат показујући да 16 + 1/2 + 1/8 тачно додато на седмину овога (што је 2 + 1/4 + 1/8), заиста даје 19. Овде видимо још један значајан корак у развоју математике, јер је провера једноставан пример доказа."
↑ Шаблон:Cite web
↑ ^15,0 ^15,1 ^15,2 ^15,3 ^15,4 Шаблон:Harv "Књига II Елемената је кратка, садржи само четрнаест пропозиција, од којих ниједна не игра никакву улогу у модерним уџбеницима; ипак, у Еуклидово доба ова књига је била од великог значаја. Ова оштра разлика између античких и модерних погледа лако се објашњава—данас имамо симболичку алгебру и тригонометрију које су замениле геометријске еквиваленте из Грчке. На пример, Пропозиција 1 Књиге II каже: 'Ако постоје две праве линије, и једна од њих је пресечена на било који број сегмената, правоугаоник обухваћен двема правим линијама једнак је правоугаоницима обухваћеним непресеченом правом линијом и сваким од сегмената.' Ова теорема, која тврди (Сл. 7.5) да AD (AP + PR + RB) = AD·AP + AD·PR + AD·RB, није ништа друго до геометријски исказ једног од основних закона аритметике данас познатог као дистрибутивни закон: $a (b + c + d) = a b + a c + a d .$ У каснијим књигама Елемената (V и VII) налазимо демонстрације комутативних и асоцијативних закона за множење. Док у наше време величине представљамо словима која се схватају као бројеви (познати или непознати) над којима оперишемо алгоритмима алгебре, у Еуклидово доба величине су приказиване као линијски сегменти који задовољавају аксиоме и теореме геометрије. Понекад се тврди да Грци нису имали алгебру, али то је очигледно нетачно. Имали су Књигу II Елемената, која је геометријска алгебра и служила је у великој мери истој сврси као и наша симболичка алгебра. Нема сумње да модерна алгебра у великој мери олакшава манипулацију односима међу величинама. Али несумњиво је такође тачно да је грчки геометар упућен у четрнаест теорема Еуклидове 'алгебре' био далеко вештији у примени ових теорема на практично мерење него што је то данашњи искусни геометар. Древна геометријска 'алгебра' није била идеално оруђе, али је била далеко од неефикасне. Еуклидова изјава (Пропозиција 4), 'Ако се права линија пресече насумично, квадрат над целом линијом једнак је квадратима над сегментима и двоструком правоугаонику обухваћеном сегментима', је опширан начин да се каже да $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ,"
↑ ^16,0 ^16,1 ^16,2 Шаблон:Harv "Без обзира да ли је дедукција ушла у математику у шестом веку пре н.е. или у четвртом, и да ли је несамерљивост откривена пре или после 400. п. н. е., нема сумње да је грчка математика претрпела драстичне промене до Платоновог времена. [...] 'Геометријска алгебра' је морала да заузме место старије 'аритметичке алгебре', и у овој новој алгебри није могло бити додавања линија површинама или површина запреминама. Од сада је морала постојати строга хомогеност чланова у једначинама, а месопотамска нормална форма, $x y = A, x \pm y = b,$ = b, требало је интерпретирати геометријски. [...] На овај начин су Грци изградили решавање квадратних једначина својим процесом познатим као 'примена површина', делом геометријске алгебре који је у потпуности покривен Еуклидовим Елементима. [...] Линеарна једначина $a x = b c,$ , на пример, посматрана је као једнакост површина $a x$ и $b c,$ а не као пропорција—једнакост између два односа $a : b$ и $c : x .$ . Према томе, у конструисању четврте пропорционале $x$ у овом случају, било је уобичајено конструисати правоугаоник OCDB са страницама b = OB и c = OC (Сл. 5.9) и затим дуж OC нанети OA = a. Доврши се правоугаоник OCDB и повуче дијагонала OE која сече CD у P. Сада је јасно да је CP тражена линија $x,$ јер је правоугаоник OARS по површини једнак правоугаонику OCDB"
↑ ^17,0 ^17,1 ^17,2 Шаблон:Harv "У аритметичким теоремама у Еуклидовим Елементима VII–IX, бројеви су били представљени линијским сегментима за које су била везана слова, а геометријски докази у Ел-Хорезмијевој Алгебри користили су словне дијаграме; али сви коефицијенти у једначинама коришћеним у Алгебри су специфични бројеви, било представљени нумералима или исписани речима. Идеја општости је имплицирана у Ел-Хорезмијевом излагању, али он није имао схему за алгебарско изражавање општих пропозиција које су тако лако доступне у геометрији."
↑ ^18,0 ^18,1 ^18,2 Шаблон:Harv Тимарид са Пароса, древни питагорејац већ поменут (стр. 69), био је аутор правила за решавање одређеног скупа од $n$ симултаних простих једначина које повезују $n$ непознатих величина. Правило је очигледно било добро познато, јер је називано посебним именом [...] 'цвет' или 'блум' Тимарида. [...] Правило је веома нејасно формулисано, али у суштини каже да, ако имамо следећих $n$ једначина које повезују $n$ непознатих величина $x, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n - 1},$ наиме [...] Јамблих, наш извор информација о овој теми, даље показује да се други типови једначина могу свести на овај, тако да правило 'не оставља нас на цедилу' ни у тим случајевима."
↑ Шаблон:Harv "За Тимарида (четврти век) се каже да је имао ово правило за решавање одређеног скупа од $n$ линеарних једначина са $n$ непознатих:
Ако је дат збир $n$ величина, и такође збир сваког пара који садржи одређену величину, онда је та одређена величина једнака $1 / (n - 2)$ разлике између збирова ових парова и првог датог збира."
↑ ^20,0 ^20,1 ^20,2 Шаблон:Harv "али до 306. п. н. е. контрола над египатским делом царства била је чврсто у рукама Птолемеја I, и овај просвећени владар могао је да усмери пажњу на конструктивне напоре. Међу његовим раним актима било је оснивање у Александрији школе или института, познатог као Музеј, без премца у то доба. Као предаваче у школи позвао је групу водећих научника, међу којима је био и аутор најфеноменалније успешнијег уџбеника математике икада написаног—Елемената (Stoichia) Еуклида. С обзиром на славу аутора и његовог бестселера, изненађујуће мало се зна о Еуклидовом животу. Његов живот је био толико нејасан да се ниједно место рођења не повезује са његовим именом."
↑ Шаблон:Harv "Прича испричана горе у вези са захтевом Александра Великог за лаким уводом у геометрију понавља се у случају Птолемеја, за кога се извештава да га је Еуклид уверио да 'не постоји краљевски пут до геометрије'."
↑ Шаблон:Harv "Неки од факултета су се вероватно истицали у истраживању, други су били прикладнији да буду администратори, а трећи су били познати по способности подучавања. Чини се, из извештаја које имамо, да је Еуклид дефинитивно припадао овој последњој категорији. Њему се не приписује ниједно ново откриће, али је био познат по вештинама излагања."
↑ Шаблон:Harv "Елементи нису били, како се понекад мисли, компендијум свег геометријског знања; уместо тога, то је био уџбеник који покрива сву елементарну математику."
↑ Шаблон:Harv "Исто важи и за Елементе II.5, који садрже оно што бисмо сматрали непрактичним обилажењем за $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ "
↑ Шаблон:Harv "На потпуно аналоган начин квадратна једначина $a x + x^{2} = b^{2}$ се решава коришћењем II.6: Ако је права линија преполовљена и права линија јој је додата у истој правој, правоугаоник обухваћен целом (са додатом правом линијом) и додатом правом линијом заједно са квадратом над половином једнак је квадрату над правом линијом састављеном од половине и додате праве линије. [...] при чему је II.11 важан специјални случај II.6. Овде Еуклид решава једначину $a x + x^{2} = a^{2}$ "
↑ ^26,0 ^26,1 ^26,2 Шаблон:Harv "Еуклидови Подаци, дело које је дошло до нас преко грчког и арапског. Чини се да је састављено за употребу у школама у Александрији, служећи као пратећи том првих шест књига Елемената на сличан начин на који приручник са табелама допуњује уџбеник. [...] Почиње са петнаест дефиниција које се тичу величина и геометријских места. Тело текста садржи деведесет пет изјава о импликацијама услова и величина које могу бити дате у проблему. [...] Постоји око двадесет сличних изјава које служе као алгебарска правила или формуле. [...] Неке од изјава су геометријски еквиваленти решења квадратних једначина. На пример[...] Елиминишући $y$ имамо $(a - x) d x = b^{2} c$ или $d x^{2} - a d x + b^{2} c = 0,$ из чега $x = \frac{a}{2} \pm \sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2} - b^{2} (\frac{c}{d})} .$ Геометријско решење које даје Еуклид је еквивалентно овоме, осим што се користи негативан знак испред радикала. Изјаве 84 и 85 у Подацима су геометријске замене за позната вавилонска алгебарска решења система $x y = a^{2}, x \pm y = b,$ што су опет еквиваленти решења симултаних једначина."
↑ Шаблон:Harv "Еутоције и Прокло обојица приписују откриће конусних пресека Менехму, који је живео у Атини крајем четвртог века пре н.е. Прокло, цитирајући Ератостена, помиње 'Менехмове тријаде конусних пресека'. Пошто овај цитат долази одмах након расправе о 'пресеку правоуглог конуса' и 'пресеку оштроуглог конуса', закључује се да су конусни пресеци настали пресецањем конуса равни која је нормална на једну од његових изводница. Затим, ако је угао при врху конуса оштар, резултујући пресек (назван oxytome) је елипса. Ако је угао прав, пресек (orthotome) је парабола, а ако је угао туп, пресек (amblytome) је хипербола (види Сл. 5.7)."
↑ ^28,0 ^28,1 Шаблон:Harv "Ако су OP = y и OD = x координате тачке P, имамо $y^{2} = R$ ).OV, или, заменом једнаких,
y² = R'D.OV = AR'.BC/AB.DO.BC/AB = AR'.BC²/AB².x
Пошто су сегменти AR', BC и AB исти за све тачке P на кривој EQDPG, можемо написати једначину криве, 'пресек правоуглог конуса', као $y^{2} = l x,$ где је $l$ константа, касније позната као latus rectum криве. [...] Менехмо је очигледно извео ове особине конусних пресека, као и друге. Пошто овај материјал има јаку сличност са употребом координата, као што је горе илустровано, понекад се тврдило да је Менехмо имао аналитичку геометрију. Таква процена је само делимично оправдана, јер Менехмо свакако није био свестан да свака једначина са две непознате величине одређује криву. У ствари, општи концепт једначине са непознатим величинама био је стран грчкој мисли. [...] Наишао је на конике у успешној потрази за кривама са особинама погодним за удвостручавање коцке. У терминима модерне нотације, решење се лако постиже. Померањем пресечне равни (Сл. 6.2), можемо пронаћи параболу са било којим latus rectum-ом. Ако, дакле, желимо да удвостручимо коцку ивице $a,$ лоцирамо на правоуглом конусу две параболе, једну са latus rectum-ом $a$ и другу са latus rectum-ом $2 a .$ [...] Вероватно је да је Менехмо знао да се удвостручавање може постићи и употребом правоугаоне хиперболе и параболе."
↑ ^29,0 ^29,1 Шаблон:Harv "процене у вези са Чоу Пеи Суан Ђинг, које се генерално сматра најстаријим од математичких класика, разликују се за скоро хиљаду година. [...] Датум око 300. п. н. е. изгледа разуман, стављајући га тако у блиску конкуренцију са другом расправом, Ђиу-џанг суан-шу, састављеном око 250. п. н. е., то јест, непосредно пре династије Хан (202. п. н. е.). [...] Готово једнако стар као Чоу Пеи, и можда најутицајнија од свих кинеских математичких књига, био је Чуи-чанг суан-шу, или Девет поглавља о математичкој вештини. Ова књига укључује 246 проблема о геодетском премеру, пољопривреди, орташтву, инжењерству, опорезивању, рачунању, решавању једначина и особинама правоуглих троуглова. [...] Осмо поглавље Девет поглавља је значајно по решавању проблема симултаних линеарних једначина, користећи и позитивне и негативне бројеве. Последњи проблем у поглављу укључује четири једначине са пет непознатих, а тема неодређених једначина остаће омиљена међу источним народима."
↑ ^30,0 ^30,1 Шаблон:Harv "Ли Чи (или Ли Јех, 1192–1279), математичар из Пекинга коме је Кублај-кан понудио владин положај 1206, али је учтиво нашао изговор да га одбије. Његов Це-јуан хаи-ђинг (Морско огледало мерења круга) укључује 170 проблема који се баве[...]неки од проблема воде до једначина четвртог степена. Иако није описао свој метод решавања једначина, укључујући неке шестог степена, чини се да се није много разликовао од оног који су користили Чу Ши-ђие и Хорнер. Други који су користили Хорнеров метод били су Чин Ђиу-шао (око 1202 – око 1261) и Јанг Хуи (деловао око 1261 – 1275). Први је био бескрупулозни гувернер и министар који је стекао огромно богатство у року од сто дана од преузимања дужности. Његов Шу-шу ђиу-џанг (Математичка расправа у девет поглавља) означава врхунац кинеске неодређене анализе, са проналаском рутина за решавање симултаних конгруенција."
↑ ^31,0 ^31,1 Шаблон:Harv "Кинези су посебно волели обрасце; стога, није изненађујуће што се тамо појавио први запис (древног али непознатог порекла) магичног квадрата. [...] Забринутост за такве обрасце навела је аутора Девет поглавља да реши систем симултаних линеарних једначина [...] извођењем операција над колонама на матрици [...] да би је свео на [...] Други облик је представљао једначине $36 z = 99, 5 y + z = 24,$ = 24, и $3 x + 2 y + z = 39$ из којих се вредности $z, y,$ и $x$ лако налазе редом."
↑ Шаблон:Harv "Исту 'Хорнерову' направу користио је Јанг Хуи, о чијем животу се не зна готово ништа и чији су радови само делимично преживели. Међу његовим сачуваним доприносима су најранији кинески магични квадрати реда већег од три, укључујући два сваког реда од четири до осам и по један реда девет и десет."
↑ Шаблон:Harv "Последњи и највећи од математичара из династије Сунг био је Чу Чи-ђие (fl. 1280–1303), ипак мало знамо о њему-, [...] Од већег историјског и математичког интереса је Си-јуан ју-ђиен (Драгоцено огледало четири елемента) из 1303. У осамнаестом веку и ово је нестало у Кини, да би било поново откривено у следећем веку. Четири елемента, названа небо, земља, човек и материја, представљају четири непознате величине у истој једначини. Књига означава врхунац у развоју кинеске алгебре, јер се бави симултаним једначинама и једначинама степена чак до четрнаест. У њој аутор описује метод трансформације који назива фан фа, чији су елементи настали много раније у Кини, али који генерално носи име Хорнера, који је живео пола миленијума касније."
↑ ^34,0 ^34,1 Шаблон:Harv "Неколико од многих сумација редова пронађених у Драгоценом огледалу су следеће:[...] Међутим, нису дати докази, нити се чини да је тема поново настављена у Кини све до отприлике деветнаестог века. [...] Драгоцено огледало почиње дијаграмом аритметичког троугла, непримерено познатим на Западу као 'Паскалов троугао'. (Види илустрацију.) [...] Чу се одриче заслуга за троугао, називајући га 'дијаграмом старе методе за проналажење осмих и нижих степена'. Сличан распоред коефицијената до шестог степена појавио се у раду Јанг Хуија, али без округлог симбола за нулу."
↑ Шаблон:Harv Неизвесност о животу Диофанта је толика да не знамо сигурно у ком веку је живео. Генерално се претпоставља да је стварао око 250. н.е., али се понекад предлажу датуми век или више раније или касније[...] Ако је ова загонетка историјски тачна, Диофант је доживео осамдесет четири године. [...] Главно Диофантово дело које нам је познато је Аритметика, расправа изворно у тринаест књига, од којих је само првих шест сачувано."
↑ Шаблон:Cite book
↑ ^37,0 ^37,1 ^37,2 Шаблон:Cite journal
↑ Шаблон:Cite journal
↑ Шаблон:Cite book
↑ Шаблон:Cite book
↑ Шаблон:Harv "У овом погледу може се упоредити са великим класицима ранијег Александријског доба; ипак, практично нема ништа заједничко са овима или, у ствари, са било којом традиционалном грчком математиком. Она представља суштински нову грану и користи другачији приступ. Будући да је одвојена од геометријских метода, у великој мери подсећа на вавилонску алгебру. Али док су се вавилонски математичари првенствено бавили приближним решењима одређених једначина до трећег степена, Аритметика Диофантова (онаква какву је имамо) готово је у потпуности посвећена тачном решавању једначина, како одређених тако и неодређених. [...] Кроз шест сачуваних књига Аритметике постоји систематска употреба скраћеница за степене бројева и за релације и операције. Непознати број је представљен симболом који личи на грчко слово ζ (можда за последње слово речи arithmos). [...] Уместо тога, то је збирка од око 150 проблема, сви разрађени у терминима специфичних нумеричких примера, иако је можда намеравана општост методе. Нема постулационог развоја, нити се улаже напор да се пронађу сва могућа решења. У случају квадратних једначина са два позитивна корена, даје се само већи, а негативни корени се не препознају. Не прави се јасна разлика између одређених и неодређених проблема, па чак и за ове последње, за које је број решења генерално неограничен, даје се само један одговор. Диофант је решавао проблеме који укључују неколико непознатих бројева вешто изражавајући све непознате величине, где је то могуће, само помоћу једне од њих."
↑ ^42,0 ^42,1 Шаблон:Harv "Главна разлика између Диофантове синкопе и модерне алгебарске нотације је недостатак посебних симбола за операције и релације, као и експоненцијалне нотације."
↑ ^43,0 ^43,1 ^43,2 Шаблон:Harv
↑ Шаблон:Harv
↑ Шаблон:Cite book
↑ Шаблон:Harv "Књига често користи идентитете [...] који су се појавили код Диофанта и које су Арапи широко користили."
↑ Шаблон:Harv "Најстарији сачувани документи о хиндуистичкој математици су копије дела написаних средином првог миленијума п. н. е., отприлике у време када су живели Талес и Питагора. [...] из шестог века п. н. е."
↑ ^48,0 ^48,1 Шаблон:Harv "Лилавати, као и Виџа-Ганита, садржи бројне проблеме који се баве омиљеним хиндуистичким темама; линеарне и квадратне једначине, како одређене тако и неодређене, једноставна мерења, аритметичке и геометријске прогресије, сурде, Питагорине тријаде и друге."
↑ Шаблон:Harv "Он је дао елегантнија правила за збир квадрата и кубова почетног сегмента позитивних целих бројева. Шести део производа три величине које се састоје од броја чланова, броја чланова плус један, и двоструког броја чланова плус један је збир квадрата. Квадрат збира реда је збир кубова."
↑ Шаблон:Harv "Брамагупта (fl. 628), који је живео у централној Индији нешто више од једног века након Арјабхате [...] у тригонометрији свог најпознатијег дела, Брахмаспхута Сиддханта, [...] овде налазимо општа решења квадратних једначина, укључујући два корена чак и у случајевима када је један од њих негативан."
↑ Шаблон:Harv "Хиндуистичка алгебра је посебно вредна пажње у свом развоју неодређене анализе, којој је Брамагупта дао неколико доприноса. Као прво, у његовом раду налазимо правило за формирање Питагориних тријада изражено у облику $m, 1 / 2 (m^{2} / n - n), 1 / 2 (m^{2} / n + n)$ ; али ово је само модификовани облик старог вавилонског правила, са којим је можда постао упознат."
↑ ^52,0 ^52,1 ^52,2 ^52,3 Шаблон:Harv "он је био први који је дао опште решење линеарне Диофантове једначине $a x + b y = c,$ где су $a, b,$ и $c$ цели бројеви. [...] У велику заслугу Брамагупте иде то што је дао сва целобројна решења линеарне Диофантове једначине, док је сам Диофант био задовољан давањем једног одређеног решења неодређене једначине. Утолико што је Брамагупта користио неке од истих примера као Диофант, поново видимо вероватноћу грчког утицаја у Индији—или могућност да су обојица користила заједнички извор, могуће из Вавилоније. Занимљиво је приметити такође да је алгебра Брамагупте, као и Диофантова, била синкопирана. Сабирање је означавано надовезивањем, одузимање стављањем тачке изнад умањиоца, а дељење стављањем делиоца испод дељеника, као у нашој разломачкој нотацији али без црте. Операције множења и кореновања (вађење корена), као и непознате величине, представљане су скраћеницама одговарајућих речи. [...] Баскара (1114 – око 1185), водећи математичар дванаестог века. Он је био тај који је попунио неке празнине у Брамагуптином раду, дајући опште решење Пелове једначине и разматрајући проблем дељења нулом."
↑ ^53,0 ^53,1 Шаблон:Harv "У обради круга и сфере, Лилавати такође не успева да разликује тачне и приближне исказе. [...] Многи Баскарини проблеми у Лилавати и Виџа-Ганити очигледно су изведени из ранијих хиндуистичких извора; стога, није изненађење приметити да је аутор на свом терену када се бави неодређеном анализом."
↑ ^54,0 ^54,1 ^54,2 Шаблон:Harv "Први век муслиманског царства био је лишен научних достигнућа. Овај период (отприлике од 650. до 750. године) био је, у ствари, можда најнижа тачка у развоју математике, јер Арапи још нису постигли интелектуални замах, а брига за учењем у другим деловима света је избледела. Да није било изненадног културног буђења у исламу током друге половине осмог века, знатно више античке науке и математике било би изгубљено. [...] Током калифата ал-Мамуна (809–833), међутим, Арапи су се у потпуности препустили својој страсти за превођењем. За калифа се каже да је сањао Аристотела, и као последица тога, ал-Мамун је одлучио да набави арапске верзије свих грчких дела до којих је могао доћи, укључујући Птоломејев Алмагест и комплетну верзију Еуклидових Елемената. Из Византијског царства, са којим су Арапи одржавали несигуран мир, грчки рукописи су набављани мировним уговорима. Ал-Мамун је у Багдаду основао 'Кућу мудрости' (Баит ал-хикма) упоредиву са древним Музејом у Александрији. Међу члановима факултета био је математичар и астроном, Мухамед ибн-Муса ал-Хорезми, чије је име, као и Еуклидово, касније постало опште познато у западној Европи. Учењак, који је умро негде пре 850. године, написао је више од пола туцета астрономских и математичких дела, од којих су најранија вероватно била заснована на Синдхаду произашлом из Индије."
↑ ^55,0 ^55,1 Шаблон:Harv "али ал-Хорезмијево дело имало је озбиљан недостатак који је морао бити отклоњен пре него што је могло ефикасно служити својој сврси у модерном свету: требало је развити симболичку нотацију која би заменила реторички облик. Овај корак Арапи никада нису предузели, осим замене бројних речи бројним знаковима. [...] Сабит је био оснивач школе преводилаца, посебно са грчког и сиријског, и њему дугујемо огромну захвалност за преводе на арапски дела Еуклида, Архимеда, Аполонија, Птоломеја и Еутоција."
↑ ^56,0 ^56,1 Gandz and Saloman (1936), The sources of al-Khwarizmi's algebra, Osiris i, pp. 263–277: "У извесном смислу, Хорезми има више права да се назове 'оцем алгебре' него Диофант јер Хорезми први предаје алгебру у елементарном облику и ради ње саме, Диофант се првенствено бави теоријом бројева".
↑ ^57,0 ^57,1 Шаблон:Harv "Ал-Хорезми наставља: 'Рекли смо довољно до сада што се тиче бројева, о шест типова једначина. Сада је, међутим, неопходно да геометријски докажемо истинитост истих проблема које смо објаснили бројевима.' Призвук овог одломка је очигледно грчки, а не вавилонски или индијски. Према томе, постоје три главне школе мишљења о пореклу арапске алгебре: једна наглашава хиндуистички утицај, друга инсистира на месопотамској, или сиријско-персијској традицији, а трећа указује на грчку инспирацију. Истини се вероватно приближавамо ако комбинујемо три теорије."
↑ Шаблон:Harv "ауторов предговор на арапском одавао је претерану хвалу Мухамеду, пророку, и ал-Мамуну, 'Заповеднику верних.'"
↑ Шаблон:Cite book
↑ Boyer, Carl B., 1985. A History of Mathematics, p. 252. Princeton University Press. "Диофант се понекад назива оцем алгебре, али ова титула прикладније припада ал-Хорезмију...", "...Ал-џабр је ближи елементарној алгебри данашњице него дела било Диофанта или Брамагупте..."
↑ S Gandz, The sources of al-Khwarizmi's algebra, Osiris, i (1936), 263–277, "Ал-Хорезмијева алгебра се сматра темељом и каменом темељцем наука. У извесном смислу, ал-Хорезми има више права да се назове 'оцем алгебре' него Диофант јер ал-Хорезми први предаје алгебру у елементарном облику и ради ње саме, Диофант се првенствено бави теоријом бројева."
↑ Шаблон:Cite journal
↑ Шаблон:Cite book
↑ Шаблон:Harv "Арапи су генерално волели добар, јасан аргумент од премисе до закључка, као и систематичну организацију—аспекте у којима ни Диофант ни Хиндуси нису бриљирали."
↑ ^65,0 ^65,1 Шаблон:Harv "Није сасвим сигурно шта тачно изрази al-jabr и muqabalah значе, али уобичајено тумачење је слично ономе које се подразумева у горњем преводу. Реч al-jabr је вероватно значила нешто попут 'обнављање' или 'допуњавање' и чини се да се односи на преношење одузетих чланова на другу страну једначине, што је очигледно у расправи; за реч muqabalah се каже да се односи на 'свођење' или 'уравнотежење'—то јест, поништавање сличних чланова на супротним странама једначине."
↑ ^66,0 ^66,1 Шаблон:Harv "у шест кратких поглавља, о шест типова једначина састављених од три врсте величина: корени, квадрати и бројеви (то јест $x, x^{2},$ и бројеви). Поглавље I, у три кратка пасуса, покрива случај квадрата једнаких коренима, изражено у модерној нотацији као $x^{2} = 5 x, x^{2} / 3 = 4 x,$ и $5 x^{2} = 10 x,$ дајући одговоре $x = 5, x = 12,$ и $x = 2$ респективно. (Корен $x = 0$ није препознат.) Поглавље II покрива случај квадрата једнаких бројевима, а Поглавље III решава случајеве корена једнаких бројевима, поново са три илустрације по поглављу да покрије случајеве у којима је коефицијент уз променљиви члан једнак, већи или мањи од један. Поглавља IV, V и VI су занимљивија, јер покривају редом три класична случаја трочланих квадратних једначина: (1) квадрати и корени једнаки бројевима, (2) квадрати и бројеви једнаки коренима, и (3) корени и бројеви једнаки квадратима."
↑ Шаблон:Harv "Решења су 'куварска' правила за 'допуну до потпуног квадрата' примењена на специфичне случајеве. [...] У сваком случају даје се само позитиван одговор. [...] Поново се даје само један корен јер је други негативан. [...] Шест случајева горе датих једначина исцрпљују све могућности за линеарне и квадратне једначине које имају позитивне корене."
↑ Шаблон:Harv "Ал-Хорезми овде скреће пажњу на чињеницу да оно што ми означавамо као дискриминанта мора бити позитивно: 'Треба такође да разумете да када узмете половину корена у овом облику једначине и затим помножите половину саму са собом; ако оно што произлази или проистиче из множења је мање од горе поменутих јединица које прате квадрат, имате једначину.' [...] Још једном, кораци у допуни до потпуног квадрата су педантно назначени, без оправдања,"
↑ Шаблон:Harv "Алгебра ал-Хорезмија одаје недвосмислене хеленске елементе,"
↑ Шаблон:Harv "Неколико ал-Хорезмијевих проблема даје прилично јасан доказ арапске зависности од вавилонско-херонског тока математике. Један од њих је вероватно директно преузет од Херона, јер су фигура и димензије исте."
↑ ^71,0 ^71,1 Шаблон:Harv "алгебра ал-Хорезмија је потпуно реторичка, без икакве синкопе која се налази у грчкој Аритметици или у Брамагуптином делу. Чак су и бројеви исписивани речима, а не симболима! Мало је вероватно да је ал-Хорезми знао за Диофантово дело, али мора да је био упознат бар са астрономским и рачунским деловима Брамагупте; ипак, ни ал-Хорезми ни други арапски научници нису користили синкопу или негативне бројеве."
↑ ^72,0 ^72,1 ^72,2 ^72,3 Шаблон:Harv "Алгебра ал-Хорезмија се обично сматра првим делом на ту тему, али недавна публикација у Турској поставља нека питања о томе. Рукопис дела 'Абд-ал-Хамида ибн-Турка, под насловом 'Логичке нужности у мешовитим једначинама', био је део књиге о Al-jabr wa'l muqabalah која је очигледно била веома слична оној ал-Хорезмијевој и објављена је отприлике у исто време—можда чак и раније. Сачувана поглавља о 'Логичким нужностима' дају потпуно исти тип геометријске демонстрације као и ал-Хорезмијева Алгебра и у једном случају исти илустративни пример $x^{2} + 21 = 10 x .$ . У једном погледу, 'Абд-ал-Хамадово излагање је темељније од ал-Хорезмијевог јер даје геометријске фигуре да докаже да, ако је дискриминанта негативна, квадратна једначина нема решење. Сличности у делима ове двојице људи и систематска организација која се у њима налази указују на то да алгебра у њихово време није била тако скорашњи развој како се обично претпостављало. Када се уџбеници са конвенционалним и добро уређеним излагањем појаве истовремено, предмет је вероватно знатно изван фазе формирања. [...] Обратите пажњу на изостављање Диофанта и Папоса, аутора који очигледно у почетку нису били познати у Арабији, иако је Диофантова Аритметика постала позната пре краја десетог века."
↑ ^73,0 ^73,1 Шаблон:Harv
↑ Шаблон:MacTutor "Алгебра је била уједињујућа теорија која је дозволила да се рационални бројеви, ирационални бројеви, геометријске величине итд., третирају као 'алгебарски објекти'."
↑ Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 148, in Шаблон:Cite book
↑ ^76,0 ^76,1 Шаблон:Cite book
↑ ^77,0 ^77,1 Шаблон:Harv "Абу'л Вефа је био способан алгебриста колико и тригонометар. [...] Његов наследник ал-Карки је очигледно користио овај превод да постане арапски ученик Диофанта—али без диофантске анализе! [...] Конкретно, ал-Каркију се приписује прво нумеричко решење једначина облика $a x^{2 n} + b x^{n} = c$ (разматране су само једначине са позитивним коренима),"
↑ Шаблон:MacTutor
↑ ^79,0 ^79,1 ^79,2 ^79,3 ^79,4 Шаблон:Harv "Омар Хајам (око 1050 – 1123), 'шаторџија', написао је Алгебру која је ишла даље од ал-Хорезмијеве и укључивала једначине трећег степена. Као и његови арапски претходници, Омар Хајам је дао и аритметичка и геометријска решења за квадратне једначине; за опште кубне једначине, веровао је (погрешно, како је шеснаести век касније показао) да су аритметичка решења немогућа; стога је давао само геометријска решења. Шему коришћења пресечних коника за решавање кубних једначина раније су користили Менехмо, Архимед и Алхазен, али Омар Хајам је направио похвалан корак генерализације методе да покрије све једначине трећег степена (које имају позитивне корене). .. За једначине степена већег од три, Омар Хајам очигледно није предвидео сличне геометријске методе, јер простор не садржи више од три димензије, [...] Један од најплодоноснијих доприноса арапског еклектицизма била је тенденција да се премости јаз између нумеричке и геометријске алгебре. Одлучујући корак у овом правцу дошао је много касније са Декартом, али Омар Хајам се кретао у овом правцу када је написао: 'Ко мисли да је алгебра трик у добијању непознатих, узалуд је мислио. Не треба обраћати пажњу на чињеницу да су алгебра и геометрија различите по изгледу. Алгебре су геометријске чињенице које су доказане.'"
↑ Шаблон:MacTutor
↑ Шаблон:Citation
↑ Шаблон:Cite journal
↑ Шаблон:Cite arXiv
↑ Шаблон:Citation
↑ Шаблон:Cite journal
↑ Шаблон:Cite web
↑ ^87,0 ^87,1 ^87,2 Шаблон:MacTutor Biography
↑ Шаблон:Harv "Смрт Боетија се може узети да означи крај античке математике у Западном римском царству, као што је смрт Хипатије означила крај Александрије као математичког центра; али рад се наставио још неколико година у Атини. [...] Када је 527. Јустинијан постао цар на Истоку, очигледно је осећао да је паганско учење Академије и других филозофских школа у Атини претња православном хришћанству; стога су 529. филозофске школе затворене и учењаци растурени. Рим у то време једва да је био гостољубив дом за учењаке, и Симплиције и неки други филозофи су погледали ка Истоку тражећи уточиште. Нашли су га у Персији, где су под краљем Хозројем основали оно што би се могло назвати 'Атинском академијом у егзилу'.(Sarton 1952; p. 400)."
↑ Шаблон:Multiref
↑ Шаблон:Multiref
↑ Шаблон:Cite book
↑ Шаблон:Cite book
↑ Шаблон:Cite book
↑ Нпр. Шаблон:Harvcoltxt, Шаблон:Harvcoltxt, Шаблон:Harvcoltxt, Шаблон:Harvcoltxt, Шаблон:Harvcoltxt, Шаблон:Harvcoltxt, и Шаблон:Harvcoltxt
↑ Шаблон:Harvcoltxt
↑ Шаблон:Harvcoltxt
↑ Шаблон:Harvcoltxt; Шаблон:Harvcoltxt
↑ Шаблон:Harvcoltxt
↑ Нпр. Шаблон:Harvcoltxt. Али Густаф Енестрем (1905:316–317) је показао да је Декарт, у писму написаном 1619, користио немачки симбол у јасном контрасту према свом $x .$
↑ Прецртану цифру 1 користио је Пјетро Каталди за први степен непознате. Везу између ове конвенције и $x$ Кажори приписује Густаву Вертхајму, али Кажори (1919:699; 1928:382) не налази доказе који би је подржали.
↑ Шаблон:Harvcoltxt
↑ Види, на пример, TED говор Терија Мура, под називом "Why Is 'x' the Unknown?", објављен 2012.
↑ Шаблон:Harvcoltxt
↑ Шаблон:Harvcoltxt.
↑ Шаблон:Harvcoltxt.
↑ Шаблон:Harvcoltxt наводи пет расправа о алгебри објављених на шпанском у шеснаестом веку, од којих све користе "cosa": Шаблон:Harvcoltxt, Шаблон:Harvcoltxt, Шаблон:Harvcoltxt, Шаблон:Harvcoltxt, и Шаблон:Harvcoltxt. Последња два дела такође скраћују cosa као "co."—као и Шаблон:Harvcoltxt.
↑ Облици су одсутни из Шаблон:Harvcoltxt, Шаблон:Harvcoltxt, Шаблон:Harvcoltxt, онлајн дијахронијског корпуса шпанског Шпанске краљевске академије (CORDE), и Дејвисовог Corpus del Español.
↑ Шаблон:Cite web
↑ Struik (1969), 367.
↑ ^110,0 ^110,1 Шаблон:Multiref
↑ Шаблон:Multiref
↑ Шаблон:Multiref
↑ Шаблон:Multiref
↑ Шаблон:Multiref
↑ Шаблон:Multiref
↑ Шаблон:Multiref
↑ Шаблон:Multiref
↑ Шаблон:Multiref
↑ Шаблон:Multiref
↑ Шаблон:Multiref
↑ ^121,0 ^121,1 ^121,2 ^121,3 Шаблон:Harv "Диофант се понекад назива 'оцем алгебре', али ова титула прикладније припада Абу Абдулаху бин мирсми ал-Хорезмију. Истина је да је у два погледа дело ал-Хорезмија представљало назадовање у односу на Диофантово. Прво, на много је елементарнијем нивоу од оног који се налази у Диофантовим проблемима и, друго, алгебра ал-Хорезмија је потпуно реторичка, без икакве синкопе која се налази у грчкој Аритметици или у Брамагуптином делу. Чак су и бројеви били исписивани речима, а не симболима! Мало је вероватно да је ал-Хорезми знао за Диофантово дело, али мора да је био упознат бар са астрономским и рачунским деловима Брамагупте; ипак, ни ал-Хорезми ни други арапски научници нису користили синкопу или негативне бројеве."
↑ Шаблон:Cite journal
↑ Шаблон:Cite book
↑ Шаблон:Harv "Ван дер Варден помера порекло алгебре на каснију тачку у времену, почевши од математичара ал-Хорезмија"
↑ Шаблон:Harv "Диофант, отац алгебре, у чију част сам назвао ово поглавље, живео је у Александрији, у римском Египту, у 1, 2. или 3. веку н.е."
↑ J. Sesiano, K. Vogel, "Diophantus", Dictionary of Scientific Biography (New York, 1970–1990), "Диофант није био, како су га често називали, отац алгебре."
↑ Шаблон:Harv "Курт Фогел, на пример, пишући у Dictionary of Scientific Biography, сматра да Диофантово дело није много алгебарскије од дела старих Вавилонаца"
↑ Шаблон:Harv "Шест горе наведених случајева једначина исцрпљују све могућности за линеарне и квадратне једначине које имају позитиван корен. Толико систематично и исцрпно је било ал-Хорезмијево излагање да су његови читаоци морали имати мало потешкоћа у савладавању решења."
↑ Грешка код цитирања: Неважећа ознака <ref>; нема текста за референце под именом „Rashed-Armstrong”.
↑ Шаблон:Cite journal
↑ Шаблон:Cite book
↑ Шаблон:Cite journal

[1] Шаблон:Harvcoltxt

[2] Шаблон:Cite journal

[3] Шаблон:Harv "Речено је да се у историјском развоју алгебре могу препознати три фазе: (1) реторичка или рана фаза, у којој је све у потпуности исписано речима; (2) синкопирана или средња фаза, у којој су усвојене неке скраћенице; и (3) симболичка или завршна фаза. Таква произвољна подела развоја алгебре на три фазе је, наравно, површно поједностављење; али може ефикасно послужити као прва апроксимација онога што се догодило"

[4] Шаблон:Harv "Све до модерних времена није се размишљало о решавању квадратне једначине облика $x^{2} + p x + q = 0$ , где су $p$ и $q$ позитивни, јер једначина нема позитиван корен. Стога су квадратне једначине у античко и средњовековно доба—па чак и у раном модерном периоду—биле класификоване у три типа: (1) $x^{2} + p x = q$ (2) $x^{2} = p x + q$ (3) $x^{2} + q = p x$ "

[5] Шаблон:Citation

[6] Шаблон:Cite book

[Boyer_Babylon_p30-7] 7,0 ^7,1 ^7,2 ^7,3 ^7,4 Шаблон:Harv "Вавилонски математичари нису оклевали да интерполирају пропорционалним деловима како би апроксимирали међувредности. Чини се да је линеарна интерполација била уобичајена процедура у древној Месопотамији, а позициона нотација се згодно уклапала у правило тројно. [...] табела неопходна у вавилонској алгебри; ова тема је достигла знатно виши ниво у Месопотамији него у Египту. Многи проблемски текстови из старовавилонског периода показују да решавање потпуне трочлане квадратне једначине Вавилонцима није представљало озбиљне потешкоће, јер су развијене флексибилне алгебарске операције. Могли су да преносе чланове у једначинама додавањем једнаких једнаким, и могли су да множе обе стране сличним величинама да би уклонили разломке или елиминисали факторе. Додавањем $4 a b$ на $(a - b)^{2}$ могли су да добију $(a + b)^{2}$ јер су били упознати са многим једноставним облицима растављања на факторе. [...] Египатска алгебра се углавном бавила линеарним једначинама, али Вавилонци су очигледно сматрали да су ове сувише елементарне да би им посветили много пажње. [...] У другом проблему у једном старовавилонском тексту налазимо две симултане линеарне једначине са две непознате величине, назване 'први сребрни прстен' и 'други сребрни прстен'."

[8] Шаблон:Cite web

[9] Шаблон:Harv "Чини се да је решавање трочлане квадратне једначине далеко превазилазило алгебарске могућности Египћана, али Нојгебауер је 1930. открио да су Вавилонци ефикасно решавали такве једначине у неким од најстаријих проблемских текстова."

[Boyer_Babylonian_Cubic_Equations-10] 10,0 ^10,1 Шаблон:Harv "У Египту нема записа о решавању кубних једначина, али међу Вавилонцима постоје многи примери тога. [...] Није познато да ли су Вавилонци били у стању да сведу општи четворочлани кубни облик, ax³ + bx² + cx = d, на своју нормалну форму."

[11] Шаблон:Harv "Купљен је 1959. у летовалишту на Нилу од стране шкотског антиквара, Хенрија Рајнда; стога је често познат као Рајндов папирус или, ређе, као Ахмесов папирус у част писара чијом је руком преписана око 1650. п. н. е. Писар нам каже да материјал потиче од прототипа из Средњег краљевства од око 2000. до 1800. п. н. е."

[12] Шаблон:Harv "Велики део наших информација о египатској математици потиче из Рајндовог или Ахмесовог папируса, најобимнијег математичког документа из древног Египта; али постоје и други извори."

[Boyer_Chapter_Egypt-13] 13,0 ^13,1 Шаблон:Harv "До сада описани египатски проблеми најбоље се могу класификовати као аритметички, али постоје и други који спадају у класу којој је израз алгебарски прикладно примењен. Они се не тичу конкретних објеката као што су хлеб и пиво, нити захтевају операције над познатим бројевима. Уместо тога, захтевају еквивалент решења линеарних једначина облика $x + a x = b$ или $x + a x + b x = c$ , где су a, b и c познати, а x је непознато. Непознато се назива 'aha', или гомила. [...] Решење које даје Ахмес није оно из модерних уџбеника, већ једно предложено карактеристично за процедуру сада познату као 'метод лажне позиције', или 'правило лажног'. Конкретна лажна вредност предложена од стране научника из 1920-их и назначене операције на левој страни знака једнакости изводе се над овим претпостављеним бројем. Савремена истраживања показују да писари нису нагађали у овим ситуацијама. Тачни одговори рационалних бројева записани у серијама египатских разломака збунили су научнике из 1920-их. Потврђени резултат показује да је Ахмес 'проверио' резултат показујући да 16 + 1/2 + 1/8 тачно додато на седмину овога (што је 2 + 1/4 + 1/8), заиста даје 19. Овде видимо још један значајан корак у развоју математике, јер је провера једноставан пример доказа."

[Casselman-14] Шаблон:Cite web

[Greek_Geometric_Algebra-15] 15,0 ^15,1 ^15,2 ^15,3 ^15,4 Шаблон:Harv "Књига II Елемената је кратка, садржи само четрнаест пропозиција, од којих ниједна не игра никакву улогу у модерним уџбеницима; ипак, у Еуклидово доба ова књига је била од великог значаја. Ова оштра разлика између античких и модерних погледа лако се објашњава—данас имамо симболичку алгебру и тригонометрију које су замениле геометријске еквиваленте из Грчке. На пример, Пропозиција 1 Књиге II каже: 'Ако постоје две праве линије, и једна од њих је пресечена на било који број сегмената, правоугаоник обухваћен двема правим линијама једнак је правоугаоницима обухваћеним непресеченом правом линијом и сваким од сегмената.' Ова теорема, која тврди (Сл. 7.5) да AD (AP + PR + RB) = AD·AP + AD·PR + AD·RB, није ништа друго до геометријски исказ једног од основних закона аритметике данас познатог као дистрибутивни закон: $a (b + c + d) = a b + a c + a d .$ У каснијим књигама Елемената (V и VII) налазимо демонстрације комутативних и асоцијативних закона за множење. Док у наше време величине представљамо словима која се схватају као бројеви (познати или непознати) над којима оперишемо алгоритмима алгебре, у Еуклидово доба величине су приказиване као линијски сегменти који задовољавају аксиоме и теореме геометрије. Понекад се тврди да Грци нису имали алгебру, али то је очигледно нетачно. Имали су Књигу II Елемената, која је геометријска алгебра и служила је у великој мери истој сврси као и наша симболичка алгебра. Нема сумње да модерна алгебра у великој мери олакшава манипулацију односима међу величинама. Али несумњиво је такође тачно да је грчки геометар упућен у четрнаест теорема Еуклидове 'алгебре' био далеко вештији у примени ових теорема на практично мерење него што је то данашњи искусни геометар. Древна геометријска 'алгебра' није била идеално оруђе, али је била далеко од неефикасне. Еуклидова изјава (Пропозиција 4), 'Ако се права линија пресече насумично, квадрат над целом линијом једнак је квадратима над сегментима и двоструком правоугаонику обухваћеном сегментима', је опширан начин да се каже да $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ,"

[A_history_of_Mathematics_the_application_of_areas-16] 16,0 ^16,1 ^16,2 Шаблон:Harv "Без обзира да ли је дедукција ушла у математику у шестом веку пре н.е. или у четвртом, и да ли је несамерљивост откривена пре или после 400. п. н. е., нема сумње да је грчка математика претрпела драстичне промене до Платоновог времена. [...] 'Геометријска алгебра' је морала да заузме место старије 'аритметичке алгебре', и у овој новој алгебри није могло бити додавања линија површинама или површина запреминама. Од сада је морала постојати строга хомогеност чланова у једначинама, а месопотамска нормална форма, $x y = A, x \pm y = b,$ = b, требало је интерпретирати геометријски. [...] На овај начин су Грци изградили решавање квадратних једначина својим процесом познатим као 'примена површина', делом геометријске алгебре који је у потпуности покривен Еуклидовим Елементима. [...] Линеарна једначина $a x = b c,$ , на пример, посматрана је као једнакост површина $a x$ и $b c,$ а не као пропорција—једнакост између два односа $a : b$ и $c : x .$ . Према томе, у конструисању четврте пропорционале $x$ у овом случају, било је уобичајено конструисати правоугаоник OCDB са страницама b = OB и c = OC (Сл. 5.9) и затим дуж OC нанети OA = a. Доврши се правоугаоник OCDB и повуче дијагонала OE која сече CD у P. Сада је јасно да је CP тражена линија $x,$ јер је правоугаоник OARS по површини једнак правоугаонику OCDB"

[Euclid_and_Khwarizmi-17] 17,0 ^17,1 ^17,2 Шаблон:Harv "У аритметичким теоремама у Еуклидовим Елементима VII–IX, бројеви су били представљени линијским сегментима за које су била везана слова, а геометријски докази у Ел-Хорезмијевој Алгебри користили су словне дијаграме; али сви коефицијенти у једначинама коришћеним у Алгебри су специфични бројеви, било представљени нумералима или исписани речима. Идеја општости је имплицирана у Ел-Хорезмијевом излагању, али он није имао схему за алгебарско изражавање општих пропозиција које су тако лако доступне у геометрији."

[Heath_Thymaridas-18] 18,0 ^18,1 ^18,2 Шаблон:Harv Тимарид са Пароса, древни питагорејац већ поменут (стр. 69), био је аутор правила за решавање одређеног скупа од $n$ симултаних простих једначина које повезују $n$ непознатих величина. Правило је очигледно било добро познато, јер је називано посебним именом [...] 'цвет' или 'блум' Тимарида. [...] Правило је веома нејасно формулисано, али у суштини каже да, ако имамо следећих $n$ једначина које повезују $n$ непознатих величина $x, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n - 1},$ наиме [...] Јамблих, наш извор информација о овој теми, даље показује да се други типови једначина могу свести на овај, тако да правило 'не оставља нас на цедилу' ни у тим случајевима."

[Flegg-19] Шаблон:Harv "За Тимарида (четврти век) се каже да је имао ово правило за решавање одређеног скупа од $n$ линеарних једначина са $n$ непознатих:
Ако је дат збир $n$ величина, и такође збир сваког пара који садржи одређену величину, онда је та одређена величина једнака $1 / (n - 2)$ разлике између збирова ових парова и првог датог збира."

[Boyer_Euclid_Alexandria-20] 20,0 ^20,1 ^20,2 Шаблон:Harv "али до 306. п. н. е. контрола над египатским делом царства била је чврсто у рукама Птолемеја I, и овај просвећени владар могао је да усмери пажњу на конструктивне напоре. Међу његовим раним актима било је оснивање у Александрији школе или института, познатог као Музеј, без премца у то доба. Као предаваче у школи позвао је групу водећих научника, међу којима је био и аутор најфеноменалније успешнијег уџбеника математике икада написаног—Елемената (Stoichia) Еуклида. С обзиром на славу аутора и његовог бестселера, изненађујуће мало се зна о Еуклидовом животу. Његов живот је био толико нејасан да се ниједно место рођења не повезује са његовим именом."

[21] Шаблон:Harv "Прича испричана горе у вези са захтевом Александра Великог за лаким уводом у геометрију понавља се у случају Птолемеја, за кога се извештава да га је Еуклид уверио да 'не постоји краљевски пут до геометрије'."

[22] Шаблон:Harv "Неки од факултета су се вероватно истицали у истраживању, други су били прикладнији да буду администратори, а трећи су били познати по способности подучавања. Чини се, из извештаја које имамо, да је Еуклид дефинитивно припадао овој последњој категорији. Њему се не приписује ниједно ново откриће, али је био познат по вештинама излагања."

[23] Шаблон:Harv "Елементи нису били, како се понекад мисли, компендијум свег геометријског знања; уместо тога, то је био уџбеник који покрива сву елементарну математику."

[24] Шаблон:Harv "Исто важи и за Елементе II.5, који садрже оно што бисмо сматрали непрактичним обилажењем за $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ "

[25] Шаблон:Harv "На потпуно аналоган начин квадратна једначина $a x + x^{2} = b^{2}$ се решава коришћењем II.6: Ако је права линија преполовљена и права линија јој је додата у истој правој, правоугаоник обухваћен целом (са додатом правом линијом) и додатом правом линијом заједно са квадратом над половином једнак је квадрату над правом линијом састављеном од половине и додате праве линије. [...] при чему је II.11 важан специјални случај II.6. Овде Еуклид решава једначину $a x + x^{2} = a^{2}$ "

[Euclid's_Data_Boyer-26] 26,0 ^26,1 ^26,2 Шаблон:Harv "Еуклидови Подаци, дело које је дошло до нас преко грчког и арапског. Чини се да је састављено за употребу у школама у Александрији, служећи као пратећи том првих шест књига Елемената на сличан начин на који приручник са табелама допуњује уџбеник. [...] Почиње са петнаест дефиниција које се тичу величина и геометријских места. Тело текста садржи деведесет пет изјава о импликацијама услова и величина које могу бити дате у проблему. [...] Постоји око двадесет сличних изјава које служе као алгебарска правила или формуле. [...] Неке од изјава су геометријски еквиваленти решења квадратних једначина. На пример[...] Елиминишући $y$ имамо $(a - x) d x = b^{2} c$ или $d x^{2} - a d x + b^{2} c = 0,$ из чега $x = \frac{a}{2} \pm \sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2} - b^{2} (\frac{c}{d})} .$ Геометријско решење које даје Еуклид је еквивалентно овоме, осим што се користи негативан знак испред радикала. Изјаве 84 и 85 у Подацима су геометријске замене за позната вавилонска алгебарска решења система $x y = a^{2}, x \pm y = b,$ што су опет еквиваленти решења симултаних једначина."

[27] Шаблон:Harv "Еутоције и Прокло обојица приписују откриће конусних пресека Менехму, који је живео у Атини крајем четвртог века пре н.е. Прокло, цитирајући Ератостена, помиње 'Менехмове тријаде конусних пресека'. Пошто овај цитат долази одмах након расправе о 'пресеку правоуглог конуса' и 'пресеку оштроуглог конуса', закључује се да су конусни пресеци настали пресецањем конуса равни која је нормална на једну од његових изводница. Затим, ако је угао при врху конуса оштар, резултујући пресек (назван oxytome) је елипса. Ако је угао прав, пресек (orthotome) је парабола, а ако је угао туп, пресек (amblytome) је хипербола (види Сл. 5.7)."

[Boyer_Menaechmus-28] 28,0 ^28,1 Шаблон:Harv "Ако су OP = y и OD = x координате тачке P, имамо $y^{2} = R$ ).OV, или, заменом једнаких,
y² = R'D.OV = AR'.BC/AB.DO.BC/AB = AR'.BC²/AB².x
Пошто су сегменти AR', BC и AB исти за све тачке P на кривој EQDPG, можемо написати једначину криве, 'пресек правоуглог конуса', као $y^{2} = l x,$ где је $l$ константа, касније позната као latus rectum криве. [...] Менехмо је очигледно извео ове особине конусних пресека, као и друге. Пошто овај материјал има јаку сличност са употребом координата, као што је горе илустровано, понекад се тврдило да је Менехмо имао аналитичку геометрију. Таква процена је само делимично оправдана, јер Менехмо свакако није био свестан да свака једначина са две непознате величине одређује криву. У ствари, општи концепт једначине са непознатим величинама био је стран грчкој мисли. [...] Наишао је на конике у успешној потрази за кривама са особинама погодним за удвостручавање коцке. У терминима модерне нотације, решење се лако постиже. Померањем пресечне равни (Сл. 6.2), можемо пронаћи параболу са било којим latus rectum-ом. Ако, дакле, желимо да удвостручимо коцку ивице $a,$ лоцирамо на правоуглом конусу две параболе, једну са latus rectum-ом $a$ и другу са latus rectum-ом $2 a .$ [...] Вероватно је да је Менехмо знао да се удвостручавање може постићи и употребом правоугаоне хиперболе и параболе."

[Boyer_Chinese_Math-29] 29,0 ^29,1 Шаблон:Harv "процене у вези са Чоу Пеи Суан Ђинг, које се генерално сматра најстаријим од математичких класика, разликују се за скоро хиљаду година. [...] Датум око 300. п. н. е. изгледа разуман, стављајући га тако у блиску конкуренцију са другом расправом, Ђиу-џанг суан-шу, састављеном око 250. п. н. е., то јест, непосредно пре династије Хан (202. п. н. е.). [...] Готово једнако стар као Чоу Пеи, и можда најутицајнија од свих кинеских математичких књига, био је Чуи-чанг суан-шу, или Девет поглавља о математичкој вештини. Ова књига укључује 246 проблема о геодетском премеру, пољопривреди, орташтву, инжењерству, опорезивању, рачунању, решавању једначина и особинама правоуглих троуглова. [...] Осмо поглавље Девет поглавља је значајно по решавању проблема симултаних линеарних једначина, користећи и позитивне и негативне бројеве. Последњи проблем у поглављу укључује четири једначине са пет непознатих, а тема неодређених једначина остаће омиљена међу источним народима."

[Boyer_Sea_Mirror-30] 30,0 ^30,1 Шаблон:Harv "Ли Чи (или Ли Јех, 1192–1279), математичар из Пекинга коме је Кублај-кан понудио владин положај 1206, али је учтиво нашао изговор да га одбије. Његов Це-јуан хаи-ђинг (Морско огледало мерења круга) укључује 170 проблема који се баве[...]неки од проблема воде до једначина четвртог степена. Иако није описао свој метод решавања једначина, укључујући неке шестог степена, чини се да се није много разликовао од оног који су користили Чу Ши-ђие и Хорнер. Други који су користили Хорнеров метод били су Чин Ђиу-шао (око 1202 – око 1261) и Јанг Хуи (деловао око 1261 – 1275). Први је био бескрупулозни гувернер и министар који је стекао огромно богатство у року од сто дана од преузимања дужности. Његов Шу-шу ђиу-џанг (Математичка расправа у девет поглавља) означава врхунац кинеске неодређене анализе, са проналаском рутина за решавање симултаних конгруенција."

[Boyer_Magic_Squares-31] 31,0 ^31,1 Шаблон:Harv "Кинези су посебно волели обрасце; стога, није изненађујуће што се тамо појавио први запис (древног али непознатог порекла) магичног квадрата. [...] Забринутост за такве обрасце навела је аутора Девет поглавља да реши систем симултаних линеарних једначина [...] извођењем операција над колонама на матрици [...] да би је свео на [...] Други облик је представљао једначине $36 z = 99, 5 y + z = 24,$ = 24, и $3 x + 2 y + z = 39$ из којих се вредности $z, y,$ и $x$ лако налазе редом."

[32] Шаблон:Harv "Исту 'Хорнерову' направу користио је Јанг Хуи, о чијем животу се не зна готово ништа и чији су радови само делимично преживели. Међу његовим сачуваним доприносима су најранији кинески магични квадрати реда већег од три, укључујући два сваког реда од четири до осам и по један реда девет и десет."

[Boyer_Precious_Mirror-33] Шаблон:Harv "Последњи и највећи од математичара из династије Сунг био је Чу Чи-ђие (fl. 1280–1303), ипак мало знамо о њему-, [...] Од већег историјског и математичког интереса је Си-јуан ју-ђиен (Драгоцено огледало четири елемента) из 1303. У осамнаестом веку и ово је нестало у Кини, да би било поново откривено у следећем веку. Четири елемента, названа небо, земља, човек и материја, представљају четири непознате величине у истој једначини. Књига означава врхунац у развоју кинеске алгебре, јер се бави симултаним једначинама и једначинама степена чак до четрнаест. У њој аутор описује метод трансформације који назива фан фа, чији су елементи настали много раније у Кини, али који генерално носи име Хорнера, који је живео пола миленијума касније."

[Boyer_Precious_Mirror_p205-34] 34,0 ^34,1 Шаблон:Harv "Неколико од многих сумација редова пронађених у Драгоценом огледалу су следеће:[...] Међутим, нису дати докази, нити се чини да је тема поново настављена у Кини све до отприлике деветнаестог века. [...] Драгоцено огледало почиње дијаграмом аритметичког троугла, непримерено познатим на Западу као 'Паскалов троугао'. (Види илустрацију.) [...] Чу се одриче заслуга за троугао, називајући га 'дијаграмом старе методе за проналажење осмих и нижих степена'. Сличан распоред коефицијената до шестог степена појавио се у раду Јанг Хуија, али без округлог симбола за нулу."

[Boyer_Diophantus-35] Шаблон:Harv Неизвесност о животу Диофанта је толика да не знамо сигурно у ком веку је живео. Генерално се претпоставља да је стварао око 250. н.е., али се понекад предлажу датуми век или више раније или касније[...] Ако је ова загонетка историјски тачна, Диофант је доживео осамдесет четири године. [...] Главно Диофантово дело које нам је познато је Аритметика, расправа изворно у тринаест књига, од којих је само првих шест сачувано."

[36] Шаблон:Cite book

[:0-37] 37,0 ^37,1 ^37,2 Шаблон:Cite journal

[38] Шаблон:Cite journal

[39] Шаблон:Cite book

[40] Шаблон:Cite book

[Boyer_Arithmetica-41] Шаблон:Harv "У овом погледу може се упоредити са великим класицима ранијег Александријског доба; ипак, практично нема ништа заједничко са овима или, у ствари, са било којом традиционалном грчком математиком. Она представља суштински нову грану и користи другачији приступ. Будући да је одвојена од геометријских метода, у великој мери подсећа на вавилонску алгебру. Али док су се вавилонски математичари првенствено бавили приближним решењима одређених једначина до трећег степена, Аритметика Диофантова (онаква какву је имамо) готово је у потпуности посвећена тачном решавању једначина, како одређених тако и неодређених. [...] Кроз шест сачуваних књига Аритметике постоји систематска употреба скраћеница за степене бројева и за релације и операције. Непознати број је представљен симболом који личи на грчко слово ζ (можда за последње слово речи arithmos). [...] Уместо тога, то је збирка од око 150 проблема, сви разрађени у терминима специфичних нумеричких примера, иако је можда намеравана општост методе. Нема постулационог развоја, нити се улаже напор да се пронађу сва могућа решења. У случају квадратних једначина са два позитивна корена, даје се само већи, а негативни корени се не препознају. Не прави се јасна разлика између одређених и неодређених проблема, па чак и за ове последње, за које је број решења генерално неограничен, даје се само један одговор. Диофант је решавао проблеме који укључују неколико непознатих бројева вешто изражавајући све непознате величине, где је то могуће, само помоћу једне од њих."

[Boyer-42] 42,0 ^42,1 Шаблон:Harv "Главна разлика између Диофантове синкопе и модерне алгебарске нотације је недостатак посебних симбола за операције и релације, као и експоненцијалне нотације."

[Diophantus_Syncopation-43] 43,0 ^43,1 ^43,2 Шаблон:Harv

[44] Шаблон:Harv

[45] Шаблон:Cite book

[46] Шаблон:Harv "Књига често користи идентитете [...] који су се појавили код Диофанта и које су Арапи широко користили."

[47] Шаблон:Harv "Најстарији сачувани документи о хиндуистичкој математици су копије дела написаних средином првог миленијума п. н. е., отприлике у време када су живели Талес и Питагора. [...] из шестог века п. н. е."

[India_Algebra_in_General-48] 48,0 ^48,1 Шаблон:Harv "Лилавати, као и Виџа-Ганита, садржи бројне проблеме који се баве омиљеним хиндуистичким темама; линеарне и квадратне једначине, како одређене тако и неодређене, једноставна мерења, аритметичке и геометријске прогресије, сурде, Питагорине тријаде и друге."

[49] Шаблон:Harv "Он је дао елегантнија правила за збир квадрата и кубова почетног сегмента позитивних целих бројева. Шести део производа три величине које се састоје од броја чланова, броја чланова плус један, и двоструког броја чланова плус један је збир квадрата. Квадрат збира реда је збир кубова."

[50] Шаблон:Harv "Брамагупта (fl. 628), који је живео у централној Индији нешто више од једног века након Арјабхате [...] у тригонометрији свог најпознатијег дела, Брахмаспхута Сиддханта, [...] овде налазимо општа решења квадратних једначина, укључујући два корена чак и у случајевима када је један од њих негативан."

[51] Шаблон:Harv "Хиндуистичка алгебра је посебно вредна пажње у свом развоју неодређене анализе, којој је Брамагупта дао неколико доприноса. Као прво, у његовом раду налазимо правило за формирање Питагориних тријада изражено у облику $m, 1 / 2 (m^{2} / n - n), 1 / 2 (m^{2} / n + n)$ ; али ово је само модификовани облик старог вавилонског правила, са којим је можда постао упознат."

[Boyer_Brahmagupta_Indeterminate_equations-52] 52,0 ^52,1 ^52,2 ^52,3 Шаблон:Harv "он је био први који је дао опште решење линеарне Диофантове једначине $a x + b y = c,$ где су $a, b,$ и $c$ цели бројеви. [...] У велику заслугу Брамагупте иде то што је дао сва целобројна решења линеарне Диофантове једначине, док је сам Диофант био задовољан давањем једног одређеног решења неодређене једначине. Утолико што је Брамагупта користио неке од истих примера као Диофант, поново видимо вероватноћу грчког утицаја у Индији—или могућност да су обојица користила заједнички извор, могуће из Вавилоније. Занимљиво је приметити такође да је алгебра Брамагупте, као и Диофантова, била синкопирана. Сабирање је означавано надовезивањем, одузимање стављањем тачке изнад умањиоца, а дељење стављањем делиоца испод дељеника, као у нашој разломачкој нотацији али без црте. Операције множења и кореновања (вађење корена), као и непознате величине, представљане су скраћеницама одговарајућих речи. [...] Баскара (1114 – око 1185), водећи математичар дванаестог века. Он је био тај који је попунио неке празнине у Брамагуптином раду, дајући опште решење Пелове једначине и разматрајући проблем дељења нулом."

[Boyer_Lilvati222-223-53] 53,0 ^53,1 Шаблон:Harv "У обради круга и сфере, Лилавати такође не успева да разликује тачне и приближне исказе. [...] Многи Баскарини проблеми у Лилавати и Виџа-Ганити очигледно су изведени из ранијих хиндуистичких извора; стога, није изненађење приметити да је аутор на свом терену када се бави неодређеном анализом."

[Boyer_Intro_Islamic_Algebra-54] 54,0 ^54,1 ^54,2 Шаблон:Harv "Први век муслиманског царства био је лишен научних достигнућа. Овај период (отприлике од 650. до 750. године) био је, у ствари, можда најнижа тачка у развоју математике, јер Арапи још нису постигли интелектуални замах, а брига за учењем у другим деловима света је избледела. Да није било изненадног културног буђења у исламу током друге половине осмог века, знатно више античке науке и математике било би изгубљено. [...] Током калифата ал-Мамуна (809–833), међутим, Арапи су се у потпуности препустили својој страсти за превођењем. За калифа се каже да је сањао Аристотела, и као последица тога, ал-Мамун је одлучио да набави арапске верзије свих грчких дела до којих је могао доћи, укључујући Птоломејев Алмагест и комплетну верзију Еуклидових Елемената. Из Византијског царства, са којим су Арапи одржавали несигуран мир, грчки рукописи су набављани мировним уговорима. Ал-Мамун је у Багдаду основао 'Кућу мудрости' (Баит ал-хикма) упоредиву са древним Музејом у Александрији. Међу члановима факултета био је математичар и астроном, Мухамед ибн-Муса ал-Хорезми, чије је име, као и Еуклидово, касније постало опште познато у западној Европи. Учењак, који је умро негде пре 850. године, написао је више од пола туцета астрономских и математичких дела, од којих су најранија вероватно била заснована на Синдхаду произашлом из Индије."

[Boyer_Islamic_Rhetoric_Algebra_Thabit-55] 55,0 ^55,1 Шаблон:Harv "али ал-Хорезмијево дело имало је озбиљан недостатак који је морао бити отклоњен пре него што је могло ефикасно служити својој сврси у модерном свету: требало је развити симболичку нотацију која би заменила реторички облик. Овај корак Арапи никада нису предузели, осим замене бројних речи бројним знаковима. [...] Сабит је био оснивач школе преводилаца, посебно са грчког и сиријског, и њему дугујемо огромну захвалност за преводе на арапски дела Еуклида, Архимеда, Аполонија, Птоломеја и Еутоција."

[Gandz236-56] 56,0 ^56,1 Gandz and Saloman (1936), The sources of al-Khwarizmi's algebra, Osiris i, pp. 263–277: "У извесном смислу, Хорезми има више права да се назове 'оцем алгебре' него Диофант јер Хорезми први предаје алгебру у елементарном облику и ради ње саме, Диофант се првенствено бави теоријом бројева".

[Boyer_Three_Influences_on_al_Jabr-57] 57,0 ^57,1 Шаблон:Harv "Ал-Хорезми наставља: 'Рекли смо довољно до сада што се тиче бројева, о шест типова једначина. Сада је, међутим, неопходно да геометријски докажемо истинитост истих проблема које смо објаснили бројевима.' Призвук овог одломка је очигледно грчки, а не вавилонски или индијски. Према томе, постоје три главне школе мишљења о пореклу арапске алгебре: једна наглашава хиндуистички утицај, друга инсистира на месопотамској, или сиријско-персијској традицији, а трећа указује на грчку инспирацију. Истини се вероватно приближавамо ако комбинујемо три теорије."

[58] Шаблон:Harv "ауторов предговор на арапском одавао је претерану хвалу Мухамеду, пророку, и ал-Мамуну, 'Заповеднику верних.'"

[Corbin_1998_44-59] Шаблон:Cite book

[60] Boyer, Carl B., 1985. A History of Mathematics, p. 252. Princeton University Press. "Диофант се понекад назива оцем алгебре, али ова титула прикладније припада ал-Хорезмију...", "...Ал-џабр је ближи елементарној алгебри данашњице него дела било Диофанта или Брамагупте..."

[61] S Gandz, The sources of al-Khwarizmi's algebra, Osiris, i (1936), 263–277, "Ал-Хорезмијева алгебра се сматра темељом и каменом темељцем наука. У извесном смислу, ал-Хорезми има више права да се назове 'оцем алгебре' него Диофант јер ал-Хорезми први предаје алгебру у елементарном облику и ради ње саме, Диофант се првенствено бави теоријом бројева."

[62] Шаблон:Cite journal

[63] Шаблон:Cite book

[64] Шаблон:Harv "Арапи су генерално волели добар, јасан аргумент од премисе до закључка, као и систематичну организацију—аспекте у којима ни Диофант ни Хиндуси нису бриљирали."

[Boyer-229-65] 65,0 ^65,1 Шаблон:Harv "Није сасвим сигурно шта тачно изрази al-jabr и muqabalah значе, али уобичајено тумачење је слично ономе које се подразумева у горњем преводу. Реч al-jabr је вероватно значила нешто попут 'обнављање' или 'допуњавање' и чини се да се односи на преношење одузетих чланова на другу страну једначине, што је очигледно у расправи; за реч muqabalah се каже да се односи на 'свођење' или 'уравнотежење'—то јест, поништавање сличних чланова на супротним странама једначине."

[Al_Jabr_and_its_chapters-66] 66,0 ^66,1 Шаблон:Harv "у шест кратких поглавља, о шест типова једначина састављених од три врсте величина: корени, квадрати и бројеви (то јест $x, x^{2},$ и бројеви). Поглавље I, у три кратка пасуса, покрива случај квадрата једнаких коренима, изражено у модерној нотацији као $x^{2} = 5 x, x^{2} / 3 = 4 x,$ и $5 x^{2} = 10 x,$ дајући одговоре $x = 5, x = 12,$ и $x = 2$ респективно. (Корен $x = 0$ није препознат.) Поглавље II покрива случај квадрата једнаких бројевима, а Поглавље III решава случајеве корена једнаких бројевима, поново са три илустрације по поглављу да покрије случајеве у којима је коефицијент уз променљиви члан једнак, већи или мањи од један. Поглавља IV, V и VI су занимљивија, јер покривају редом три класична случаја трочланих квадратних једначина: (1) квадрати и корени једнаки бројевима, (2) квадрати и бројеви једнаки коренима, и (3) корени и бројеви једнаки квадратима."

[67] Шаблон:Harv "Решења су 'куварска' правила за 'допуну до потпуног квадрата' примењена на специфичне случајеве. [...] У сваком случају даје се само позитиван одговор. [...] Поново се даје само један корен јер је други негативан. [...] Шест случајева горе датих једначина исцрпљују све могућности за линеарне и квадратне једначине које имају позитивне корене."

[68] Шаблон:Harv "Ал-Хорезми овде скреће пажњу на чињеницу да оно што ми означавамо као дискриминанта мора бити позитивно: 'Треба такође да разумете да када узмете половину корена у овом облику једначине и затим помножите половину саму са собом; ако оно што произлази или проистиче из множења је мање од горе поменутих јединица које прате квадрат, имате једначину.' [...] Још једном, кораци у допуни до потпуног квадрата су педантно назначени, без оправдања,"

[69] Шаблон:Harv "Алгебра ал-Хорезмија одаје недвосмислене хеленске елементе,"

[70] Шаблон:Harv "Неколико ал-Хорезмијевих проблема даје прилично јасан доказ арапске зависности од вавилонско-херонског тока математике. Један од њих је вероватно директно преузет од Херона, јер су фигура и димензије исте."

[al-Khwarizmi_Diophantus_Brahmagupta-71] 71,0 ^71,1 Шаблон:Harv "алгебра ал-Хорезмија је потпуно реторичка, без икакве синкопе која се налази у грчкој Аритметици или у Брамагуптином делу. Чак су и бројеви исписивани речима, а не симболима! Мало је вероватно да је ал-Хорезми знао за Диофантово дело, али мора да је био упознат бар са астрономским и рачунским деловима Брамагупте; ипак, ни ал-Хорезми ни други арапски научници нису користили синкопу или негативне бројеве."

[Boyer_Ibn_Turk-72] 72,0 ^72,1 ^72,2 ^72,3 Шаблон:Harv "Алгебра ал-Хорезмија се обично сматра првим делом на ту тему, али недавна публикација у Турској поставља нека питања о томе. Рукопис дела 'Абд-ал-Хамида ибн-Турка, под насловом 'Логичке нужности у мешовитим једначинама', био је део књиге о Al-jabr wa'l muqabalah која је очигледно била веома слична оној ал-Хорезмијевој и објављена је отприлике у исто време—можда чак и раније. Сачувана поглавља о 'Логичким нужностима' дају потпуно исти тип геометријске демонстрације као и ал-Хорезмијева Алгебра и у једном случају исти илустративни пример $x^{2} + 21 = 10 x .$ . У једном погледу, 'Абд-ал-Хамадово излагање је темељније од ал-Хорезмијевог јер даје геометријске фигуре да докаже да, ако је дискриминанта негативна, квадратна једначина нема решење. Сличности у делима ове двојице људи и систематска организација која се у њима налази указују на то да алгебра у њихово време није била тако скорашњи развој како се обично претпостављало. Када се уџбеници са конвенционалним и добро уређеним излагањем појаве истовремено, предмет је вероватно знатно изван фазе формирања. [...] Обратите пажњу на изостављање Диофанта и Папоса, аутора који очигледно у почетку нису били познати у Арабији, иако је Диофантова Аритметика постала позната пре краја десетог века."

[Unknown_Quantity,_Dia,_al-Khwar-73] 73,0 ^73,1 Шаблон:Harv

[74] Шаблон:MacTutor "Алгебра је била уједињујућа теорија која је дозволила да се рационални бројеви, ирационални бројеви, геометријске величине итд., третирају као 'алгебарски објекти'."

[75] Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 148, in Шаблон:Cite book

[Berggren-518-76] 76,0 ^76,1 Шаблон:Cite book

[Boyer_al-Karkhi_ax2n-77] 77,0 ^77,1 Шаблон:Harv "Абу'л Вефа је био способан алгебриста колико и тригонометар. [...] Његов наследник ал-Карки је очигледно користио овај превод да постане арапски ученик Диофанта—али без диофантске анализе! [...] Конкретно, ал-Каркију се приписује прво нумеричко решење једначина облика $a x^{2 n} + b x^{n} = c$ (разматране су само једначине са позитивним коренима),"

[78] Шаблон:MacTutor

[Boyer_Omar_Khayyam_positive_roots-79] 79,0 ^79,1 ^79,2 ^79,3 ^79,4 Шаблон:Harv "Омар Хајам (око 1050 – 1123), 'шаторџија', написао је Алгебру која је ишла даље од ал-Хорезмијеве и укључивала једначине трећег степена. Као и његови арапски претходници, Омар Хајам је дао и аритметичка и геометријска решења за квадратне једначине; за опште кубне једначине, веровао је (погрешно, како је шеснаести век касније показао) да су аритметичка решења немогућа; стога је давао само геометријска решења. Шему коришћења пресечних коника за решавање кубних једначина раније су користили Менехмо, Архимед и Алхазен, али Омар Хајам је направио похвалан корак генерализације методе да покрије све једначине трећег степена (које имају позитивне корене). .. За једначине степена већег од три, Омар Хајам очигледно није предвидео сличне геометријске методе, јер простор не садржи више од три димензије, [...] Један од најплодоноснијих доприноса арапског еклектицизма била је тенденција да се премости јаз између нумеричке и геометријске алгебре. Одлучујући корак у овом правцу дошао је много касније са Декартом, али Омар Хајам се кретао у овом правцу када је написао: 'Ко мисли да је алгебра трик у добијању непознатих, узалуд је мислио. Не треба обраћати пажњу на чињеницу да су алгебра и геометрија различите по изгледу. Алгебре су геометријске чињенице које су доказане.'"

[80] Шаблон:MacTutor

[81] Шаблон:Citation

[Berggren-82] Шаблон:Cite journal

[83] Шаблон:Cite arXiv

[84] Шаблон:Citation

[85] Шаблон:Cite journal

[86] Шаблон:Cite web

[Qalasadi-87] 87,0 ^87,1 ^87,2 Шаблон:MacTutor Biography

[Boyer_192-193-88] Шаблон:Harv "Смрт Боетија се може узети да означи крај античке математике у Западном римском царству, као што је смрт Хипатије означила крај Александрије као математичког центра; али рад се наставио још неколико година у Атини. [...] Када је 527. Јустинијан постао цар на Истоку, очигледно је осећао да је паганско учење Академије и других филозофских школа у Атини претња православном хришћанству; стога су 529. филозофске школе затворене и учењаци растурени. Рим у то време једва да је био гостољубив дом за учењаке, и Симплиције и неки други филозофи су погледали ка Истоку тражећи уточиште. Нашли су га у Персији, где су под краљем Хозројем основали оно што би се могло назвати 'Атинском академијом у егзилу'.(Sarton 1952; p. 400)."

[89] Шаблон:Multiref

[90] Шаблон:Multiref

[91] Шаблон:Cite book

[92] Шаблон:Cite book

[93] Шаблон:Cite book

[94] Нпр. Шаблон:Harvcoltxt, Шаблон:Harvcoltxt, Шаблон:Harvcoltxt, Шаблон:Harvcoltxt, Шаблон:Harvcoltxt, Шаблон:Harvcoltxt, и Шаблон:Harvcoltxt

[95] Шаблон:Harvcoltxt

[96] Шаблон:Harvcoltxt

[97] Шаблон:Harvcoltxt; Шаблон:Harvcoltxt

[98] Шаблон:Harvcoltxt

[99] Нпр. Шаблон:Harvcoltxt. Али Густаф Енестрем (1905:316–317) је показао да је Декарт, у писму написаном 1619, користио немачки симбол у јасном контрасту према свом $x .$

[100] Прецртану цифру 1 користио је Пјетро Каталди за први степен непознате. Везу између ове конвенције и $x$ Кажори приписује Густаву Вертхајму, али Кажори (1919:699; 1928:382) не налази доказе који би је подржали.

[101] Шаблон:Harvcoltxt

[102] Види, на пример, TED говор Терија Мура, под називом "Why Is 'x' the Unknown?", објављен 2012.

[103] Шаблон:Harvcoltxt

[104] Шаблон:Harvcoltxt.

[105] Шаблон:Harvcoltxt.

[106] Шаблон:Harvcoltxt наводи пет расправа о алгебри објављених на шпанском у шеснаестом веку, од којих све користе "cosa": Шаблон:Harvcoltxt, Шаблон:Harvcoltxt, Шаблон:Harvcoltxt, Шаблон:Harvcoltxt, и Шаблон:Harvcoltxt. Последња два дела такође скраћују cosa као "co."—као и Шаблон:Harvcoltxt.

[107] Облици су одсутни из Шаблон:Harvcoltxt, Шаблон:Harvcoltxt, Шаблон:Harvcoltxt, онлајн дијахронијског корпуса шпанског Шпанске краљевске академије (CORDE), и Дејвисовог Corpus del Español.

[108] Шаблон:Cite web

[109] Struik (1969), 367.

[auto3-110] 110,0 ^110,1 Шаблон:Multiref

[auto7-111] Шаблон:Multiref

[auto2-112] Шаблон:Multiref

[113] Шаблон:Multiref

[114] Шаблон:Multiref

[115] Шаблон:Multiref

[116] Шаблон:Multiref

[117] Шаблон:Multiref

[118] Шаблон:Multiref

[119] Шаблон:Multiref

[120] Шаблон:Multiref

[Carl_Boyer_For_Al_Khwarizmi-121] 121,0 ^121,1 ^121,2 ^121,3 Шаблон:Harv "Диофант се понекад назива 'оцем алгебре', али ова титула прикладније припада Абу Абдулаху бин мирсми ал-Хорезмију. Истина је да је у два погледа дело ал-Хорезмија представљало назадовање у односу на Диофантово. Прво, на много је елементарнијем нивоу од оног који се налази у Диофантовим проблемима и, друго, алгебра ал-Хорезмија је потпуно реторичка, без икакве синкопе која се налази у грчкој Аритметици или у Брамагуптином делу. Чак су и бројеви били исписивани речима, а не симболима! Мало је вероватно да је ал-Хорезми знао за Диофантово дело, али мора да је био упознат бар са астрономским и рачунским деловима Брамагупте; ипак, ни ал-Хорезми ни други арапски научници нису користили синкопу или негативне бројеве."

[122] Шаблон:Cite journal

[123] Шаблон:Cite book

[124] Шаблон:Harv "Ван дер Варден помера порекло алгебре на каснију тачку у времену, почевши од математичара ал-Хорезмија"

[John_Derbyshire_For_Diophantus-125] Шаблон:Harv "Диофант, отац алгебре, у чију част сам назвао ово поглавље, живео је у Александрији, у римском Египту, у 1, 2. или 3. веку н.е."

[126] J. Sesiano, K. Vogel, "Diophantus", Dictionary of Scientific Biography (New York, 1970–1990), "Диофант није био, како су га често називали, отац алгебре."

[127] Шаблон:Harv "Курт Фогел, на пример, пишући у Dictionary of Scientific Biography, сматра да Диофантово дело није много алгебарскије од дела старих Вавилонаца"

[128] Шаблон:Harv "Шест горе наведених случајева једначина исцрпљују све могућности за линеарне и квадратне једначине које имају позитиван корен. Толико систематично и исцрпно је било ал-Хорезмијево излагање да су његови читаоци морали имати мало потешкоћа у савладавању решења."

[Rashed-Armstrong-129] Грешка код цитирања: Неважећа ознака <ref>; нема текста за референце под именом „Rashed-Armstrong”.

[Katz2006-130] Шаблон:Cite journal

[131] Шаблон:Cite book

[132] Шаблон:Cite journal

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[94]

[95]

[96]

[97]

[98]

[99]

[100]

Историја алгебре

Етимологија

Фазе развоја алгебре

Алгебарски израз

Концептуалне фазе

Вавилон

Стари Египат

Шаблон:Anchor Грчка математика

Еуклид из Александрије

Елементи

Подаци

Конусни пресеци

Кина

„Девет поглавља о математичкој вештини“

„Морско огледало мерења круга“

„Математичка расправа у девет поглавља“

Магични квадрати

„Драгоцено огледало четири елемента“

Диофант

Индија

Арјабхата

Брахма-спхута-сидханта

Баскара II

Исламски свет

Al-jabr wa'l muqabalah

Логичке нужности у мешовитим једначинама

Абу Камил и ал-Караџи

Омар Хајам, Шараф ал-Дин ал-Туси и ал-Каши

Ал-Хасар, Ибн ал-Бана и ал-Каласади

Европа и медитерански регион

Касни средњи век

Симболичка алгебра

Симбол x

Готфрид Лајбниц

Модерно доба

Отац алгебре

Види још

Референце

Литература

Спољашње везе

Мени за навигацију

Претрага