Магични квадрати

Најмањи (и јединствени до на ротацију и рефлексију) нетривијални случај магичног квадрата, ред 3, магична сума 15

У математици, посебно историјској и рекреативној математици, магични квадрат је квадратни распоред бројева, обично позитивних целих бројева, где су суме бројева у сваком реду, свакој колони и на обе главне дијагонале исте. Ред магичног квадрата је број целих бројева дуж једне странице (n), а константни збир се назива магична константа или магична сума. Ако распоред укључује само позитивне целе бројеве $1,2,\mathrm{...},n^2$, за магични квадрат се каже да је нормалан. Многи аутори под појмом магични квадрат подразумевају управо нормални магични квадрат.

Магични квадрати који укључују понављајуће уносе не потпадају под ову дефиницију и називају се тривијалним. Неки познати примери, укључујући магични квадрат Саграда Фамилије, тривијални су у овом смислу. Када се сви редови и колоне, али не и обе дијагонале, сабирају у магичну константу, добија се полумагични квадрат (понекад се назива и ортомагични квадрат).

Математичко проучавање магичних квадрата обично се бави њиховом конструкцијом, класификацијом и пребројавањем. Иако не постоје потпуно опште методе за стварање свих магичних квадрата свих редова, историјски су откривене три опште технике: оивичењем, прављењем сложених магичних квадрата и додавањем два прелиминарна квадрата. Постоје и специфичније стратегије, попут методе континуираног набрајања која репродукује одређене обрасце. Магични квадрати се генерално класификују према свом реду n као: непарни ако је n непарно, парно парни (који се такође називају „двоструко парни”) ако је n умножак броја 4, непарно парни (познати и као „једноструко парни”) ако је n било који други паран број. Ова класификација се заснива на различитим техникама потребним за конструисање непарних, парно парних и непарно парних квадрата. Поред тога, у зависности од даљих својстава, магични квадрати се такође класификују као асоцијативни магични квадрати, пандијагонални магични квадрати, најсавршенији магични квадрати и тако даље. Још изазовније, било је и покушаја да се сви магични квадрати датог реда класификују као трансформације мањег скупа квадрата. Осим за n ≤ 5, пребројавање магичних квадрата вишег реда и даље представља отворен изазов. Пребројавање најсавршенијих магичних квадрата било ког реда остварено је тек крајем 20. века.

Магични квадрати имају дугу историју, која датира барем од 190. године пре нове ере у Кини. У различитим временима добијали су окултни или митски значај и појављивали су се као симболи у уметничким делима. У модерно доба генерализовани су на више начина, укључујући коришћење додатних или другачијих ограничења, множење уместо сабирања ћелија, коришћење алтернативних облика или више од две димензије, као и замену бројева облицима, а сабирање геометријским операцијама.

На бакрорезу Меланхолија I (Албрехт Дирер, 1514) налази се квадрат реда 4 са магичном сумом 34

Магични квадрат реда 4, детаљ са бакрореза Меланхолија I.

Историја

Гвоздена плоча са магичним квадратом реда 6 са источноарапским бројевима из Кине, из периода династије Јуан (1271–1368).

Магични квадрат трећег реда био је познат кинеским математичарима још 190. п. н. е., а експлицитно је дат у првом веку нове ере. Први инстанца магичног квадрата четвртог реда која се може датирати појавила се 550. године у Индији. Примерци магичних квадрата реда 3 до 9 појављују се у енциклопедији из Багдада (око 983), Енциклопедија Бреће чистоте (Расаил Ихван ал-Сафа). До краја 12. века, опште методе за конструкцију магичних квадрата биле су добро успостављене. Отприлике у то време, неки од ових квадрата су се све више користили у комбинацији са магичним словима, као у делу Шамс ал-Маариф, у окултне сврхе. У Индији, све пандијагоналне магичне квадрате четвртог реда побројао је Нарајана 1356. године. Магични квадрати постали су познати Европи кроз преводе арапских извора као окултни објекти током ренесансе, а општа теорија је морала бити поново откривена независно од претходних достигнућа у Кини, Индији и на Блиском истоку. Такође су значајне древне културе са традицијом математике и нумерологије које нису откриле магичне квадрате: Грци, Вавилонци, Египћани и претколумбовски Американци.

Магични квадрати се такође појављују у уметности. На пример, магични квадрат се појављује на Албрехт Диреровој Меланхолији (види фотографију дела). Још један се појављује на слици Вилфреда Лама Белијал, цар мува, где се магични квадрат види у доњем левом квадранту слике.

Кина

Страница која приказује 9×9 магични квадрат из дела Ченг Давеја Суанфа тонгцунг (1593).

Иако се древне референце на образац парних и непарних бројева у 3×3 магичном квадрату појављују у књизи Ји Ђинг, први недвосмислени пример овог магичног квадрата појављује се у поглављу названом Мингтанг (Светла дворана) у књизи из 1. века Да Даи Лиђи (Записи о обредима Старијег Даија), која је наводно описивала древне кинеске обреде династије Џоу. Ови бројеви се такође јављају у вероватно ранијем математичком тексту под називом Шушу ђији (Мемоари о неким традицијама математичке уметности), за који се каже да је написан 190. п. н. е. Ово је најраније познато појављивање магичног квадрата; и углавном се користио за прорицање и астрологију. Магични квадрат 3×3 су ранији кинески математичари називали „Девет дворана”. Идентификација 3×3 магичног квадрата са легендарном Луошу мапом направљена је тек у 12. веку, након чега је назван Луошу квадрат. Најстарија сачувана кинеска расправа која приказује магичне квадрате реда већег од 3 је дело Јанг Хуеја Сјигу џећи суанфа (Наставак древних математичких метода за разјашњавање чудног) написано 1275. године. Садржај Јанг Хуејеве расправе прикупљен је из старијих радова, како домаћих тако и страних; и он само објашњава конструкцију магичних квадрата трећег и четвртог реда, док само преноси готове дијаграме већих квадрата. Он даје магични квадрат реда 3, два квадрата за сваки ред од 4 до 8, један реда девет и један полумагични квадрат реда 10. Такође даје шест магичних кругова различите сложености.

4	9	2
3	5	7
8	1	6

2	16	13	3
11	5	8	10
7	9	12	6
14	4	1	15

1	23	16	4	21
15	14	7	18	11
24	17	13	9	2
20	8	19	12	6
5	3	10	22	25

13	22	18	27	11	20
31	4	36	9	29	2
12	21	14	23	16	25
30	3	5	32	34	7
17	26	10	19	15	24
8	35	28	1	6	33

46	8	16	20	29	7	49
3	40	35	36	18	41	2
44	12	33	23	19	38	6
28	26	11	25	39	24	22
5	37	31	27	17	13	45
48	9	15	14	32	10	47
1	43	34	30	21	42	4

61	3	2	64	57	7	6	60
12	54	55	9	16	50	51	13
20	46	47	17	24	42	43	21
37	27	26	40	33	31	30	36
29	35	34	32	25	39	38	28
44	22	23	41	48	18	19	45
52	14	15	49	56	10	11	53
5	59	58	8	1	63	62	4

31	76	13	36	81	18	29	74	11
22	40	58	27	45	63	20	38	56
67	4	49	72	9	54	65	2	47
30	75	12	32	77	14	34	79	16
21	39	57	23	41	59	25	43	61
66	3	48	68	5	50	70	7	52
35	80	17	28	73	10	33	78	15
26	44	62	19	37	55	24	42	60
71	8	53	64	1	46	69	6	51

Горе приказани магични квадрати реда 3 до 9 преузети су из Јанг Хуејеве расправе, у којој је принцип Луо Шу јасно евидентан. Квадрат реда 5 је оивичени магични квадрат, са централним 3×3 квадратом формираним према принципу Луо Шу. Квадрат реда 9 је сложени магични квадрат, у којем су и девет 3×3 подквадрата такође магични. Након Јанг Хуеја, магични квадрати се често јављају у кинеској математици као што је то случај у делу Динг Јидонга Дајан суојин (око 1300), Ченг Давејевој Суанфа тонгцунг (1593), Фанг Џонгтонговој Шудујан (1661) која садржи магичне кругове, коцке и сфере, делу Џанг Чаоа Сјинџај зазу (око 1650), који је објавио први кинески магични квадрат реда десет, и на крају Бао Ћишоуовој Бинаишанфанг ђи (око 1880), који је дао различите тродимензионалне магичне конфигурације. Ипак, упркос томе што су први открили магичне квадрате и имали предност од неколико векова, кинески развој магичних квадрата је много инфериорнији у поређењу са индијским, блискоисточним или европским развојем. Чини се да је врхунац кинеске математике који се бави магичним квадратима садржан у делу Јанг Хуеја; али чак и као збирка старијих метода, ово дело је много примитивније, лишено општих метода за конструисање магичних квадрата било ког реда, у поређењу са сличном збирком коју је отприлике у исто време написао византијски учењак Манојло Мосхопулос. Ово је вероватно због опчињености кинеских учењака принципом Луо Шу, који су покушали да прилагоде за решавање виших квадрата; и након Јанг Хуеја и пада династије Јуан, њиховог систематског чишћења страних утицаја у кинеској математици.

Јапан

Јапан и Кина имају сличне математичке традиције и више пута су утицали једни на друге током историје развоја магичних квадрата. Јапанско интересовање за магичне квадрате почело је након ширења кинеских дела — Јанг Хуејеве Суанфе и Ченг Давејеве Суанфа тонгцунг — у 17. веку, и као резултат тога, скоро сви васани (стручњаци за јапанску математику) посветили су своје време проучавању магичних квадрата.

У издању Кецуги-шо из 1660. године, Исомура Китоку дао је и непарне и парне оивичене магичне квадрате, као и магичне кругове; док је издање исте књиге из 1684. године садржало велики одељак о магичним квадратима, показујући да је имао општи метод за конструкцију оивичених магичних квадрата. У делу Ђинко-ки (1665) Мурамацу Кудају Мосеија, приказани су и магични квадрати и магични кругови. Највећи квадрат који је Мосеи конструисао био је 19. реда. Различите магичне квадрате и магичне кругове такође су објавили Нозава Теичо у Докаи-шо (1666), Сато Сеико у Конгенки (1666), и Хосино Саненобу у Ко-ко-ген Шо (1673). Једна од Седам књига (Хођин Јенсан) (1683) аутора Секи Такаказуа у потпуности је посвећена магичним квадратима и круговима. Ово је прва јапанска књига која даје општи третман магичних квадрата у којој су јасно описани алгоритми за конструисање непарних, једноструко парних и двоструко парних оивичених магичних квадрата. Године 1694. и 1695., Јуеки Андо дао је различите методе за стварање магичних квадрата и приказао квадрате реда 3 до 30. Магичну коцку четвртог реда конструисао је Јошизане Танака (1651–1719) у делу Ракушо-кикан (1683). Проучавање магичних квадрата наставили су Секијеви ученици, нарочито Катахиро Такебе, чији су квадрати приказани у четвртом тому Ичиген Капо од Шукеи Ириеа, Јошисуке Мацунага у Хођин-Шин-јуцу, Јошихиро Курушима у Кјуши Ико који је поново открио методу за производњу непарних квадрата коју је дао Агрипа, и Наонобу Ађима. Тако су до почетка 18. века јапански математичари поседовали методе за конструкцију магичних квадрата произвољног реда. Након тога, покушаје пребројавања магичних квадрата покренуо је Нушизуми Јамађи.

Индија

Магични квадрат 3×3 у различитим оријентацијама формира не-нормални 6×6 магични квадрат, из неидентификованог индијског рукописа из 19. века.

Магични квадрат 3×3 први пут се појављује у Индији у делу Гаргасамхита од Гарге, који препоручује његову употребу за умиривање девет планета (наваграха). Најстарија верзија овог текста потиче из 100. године, али пасус о планетама није могао бити написан пре 400. године. Први пример магичног квадрата 3×3 у Индији који се може датирати јавља се у медицинском тексту Сидајог (око 966.) од Врнде, који се прописивао женама при порођају како би имале лакши порођај.

Најстарији магични квадрат четвртог реда на свету који се може датирати налази се у енциклопедијском делу које је написао Варахамихира око 550. године под називом Брихат Самхита. Магични квадрат је конструисан у сврху прављења парфема коришћењем 4 супстанце одабране између 16 различитих супстанци. Свака ћелија квадрата представља одређени састојак, док број у ћелији представља пропорцију повезаног састојка, тако да мешавина било које четири комбинације састојака дуж колона, редова, дијагонала и тако даље, даје укупну запремину смеше 18. Иако је књига углавном о прорицању, магични квадрат је дат као ствар комбинаторног дизајна, и не приписују му се никаква магична својства. Посебне карактеристике овог магичног квадрата коментарисао је Батотпала (око 900. године).

2	3	5	8
5	8	2	3
4	1	7	6
7	6	4	1

10	3	13	8
5	16	2	11
4	9	7	14
15	6	12	1

Квадрат Варахамихире како је горе дат има суму 18. Овде се бројеви од 1 до 8 појављују два пута у квадрату. То је пандијагонални магични квадрат. Четири различита магична квадрата се могу добити додавањем 8 једном од два скупа низа 1 до 8. Низ се бира тако да се број 8 додаје тачно два пута у сваком реду, свакој колони и на свакој од главних дијагонала. Један од могућих магичних квадрата приказан је на десној страни. Овај магични квадрат је изузетан по томе што представља ротацију за 90 степени магичног квадрата који се појављује у исламском свету 13. века као један од најпопуларнијих магичних квадрата.

Конструкција 4. реда магичног квадрата детаљно је описана у делу под насловом Каксапута, које је саставио алхемичар Нагарђуна око 10. века нове ере. Сви квадрати које даје Нагарђуна су 4×4 магични квадрати, а један од њих се зове Нагарђунија по њему. Нагарђуна је дао метод конструисања 4×4 магичног квадрата користећи примарни скелетни квадрат, са датом непарном или парном магичном сумом. Нагарђунија квадрат дат је у наставку и има укупан збир од 100.

30	16	18	36
10	44	22	24
32	14	20	34
28	26	40	6

7	1	4	6
2	8	5	3
5	3	2	8
4	6	7	1

Нагарђунија квадрат је пандијагонални магични квадрат. Састоји се од две аритметичке прогресије почевши од 6 и 16 са по осам чланова, са заједничком разликом између узастопних чланова 4. Када се ове две прогресије редукују на нормалну прогресију од 1 до 8, добија се суседни квадрат.

Око 12. века, 4×4 магични квадрат био је уписан на зиду храма Паршваната у граду Каџурахо, Индија. Неколико ђаинистичких химни учи како се праве магични квадрати, иако се не могу датирати.

Колико је познато, прво систематско проучавање магичних квадрата у Индији спровео је Такар Феру, ђаинистички учењак, у свом делу Ганитасара Каумуди (око 1315). Ово дело садржи мали одељак о магичним квадратима који се састоји од девет стихова. Овде он даје квадрат реда четири и алудира на његово преуређивање; класификује магичне квадрате у три категорије (непарни, парно парни и непарно парни) према њиховом реду; даје квадрат реда шест; и прописује по један метод за конструисање парних и непарних квадрата. За парне квадрате, Феру дели квадрат на саставне квадрате реда четири и ставља бројеве у ћелије према обрасцу стандардног квадрата реда четири. За непарне квадрате, Феру даје метод користећи потез скакача или витеза. Иако алгоритамски другачији, даје исти квадрат као и метод Де ла Лубера.

Следећи свеобухватни рад на магичним квадратима преузео је Нарајана Пандит, који у четрнаестом поглављу своје Ганита Каумуди (1356) даје опште методе за њихову конструкцију, заједно са принципима који регулишу такве конструкције. Састоји се од 55 стихова за правила и 17 стихова за примере. Нарајана даје метод за конструкцију свих панмагичних квадрата четвртог реда користећи потез скакача; набраја број пандијагоналних магичних квадрата реда четири, 384, укључујући сваку варијацију насталу ротацијом и рефлексијом; три опште методе за квадрате било ког реда са константном сумом када је познат стандардни квадрат истог реда; по две методе за конструкцију парно парних, непарно парних и непарних квадрата када је дат збир. Док Нарајана описује једну старију методу за сваку врсту квадрата, он тврди да је метода суперпозиције за парно парне и непарне квадрате, као и метода размене за непарно парне квадрате, његов сопствени изум. Методу суперпозиције касније је поново открио Филип де ла Ир у Европи. У последњем делу он осмишљава друге фигуре, попут кругова, правоугаоника и шестоуглова, у којима бројеви могу бити распоређени тако да поседују својства слична онима код магичних квадрата. Испод су неки од магичних квадрата које је конструисао Нарајана:

8	1	6
3	5	7
4	9	2

1	14	4	15
8	11	5	10
13	2	16	3
12	7	9	6

16	14	7	30	23
24	17	10	8	31
32	25	18	11	4
5	28	26	19	12
13	6	29	22	20

1	35	4	33	32	6
25	11	9	28	8	30
24	14	18	16	17	22
13	23	19	21	20	15
12	26	27	10	29	7
36	2	34	3	5	31

35	26	17	1	62	53	44
46	37	21	12	3	64	55
57	41	32	23	14	5	66
61	52	43	34	25	16	7
2	63	54	45	36	27	11
13	4	65	56	47	31	22
24	15	6	67	51	42	33

60	53	44	37	4	13	20	29
3	14	19	30	59	54	43	38
58	55	42	39	2	15	18	31
1	16	17	32	57	56	41	40
61	52	45	36	5	12	21	28
6	11	22	27	62	51	46	35
63	50	47	34	7	10	23	26
8	9	24	25	64	49	48	33

Квадрат 8. реда је сам по себи интересантан јер представља инстанцу најсавршенијег магичног квадрата. Узгред, Нарајана наводи да је сврха проучавања магичних квадрата конструкција јантре, како би се уништио его лоших математичара, а ради задовољства добрих математичара. Тема магичних квадрата се назива бадраганита, а Нарајана наводи да је људе овоме прво подучио бог Шива.

Блиски исток, Северна Африка, Исламска Иберија

Магични квадрат 6×6 из Књиге чуда (из рукописа из 16. века).

Иако рана историја магичних квадрата у Персији и Арабији није позната, сугерисано је да су били познати у преисламско време. Јасно је, међутим, да је проучавање магичних квадрата било уобичајено у средњовековном исламу (Златно доба ислама), а сматрало се да је почело након увођења шаха у тај регион. Прво појављивање магичног квадрата реда 3 које се може датирати налази се у делу Џабира ибн Хајана (око 721 – око 815) Китаб ал-мавазин ал-Сагхир (Мала књига равнотеже) где су магични квадрат и његова припадајућа нумерологија повезани са алхемијом. Иако је познато да су расправе о магичним квадратима писане у 9. веку, најраније сачуване расправе потичу из 10. века: једна од Абул Вефа Мухамеда ал Бузђанија (око 998) и друга од Алија б. Ахмада ал-Антакија (око 987). Ове ране расправе биле су чисто математичке, а арапска ознака за магичне квадрате која се користи је wafq al-a'dad, што се преводи као хармоничан распоред бројева. До краја 10. века, две расправе Бузђанија и Антакија јасно показују да су блискоисточни математичари разумели како да конструишу оивичене квадрате било ког реда, као и једноставне магичне квадрате малих редова (n ≤ 6) који су се користили за израду сложених магичних квадрата. Примерци магичних квадрата реда од 3 до 9 које су осмислили блискоисточни математичари појављују се у енциклопедији из Багдада око 983. године, Расаил Ихван ал-Сафа (Енциклопедија Бреће чистоте). Квадрати реда 3 до 7 из Расаила дати су испод:

2	7	6
9	5	1
4	3	8

4	14	15	1
9	7	6	12
5	11	10	8
16	2	3	13

21	3	4	12	25
15	17	6	19	8
10	24	13	2	16
18	7	20	9	11
1	14	22	23	5

11	22	32	5	23	18
25	16	7	30	13	20
27	6	35	36	4	3
10	31	1	2	33	34
14	19	8	29	26	15
24	17	28	9	12	21

47	11	8	9	6	45	49
4	37	20	17	16	35	46
2	18	26	21	28	32	48
43	19	27	25	23	31	7
38	36	22	29	24	14	12
40	15	30	33	34	13	10
1	39	42	41	44	5	3

У 11. веку пронађено је неколико начина за конструисање једноставних магичних квадрата за непарне и парно парне редове; тежи случај непарно парних редова (n = 4k + 2) решио је Ибн ал Хаитам са парним k (око 1040), а потпуно до почетка 12. века, ако не већ у другој половини 11. века. Отприлике у исто време, конструисани су и пандијагонални квадрати. Расправе о магичним квадратима биле су бројне у 11. и 12. веку. Ови каснији догађаји углавном су представљали побољшања или поједностављења постојећих метода. Од 13. века па надаље, магични квадрати су се све више користили у окултне сврхе. Међутим, већина ових каснијих текстова написаних у окултне сврхе само приказује одређене магичне квадрате и спомиње њихове атрибуте, без описивања њиховог принципа конструкције, док је само неколико аутора одржавало општу теорију живом. Један од таквих окултиста био је алжирски Ахмад ал-Буни (око 1225), који је дао опште методе за конструисање оивичених магичних квадрата; неки други су били египатски Шабрамалиси из 17. века и нигеријски ал-Кишнави из 18. века.

Магични квадрат трећег реда био је описиван као амајлија за рађање деце од свог првог књижевног појављивања у алхемијским делима Џабира ибн Хајана (око 721 – око 815) и Ал Газалија (1058–1111) и сачуван је у традицији планетарних табела. Најраније повезивање седам магичних квадрата са врлинама седам небеских тела појављује се код андалуског учењака Ал-Заркалија (у Европи познатог као Азаркуел) (1029–1087) у делу Китаб тадбират ал-кавакиб (Књига о утицајима планета). Век касније, алжирски учењак Ахмад ал-Буни приписао је мистична својства магичним квадратима у својој веома утицајној књизи Шамс ал-Маариф (Књига Сунца Гнозе и Суптилности Узвишених Ствари), која такође описује њихову конструкцију. Ова традиција о серији магичних квадрата од трећег до деветог реда, који су повезани са седам планета, опстаје у грчким, арапским и латинским верзијама. Такође постоје референце о употреби магичних квадрата у астролошким прорачунима, пракса за коју се чини да потиче од Арапа.

Латинска Европа

Ова страница из дела Атанасијуса Кирхера Оедипус Египцијакус (1653) припада расправи о магичним квадратима и приказује Sigillum Iovis повезан са Јупитером.

За разлику од Персије и Арабије, постоји боља документација о томе како су магични квадрати пренети у Европу. Око 1315. године, под утицајем арапских извора, грчки византијски учењак Манојло Мосхопулос написао је математичку расправу на тему магичних квадрата, изостављајући мистицизам својих блискоисточних претходника, где је дао два метода за непарне квадрате и два метода за парно парне квадрате. Мосхопулос је био у основи непознат латинској Европи до касног 17. века, када је Филип де ла Ир поново открио његову расправу у Краљевској библиотеци у Паризу. Међутим, он није био први Европљанин који је писао о магичним квадратима; магични квадрати су проширени на остатак Европе кроз Шпанију и Италију као окултни објекти. Ране окултне расправе које су приказивале квадрате нису описивале како су они конструисани. Тако је цела теорија морала бити поново откривена.

Магични квадрати први пут су се појавили у Европи у Китаб тадбират ал-кавакиб (Књизи о утицајима планета) коју је написао Ибн Заркали из Толеда, Ал Андалуз, као планетарни квадрати до 11. века. О магичном квадрату броја три расправљао је у нумеролошком маниру почетком 12. века јеврејски учењак Абрахам ибн Езра из Толеда, што је утицало на касније кабалисте. Ибн Заркалијево дело преведено је као Либро де Астромагиа 1280-их година, захваљујући Алфонсу X од Кастиље. У Алфонсовом тексту, магични квадрати различитих редова додељени су одговарајућим планетама, као у исламској литератури; нажалост, од свих разматраних квадрата, магични квадрат Марса реда пет је једини квадрат изложен у рукопису.

Магични квадрати поново израњају у Фиренци у Италији у 14. веку. Квадрат 6×6 и 9×9 приказани су у рукопису Тратато д'Абако (Расправа о абакусу) Паола Дагомарија. Занимљиво је приметити да их Паоло Дагомари, као и Лука Пачоли након њега, помиње као корисну основу за измишљање математичких питања и игара, не помињући било какву магијску употребу. Ипак, успут их такође назива Сунчевим и Месечевим квадратима и спомиње да улазе у астролошке прорачуне који нису боље прецизирани. Као што је речено, изгледа да исти мотив мотивише и његовог суграђанина из Фиренце Луку Пачолија, који описује квадрате од 3×3 до 9×9 у свом делу De Viribus Quantitatis крајем 15. века.

Европа након 15. века

Страница из дела Симона де ла Лубера Du Royaume de Siam (1691) која приказује индијски метод конструисања непарног магичног квадрата.

Планетарни квадрати су се проширили на северну Европу до краја 15. века. На пример, Краковски рукопис Пикатрикса из Пољске приказује магичне квадрате реда 3 до 9. Исти скуп квадрата као у Краковском рукопису касније се појављује у списима Парацелзуса у Archidoxa Magica (1567), иако у веома искривљеном облику. Албрехт Дирер је 1514. овековечио квадрат 4×4 у свом чувеном бакрорезу Меланхолија I. Парацелзусов савременик Хајнрих Корнелијус Агрипа фон Нетесхајм објавио је своју чувену књигу у три тома De occulta philosophia 1531. године, где је поглавље 22 Књиге II посветио планетарним квадратима приказаним испод. Исти скуп квадрата који је дао Агрипа поново се појављује 1539. у Practica Arithmetice Ђиролама Кардана, где објашњава конструкцију непарних квадрата користећи „дијамантски метод”, који је касније репродуковао Баше. Традицију планетарних квадрата наставио је у 17. веку Атанасијус Кирхер у Oedipi Aegyptici (1653). У Немачкој су математичке расправе о магичним квадратима написали 1544. Михаел Штифел у Arithmetica Integra, који је поново открио оивичене квадрате, и Адам Риз, који је поново открио метод континуираног нумерисања за конструисање непарних квадрата који је објавио Агрипа. Међутим, због верских превирања тог времена, ова дела била су непозната остатку Европе.

Сатурн=15

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Јупитер=34

4	14	15	1
9	7	6	12
5	11	10	8
16	2	3	13

Марс=65

11	24	7	20	3
4	12	25	8	16
17	5	13	21	9
10	18	1	14	22
23	6	19	2	15

Сунце=111

6	32	3	34	35	1
7	11	27	28	8	30
19	14	16	15	23	24
18	20	22	21	17	13
25	29	10	9	26	12
36	5	33	4	2	31

Венера=175

22	47	16	41	10	35	4
5	23	48	17	42	11	29
30	6	24	49	18	36	12
13	31	7	25	43	19	37
38	14	32	1	26	44	20
21	39	8	33	2	27	45
46	15	40	9	34	3	28

Меркур=260

8	58	59	5	4	62	63	1
49	15	14	52	53	11	10	56
41	23	22	44	45	19	18	48
32	34	35	29	28	38	39	25
40	26	27	37	36	30	31	33
17	47	46	20	21	43	42	24
9	55	54	12	13	51	50	16
64	2	3	61	60	6	7	57

Месец=369

37	78	29	70	21	62	13	54	5
6	38	79	30	71	22	63	14	46
47	7	39	80	31	72	23	55	15
16	48	8	40	81	32	64	24	56
57	17	49	9	41	73	33	65	25
26	58	18	50	1	42	74	34	66
67	27	59	10	51	2	43	75	35
36	68	19	60	11	52	3	44	76
77	28	69	20	61	12	53	4	45

У Француској 1624. године, Клод Гаспар Баше де Мезиријак описао је „дијамантски метод” за конструисање Агрипиних непарних квадрата у својој књизи Problèmes Plaisants. Током 1640. године Бернар Френикл де Беси и Пјер де Ферма разменили су писма о магичним квадратима и коцкама, а у једном од писама Ферма се хвали како је својом методом у стању да конструише 1.004.144.995.344 магична квадрата реда 8. Рани извештај о конструкцији оивичених квадрата дао је Антоан Арно у свом Nouveaux éléments de géométrie (1667). У две расправе, Des quarrez ou tables magiques и Table générale des quarrez magiques de quatre de côté, објављене постхумно 1693. године, двадесет година након његове смрти, Бернар Френикл де Беси показао је да постоји тачно 880 различитих магичних квадрата реда четири. Френикл је дао методе за конструисање магичних квадрата било ког непарног и парног реда, при чему су квадрати парног реда конструисани помоћу граница. Такође је показао да међусобна замена редова и колона магичног квадрата производи нове магичне квадрате. Године 1691. Симон де ла Лубер описао је индијску континуирану методу за конструисање непарних магичних квадрата у својој књизи Du Royaume de Siam, коју је научио враћајући се из дипломатске мисије у Сијаму, а која је била бржа од Башеове методе. У покушају да објасни њено деловање, де ла Лубер је користио примарне и коренске бројеве, те поново открио методу додавања два прелиминарна квадрата. Ову методу су даље истраживали опат Поањар у Traité des quarrés sublimes (1704), Филип де ла Ир у Mémoires de l'Académie des Sciences за Краљевску академију (1705) и Жозеф Совер у Construction des quarrés magiques (1710). Концентричне оивичене квадрате такође је проучавао де ла Ир 1705. године, док је Совер увео магичне коцке и словне квадрате, што је касније преузео Ојлер 1776. године, коме се често приписује њихово осмишљавање. Године 1750. д'Онс-л-Бре је поново открио метод конструисања двоструко парних и једноструко парних квадрата помоћу технике оивичења; док је 1767. Бенџамин Френклин објавио полумагични квадрат који је имао својства истоименог Френклиновог квадрата. До тог времена ранији мистицизам везан за магичне квадрате је потпуно нестао, и тема се третирала као део рекреативне математике.

У 19. веку, Бернар Виол дао је свеобухватан третман магичних квадрата у свом тротомном делу Traité complet des carrés magiques (1837–1838), које је такође описивало магичне коцке, паралелограме, паралелопипеде и кругове. Пандијагоналне квадрате опширно је проучавао Ендру Холингворт Фрост, који је за њих сазнао док је био у граду Насику, у Индији (стога их називајући Насик квадратима) у низу чланака: О путу витеза (1877), О општим особинама Насик квадрата (1878), О општим особинама Насик коцки (1878), О конструкцији Насик квадрата било ког реда (1896). Он је показао да је немогуће имати нормалан једноструко-паран пандијагонални магични квадрат. Фредерик А. П. Барнард је конструисао уметнуте магичне квадрате и друге тродимензионалне магичне фигуре попут магичних сфера и магичних цилиндара у делу Теорија магичних квадрата и магичних коцки (1888). Године 1897, Емрој Маклинток објавио је О најсавршенијем облику магичних квадрата, сковавши речи пандијагонални квадрат и најсавршенији квадрат, који су се раније називали савршеним, ђаволским или Насик квадратима.

Неки познати магични квадрати

Луо Шу из "Астрономских феномена" (Tien Yuan Fa Wei). Саставио Бао Јунлонг у 13. веку, објављено током династије Минг, 1457–1463.

Луо Шу магични квадрат

Шаблон:Главни чланак Легенде које датирају још из 650. године п. н. е. причају причу о Луо Шу (洛書) или „свитку реке Луо”. Према легенди, у древној Кини је једном била велика поплава. Док је велики краљ Ју покушавао да каналише воду у море, из ње је изронила корњача са необичним узорком на оклопу: мрежом 3×3 у којој су кружне тачке бројева биле распоређене тако да је збир бројева у сваком реду, колони и дијагонали био исти: 15. Према легенди, људи су након тога могли да користе овај образац на одређени начин како би контролисали реку и заштитили се од поплава. Луо Шу квадрат, како се назива магични квадрат на оклопу корњаче, јединствени је нормални магични квадрат трећег реда у којем је 1 на дну, а 2 у горњем десном углу. Сваки нормални магични квадрат трећег реда добија се од Луо Шу квадрата ротацијом или рефлексијом.

Магични квадрат у храму Паршваната

Магични квадрат у храму Паршваната у Каџураху, Индија

Постоји познати нормални магични квадрат 4×4 из 12. века уписан на зиду храма Паршваната у Каџураху, Индија.

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

Овај квадрат је познат као Чаутиса Јантра (Чаутиса, 34; Јантра, дословно „уређај”), јер је његова магична сума 34. То је један од три 4×4 пандијагонална магична квадрата и такође представља инстанцу најсавршенијег магичног квадрата. Проучавање овог квадрата довело је до тога да европски математичари крајем 19. века почну да цене пандијагоналне квадрате. Пандијагонални квадрати су се у старијој енглеској литератури називали Насик квадратима или ђаинистичким квадратима.

Магични квадрат Албрехта Дирера

Детаљ са Меланхолије I

Нормални магични квадрат реда четири који је Албрехт Дирер овековечио у свом бакрорезу из 1514. године, Меланхолија I, поменут горе, верује се да је први такав квадрат виђен у европској уметности. Квадрат повезан са Јупитером појављује се као талисман који се користи за одбијање меланхолије. Веома је сличан квадрату Јанг Хуеја, који је настао у Кини око 250 година пре Диреровог времена. Као и код сваког нормалног магичног квадрата реда 4, магична сума је 34. Али у Диреровом квадрату ова сума се такође налази у сваком од квадраната, у четири централна квадрата и у угаоним квадратима (мреже 4×4, као и четири садржане мреже 3×3). Ова сума се такође може пронаћи у четири спољна броја у смеру казаљке на сату почевши од углова (3+8+14+9) и на исти начин у супротном смеру (локације четири даме у два решења проблема са 4 даме), у два скупа од четири симетрична броја (2+8+9+15 и 3+5+12+14), збиру средња два уноса двеју спољних колона и редова (5+9+8+12 и 3+2+15+14) и у четири квартата у облику змаја или крста (3+5+11+15, 2+10+8+14, 3+9+7+15 и 2+6+12+14). Два броја у средини доњег реда дају датум гравуре: 1514. Бројеви 1 и 4 са обе стране датума одговарају словима "А" и "Д", иницијалима уметника.

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Диреров магични квадрат се такође може проширити на магичну коцку. Шаблон:Види још

Магични квадрат Саграда Фамилије

Магични квадрат на фасади Саграда Фамилије

Фасада Пасије на цркви Саграда Фамилија у Барселони, коју је осмислио Антони Гауди, а дизајнирао вајар Ђузеп Марија Субиракс, садржи тривијални магични квадрат реда 4: Магична константа квадрата је 33, Христове године у време његовог страдања. Структурално је веома сличан магичном квадрату са Дирерове Меланхолије, али су му бројеви у четири ћелије смањени за 1.

1	14	14	4
11	7	6	9
8	10	10	5
13	2	3	15

Тривијални квадрати попут овог генерално нису математички занимљиви и имају само историјски значај. Ли Селоуз је истакао да је, због Субираксовог непознавања теорије магичних квадрата, чувени вајар направио беспотребну грешку, и подржава ову тврдњу дајући неколико примера нетривијалних 4×4 магичних квадрата који приказују жељену магичну константу 33.

Слично Диреровом магичном квадрату, магични квадрат Саграда Фамилије такође се може проширити на магичну коцку.

Својства магичних квадрата

Магична константа

Шаблон:Главни чланак Константа која представља збир било ког реда, колоне или дијагонале назива се магична константа или магична сума, M. Сваки нормални магични квадрат има константу зависну од реда Шаблон:Mvar, израчунату по формули $M=n(n^2+1)/2$. Ово се може показати ако се примети да је збир бројева $1,2,\mathrm{...},n^2$ једнак $n^2(n^2+1)/2$. Пошто је збир сваког реда $M$, збир $n$ редова је $nM=n^2(n^2+1)/2$, што када се подели са редом Шаблон:Mvar даје магичну константу као $M=n(n^2+1)/2$. За нормалне магичне квадрате редова n = 3, 4, 5, 6, 7 и 8, магичне константе су, редом: 15, 34, 65, 111, 175 и 260.

Магични квадрат реда 1 је тривијалан

Магични квадрат 1×1, са само једном ћелијом која садржи број 1, назива се тривијалним, јер се обично не узима у обзир када се расправља о магичним квадратима; али то јесте магични квадрат по дефиницији, ако се појединачна ћелија посматра као квадрат првог реда.

Магични квадрат реда 2 не може бити конструисан

Нормални магични квадрати свих величина могу се конструисати осим квадрата 2×2 (односно, где је ред n = 2).

Центар масе

Ако се бројеви у магичном квадрату посматрају као масе смештене у различитим ћелијама, тада се центар масе магичног квадрата поклапа са његовим геометријским центром.

Момент инерције

Момент инерције магичног квадрата дефинисан је као збир преко свих ћелија броја у ћелији помноженог са квадратом удаљености од центра ћелије до центра квадрата; овде је мерна јединица ширина једне ћелије. (Тако на пример угаона ћелија квадрата 3×3 има растојање од $\sqrt{2},$ неугаона ивична ћелија има растојање од 1, а централна ћелија има растојање од 0.) Тада сви магични квадрати датог реда имају исти момент инерције једни у односу на друге. За случај реда 3 момент инерције је увек 60, док је за случај реда 4 момент инерције увек 340. Генерално, за случај n×n момент инерције је $n^2(n^4-1)/12.$

Биркоф—фон Нојманова декомпозиција

Дељење сваког броја магичног квадрата магичном константом даће двоструко стохастичку матрицу, чији су збирови редова и колона једнаки јединици. Међутим, за разлику од двоструко стохастичке матрице, збирови на дијагоналама таквих матрица ће такође бити једнаки јединици. Дакле, такве матрице чине подскуп двоструко стохастичке матрице. Теорема Биркоф-фон Нојман наводи да за било коју двоструко стохастичку матрицу $A$, постоје реални бројеви ${\theta }_1,\dots ,{\theta }_k\ge 0$, где је $\sum _{i=1}^k{\theta }_i=1$ и пермутационе матрице $P_1,\dots ,P_k$ такве да важи

$A={\theta }_1{P}_1+\cdots +{\theta }_k{P}_k.$

Ова репрезентација у општем случају можда није јединствена. Према Маркус-Ријевој теореми, међутим, не мора бити више од $k\le n^2-2n+2$ чланова у било којој декомпозицији. Јасно је да се ова декомпозиција преноси и на магичне квадрате, пошто се магични квадрат може повратити из двоструко стохастичке матрице множењем исте магичном константом.

Класификација магичних квадрата

Ојлеров дијаграм својстава неких типова магичних квадрата 4×4. Ћелије исте боје сабирају се у магичну константу.
* У најсавршенијим магичним квадратима 4×4, сваке 2 ћелије које су 2 ћелије дијагонално раздвојене (укључујући премотавање) сабирају се у половину магичне константе, отуда се свака 2 таква пара такође сабирају у магичну константу.

Иако се класификација магичних квадрата може урадити на много начина, неке корисне категорије су дате у наставку. Квадратни низ n×n целих бројева 1, 2, ..., n² назива се:

• Полумагични квадрат када се његови редови и колоне сабирају и дају магичну константу.
• Прости магични квадрат када се његови редови, колоне и две дијагонале сабирају дајући магичну константу и ништа више од тога. Познати су и као обични магични квадрати или нормални магични квадрати.
• Самокомплементарни магични квадрат када се ради о магичном квадрату који када се допуни (тј. сваки број одузме од n² + 1) даје ротирану или рефлектовану верзију оригиналног магичног квадрата.
• Асоцијативни магични квадрат када је магични квадрат са додатним својством да сваки број додат броју на једнакој удаљености, у правој линији, од центра даје n² + 1. Називају се и симетричним магичним квадратима. Асоцијативни магични квадрати не постоје за квадрате једноструко парног реда. Сви асоцијативни магични квадрати су уједно и самокомплементарни магични квадрати.
• Пандијагонални магични квадрат када је то магични квадрат са додатним својством да се преломљене дијагонале сабирају у магичну константу. Зову се још и панмагични квадрати, савршени квадрати, ђаволски квадрати, ђаинистички квадрати или Насик квадрати. Панмагични квадрати не постоје за једноструко парне редове. Међутим, једноструко парни не-нормални квадрати могу бити панмагични.
• Ултрамагични квадрат када је и асоцијативан и пандијагоналан магични квадрат. Ултрамагични квадрати постоје само за редове n ≥ 5.
• Оивичени магични квадрат када је магични квадрат који остаје магичан чак и када се уклоне редови и колоне на спољној ивици. Такође се називају концентрични оивичени магични квадрати ако уклањање границе квадрата узастопно даје још један мањи оивичени магични квадрат. Оивичени магични квадрат не постоји за ред 4.
• Сложени магични квадрат када је магични квадрат створен "множењем" (у неком смислу) мањих магичних квадрата, тако да је ред сложеног магичног квадрата умножак реда мањих квадрата. Такви квадрати се обично могу поделити на мање магичне подквадрате који се не преклапају.
• Уметнути магични квадрат када је то магични квадрат унутар кога је уграђен магични подквадрат, без обзира на технику конструкције. Уграђени магични подквадрати се сами по себи називају умеци.
• Најсавршенији магични квадрат када је то пандијагонални магични квадрат са још два својства: (i) сваки 2×2 подквадрат додаје 1/k магичне константе где је n = 4k, и (ii) сви парови целих бројева удаљени n/2 дуж било које дијагонале (главне или преломљене) су комплементарни (тј. њихов збир је n² + 1). Прво својство се назива компактност, док се друго својство назива комплетност. Најсавршенији магични квадрати постоје само за квадрате двоструко парног реда. Сви пандијагонални квадрати реда 4 су такође најсавршенији.
• Френклинов магични квадрат када је двоструко паран магични квадрат са три додатна својства: (i) свака савијена дијагонала сабира се у магичну константу, (ii) сваки полуред и полуколона почевши од спољне ивице додаје се у половину магичне константе, и (iii) квадрат је компактан.
• Мултимагични квадрат када је то магични квадрат који остаје магичан чак и ако се сви његови бројеви замене њиховим k-тим степеном за 1 ≤ k ≤ P. Такође су познати као P-мултимагични квадрат или сатански квадрати. Означени су и као бимагични квадрати, тримагични квадрати, тетрамагични квадрати и пентамагични квадрати када је вредност P 2, 3, 4, односно 5.

Пребројавање магичних квадрата

Постоји само један (тривијални) магични квадрат реда 1 и ниједан магични квадрат реда 2. Као што је горе поменуто, скуп нормалних квадрата реда три чини јединствену класу еквиваленције - сви еквивалентни Луо Шу квадрату. Дакле, у основи постоји само један нормални магични квадрат реда 3.

Број различитих n × n магичних квадрата за n од 1 до 6, не рачунајући ротације и рефлексије, је:

1, 0, 1, 880, 275305224, 17753889197660635632.

Магични торуси

Упоређен са горњим низом, нова класификација набраја магичне торусе који приказују ове магичне квадрате. Број магичних торуса реда n од 1 до 5 је:

1, 0, 1, 255, 251449712.

Квадрати и торуси вишег реда

Семи-лог дијаграм Pn, вероватноће магичних квадрата димензије n

Број различитих нормалних магичних квадрата убрзано расте за више редове.

880 магичних квадрата реда 4 приказано је на 255 магичних торуса реда 4, а 275.305.224 квадрата реда 5 приказано је на 251.449.712 магичних торуса реда 5. Бројеви магичних торуса и различитих нормалних квадрата још увек нису познати за редове веће од 5, односно 6.

Алгоритми теже да генеришу само магичне квадрате одређеног типа или класификације, што чини пребројавање свих могућих магичних квадрата прилично тешким. Пошто су се традиционалне методе пребројавања показале неуспешним, примењена је статистичка анализа коришћењем Монте Карло методе. Основни принцип који се примењује на магичне квадрате јесу насумично генерисане матрице n × n елемената од 1 до n² и проверава се да ли је резултат магични квадрат. Вероватноћа да је насумично генерисана матрица бројева магични квадрат се затим користи за приближно одређивање броја магичних квадрата.

Сложеније верзије Монте Карло методе, као што су Монте Карло са разменом и Монте Карло са враћањем, произвеле су још тачније процене. Коришћењем ових метода показано је да вероватноћа магичних квадрата брзо опада како n расте. Коришћење функција уклапања даје криве које се виде на десној страни.

Трансформације које чувају магично својство

За сваки магични квадрат

• Магични квадрат остаје магичан када се његови бројеви помноже било којом константом.
• Магични квадрат остаје магичан када се константа дода или одузме његовим бројевима, или ако се његови бројеви одузму од константе. Конкретно, ако се сваки елемент у нормалном магичном квадрату одузме од n² + 1, резултујући квадрат је комплемент оригиналног квадрата. У примеру испод, елементи квадрата 4×4 на левој страни се одузимају од 17 да би се добио комплемент квадрата на десној страни.

10	3	13	8
5	16	2	11
4	9	7	14
15	6	12	1

7	14	4	9
12	1	15	6
13	8	10	3
2	11	5	16

• Бројеви магичног квадрата могу се заменити одговарајућим бројевима из скупа s аритметичких прогресија са истом заједничком разликом између r чланова, тако да је r × s = n², и чији су почетни чланови такође у аритметичкој прогресији, да би се добио не-нормални магични квадрат. Овде или s или r треба да буде умножак од n. Нека имамо s аритметичких прогресија датих са

$\begin{array}{ccccc}a& a+c& a+2c& \cdots & a+(r-1)c\\ a+d& a+c+d& a+2c+d& \cdots & a+(r-1)c+d\\ a+2d& a+c+2d& a+2c+2d& \cdots & a+(r-1)c+2d\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a+(s-1)d& a+c+(s-1)d& a+2c+(s-1)d& \cdots & a+(r-1)c+(s-1)d\end{array}$

где је a почетни члан, c је заједничка разлика аритметичких прогресија, а d је заједничка разлика између почетних чланова сваке прогресије. Нова магична константа ће бити

$M=na+\frac{n}{2}[(r-1)c+(s-1)d].$

Ако је s = r = n, тада имамо поједностављење

$M=na+\frac{n}{2}(n-1)(c+d).$

Ако даље имамо a = c = 1 и d = n, добијамо уобичајено M = n(n²+1)/2. За дато M можемо пронаћи потребне a, c и d решавањем линеарне диофантске једначине. У примерима испод имамо нормални магични квадрат реда 4 на крајњој левој страни. Други квадрат је одговарајући не-нормални магични квадрат са r = 8, s = 2, a = 1, c = 1 и d = 10 тако да је нова магична константа M = 38. Трећи квадрат је нормалан магични квадрат реда 5, који представља ротирану верзију квадрата добијеног Де ла Луберовом методом за 90 степени у смеру казаљке на сату. На крајњој десној страни налази се одговарајући не-нормални магични квадрат са a = 4, c = 1 и d = 6 тако да је нова магична константа M = 90.

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

1	17	16	4
14	6	7	11
8	12	13	5
15	3	2	18

11	10	4	23	17
18	12	6	5	24
25	19	13	7	1
2	21	20	14	8
9	3	22	16	15

16	14	7	30	23
24	17	10	8	31
32	25	18	11	4
5	28	26	19	12
13	6	29	22	20

• Сваки магични квадрат може се ротирати и рефлектовати тако да се добије 8 тривијално различитих квадрата. У теорији магичних квадрата, сви они се генерално сматрају еквивалентним и за тих осам квадрата каже се да чине једну класу еквиваленције. У расправама о магичним квадратима, еквивалентни квадрати се обично не сматрају различитим. 8 еквивалентних квадрата је дато за магични квадрат 3×3 испод:

8	1	6
3	5	7
4	9	2

6	1	8
7	5	3
2	9	4

2	7	6
9	5	1
4	3	8

4	3	8
9	5	1
2	7	6

2	9	4
7	5	3
6	1	8

4	9	2
3	5	7
8	1	6

8	3	4
1	5	9
6	7	2

6	7	2
1	5	9
8	3	4

• За дати магични квадрат, други магични квадрат истог реда може се формирати заменом реда и колоне који се секу у ћелији на једној дијагонали са редом и колоном који се секу у комплементарној ћелији (тј. ћелији симетрично супротној од центра) на истој дијагонали. За паран квадрат, постоји n/2 парова редова и колона који се могу мењати; тако можемо добити 2^n/2 еквивалентних магичних квадрата комбиновањем таквих замена. За непаран квадрат, постоји (n−1)/2 парова редова и колона који се могу мењати; и добија се 2^(n−1)/2 еквивалентних магичних квадрата комбиновањем таквих замена. Замена свих редова и колона ротира квадрат за 180 степени. У примеру који користи магични квадрат 4×4, леви квадрат је оригинални квадрат, док је десни квадрат нови квадрат добијен заменом 1. и 4. реда и колоне.

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

16	3	2	13
9	6	7	12
5	10	11	8
4	15	14	1

• За било који магични квадрат, нови магични квадрат истог реда може се формирати заменом два реда на једној страни централне линије, а затим заменом одговарајућа два реда на другој страни централне линије; потом заменом сличних колона. За паран квадрат, пошто постоји n/2 редова и колона са исте стране, постоји n(n−2)/8 парова таквих редова и колона који се могу мењати. Тако можемо добити 2^n(n−2)/8 еквивалентних магичних квадрата комбиновањем оваквих замена. За непаран квадрат, пошто постоји (n−1)/2 редова и колона са исте стране, постоји (n−1)(n−3)/8 парова таквих редова и колона који се могу мењати. Тако постоји 2^{(n−1)(n−3)/8} еквивалентних магичних квадрата добијених комбиновањем таквих замена. Мењањем свих могућих парова редова и колона ротира се сваки квадрант квадрата за 180 степени. У примеру са магичним квадратом 4×4, леви квадрат је оригинални квадрат, док је десни квадрат нови квадрат добијен овом трансформацијом. У средњем квадрату, 1. ред је замењен са 2. редом; а 3. и 4. ред су замењени међусобно. Коначни квадрат на десној страни добија се заменом колона 1 и 2, те колона 3 и 4 из средњег квадрата. У овом конкретном примеру, ова трансформација се своди на ротирање квадраната за 180 степени. Средњи квадрат је такође магични квадрат, пошто је оригинални квадрат асоцијативни магични квадрат.

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

12	6	7	9
1	15	14	4
13	3	2	16
8	10	11	5

6	12	9	7
15	1	4	14
3	13	16	2
10	8	5	11

• Магични квадрат остаје магичан када се замене било који од његових нецентралних редова x и y, заједно са заменом њихових комплементарних редова n − x + 1 и n − y + 1; а затим заменом сличних колона. Ово је генерализација горње две трансформације. Када је y = n − x + 1, ова трансформација се своди на прву од горње две трансформације. Када су x и y на истој страни централне линије, ова трансформација се своди на другу од горње две трансформације. У примеру испод, оригинални квадрат је на левој страни, док је коначни квадрат на десној. Средњи квадрат је добијен заменом редова 1 и 3, и редова 2 и 4 оригиналног квадрата. Коначни квадрат на десној страни се добија заменом колона 1 и 3, и колона 2 и 4 средњег квадрата. У овом примеру, ова трансформација се своди на дијагоналну замену квадраната. Пошто је оригинални квадрат асоцијативан, средњи квадрат се такође показује као магичан.

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

8	10	11	5
13	3	2	16
1	15	14	4
12	6	7	9

11	5	8	10
2	16	13	3
14	4	1	15
7	9	12	6

• Магични квадрат остаје магичан када се његови квадранти дијагонално замене јер је ово још једна симетрична пермутација облика описаног горе. За парни ред $n$, пермутовати редове и колоне пермутацијом $p$ где је $p(i)=i+\frac{n}{2}$ за $i\le \frac{n}{2}$, и $p(i)=i-\frac{n}{2}$ за $i>\frac{n}{2}$. За непарни ред $n$, пермутовати редове и колоне пермутацијом $p$ где је $p(i)=i+\frac{n+1}{2}$ за $i<\frac{n+1}{2}$, и $p(i)=i-\frac{n+1}{2}$ за $i>\frac{n+1}{2}$. За квадрат непарног реда, половине централног реда и колоне се такође мењају. Примери за магичне квадрате 4. и 5. реда дати су испод:

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

11	5	8	10
2	16	13	3
14	4	1	15
7	9	12	6

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

21	3	19	10	12
2	9	25	11	18
20	22	13	4	6
8	15	1	17	24
14	16	7	23	5

За асоцијативне магичне квадрате

• Асоцијативни магични квадрат остаје асоцијативан када се замене два реда или колоне једнако удаљене од центра. За паран квадрат, постоји n/2 парова редова или колона који се могу мењати; тако се може добити Шаблон:Nowrap еквивалентних магичних квадрата комбиновањем таквих замена. За непаран квадрат, постоји Шаблон:Nowrap парова редова или колона који се могу мењати; и добија се 2ⁿ⁻¹ еквивалентних магичних квадрата комбиновањем таквих замена. Мењањем свих редова квадрат се преокреће вертикално (тј. рефлектује дуж хоризонталне осе), док мењање свих колона преокреће квадрат хоризонтално (тј. рефлектује дуж вертикалне осе). У примеру испод, асоцијативни магични квадрат 4×4 са леве стране трансформише се у квадрат на десној страни заменом другог и трећег реда, дајући чувени Диреров магични квадрат.

16	3	2	13
9	6	7	12
5	10	11	8
4	15	14	1

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

• Асоцијативни магични квадрат остаје асоцијативан када се два реда (или колоне) са исте стране замене заједно са одговарајућим редовима (или колонама) са друге стране. За паран квадрат, пошто постоји n/2 редова (или колона) на истој страни, постоји n(n − 2)/8 парова таквих редова (или колона) који се могу мењати. Тако можемо добити 2^{n(n − 2)/8} × 2^{n(n − 2)/8} = 2^{n(n − 2)/4} еквивалентних магичних квадрата комбиновањем оваквих замена. За непаран квадрат, пошто постоји (n − 1)/2 редова или колона на истој страни, постоји (n − 1)(n − 3)/8 парова таквих редова или колона који се могу мењати. Тако постоји 2^{(n − 1)(n − 3)/8} × 2^{(n − 1)(n − 3)/8} = 2^{(n − 1)(n − 3)/4} еквивалентних магичних квадрата добијених комбиновањем таквих замена. Мењањем свих редова са исте стране сваки квадрант квадрата се преокреће вертикално, док мењање свих колона са исте стране преокреће сваки квадрант квадрата хоризонтално. У примеру испод, оригинални квадрат је са леве стране, чији су 1. и 2. ред међусобно замењени, заједно са 3. и 4. редом, да би се добио трансформисани квадрат са десне стране.

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

12	6	7	9
1	15	14	4
13	3	2	16
8	10	11	5

За пандијагоналне магичне квадрате

• Пандијагонални магични квадрат остаје пандијагонални магични квадрат након цикличног померања редова или колона, или обоје. Ово нам омогућава да позиционирамо дати број у било коју од n² ћелија квадрата реда n. Тако, за дати панмагични квадрат, постоји n² еквивалентних панмагичних квадрата. У примеру испод, оригинални квадрат са леве стране је трансформисан померањем првог реда на дно да би се добио нови панмагични квадрат у средини. Затим су 1. и 2. колона средњег панмагичног квадрата циклично померене удесно да би се добио нови панмагични квадрат на десној страни.

10	3	13	8
5	16	2	11
4	9	7	14
15	6	12	1

5	16	2	11
4	9	7	14
15	6	12	1
10	3	13	8

2	11	5	16
7	14	4	9
12	1	15	6
13	8	10	3

За оивичене магичне квадрате

• Оивичени магични квадрат остаје оивичени магични квадрат након пермутовања ивичних ћелија у редовима или колонама, заједно са њиховим одговарајућим комплементарним члановима, задржавајући угаоне ћелије фиксним. Пошто се ћелије у сваком реду и колони сваке концентричне границе могу пермутовати независно, када је ред n ≥ 5 непаран, постоји $((n-2)!(n-4)!\dots \cdot 3!{)}^2$ еквивалентних оивичених квадрата. Када је n ≥ 6 паран, постоји $((n-2)!(n-4)!\dots \cdot 4!{)}^2$ еквивалентних оивичених квадрата. У примеру испод дат је квадрат реда 5 чији је гранични ред пермутован и може се добити (3!)² = 36 таквих еквивалентних квадрата.

1	23	16	4	21
15	14	7	18	11
24	17	13	9	2
20	8	19	12	6
5	3	10	22	25

1	16	23	4	21
15	14	7	18	11
24	17	13	9	2
20	8	19	12	6
5	10	3	22	25

• Оивичени магични квадрат остаје оивичени магични квадрат након што се свака од његових концентричних граница независно ротира или рефлектује у односу на централни основни магични квадрат. Ако постоји b граница, онда ће ова трансформација дати 8^b еквивалентних квадрата. У примеру испод са магичним квадратом 5×5, граница је ротирана за 90 степени у смеру супротном од казаљке на сату.

1	23	16	4	21
15	14	7	18	11
24	17	13	9	2
20	8	19	12	6
5	3	10	22	25

21	11	2	6	25
4	14	7	18	22
16	17	13	9	10
23	8	19	12	3
1	15	24	20	5

За сложене магичне квадрате

• Сложени магични квадрат остаје сложени магични квадрат када уметнути магични квадрати прођу кроз трансформације које не нарушавају магично својство (нпр. ротација, рефлексија, померање редова и колона, и тако даље).

Решавање делимично попуњених магичних квадрата

Решавање делимично попуњених магичних квадрата је популарна математичка забава. Потребне технике су сличне онима које се користе у Судоку или КенКен слагалицама и укључују извођење вредности непопуњених квадрата помоћу логике и теорије пермутационих група (Судоку мреже нису магични квадрати, већ су засноване на сличној идеји која се зове грчко-латински квадрати).

Варијације магичног квадрата

Додатна ограничења

Рамануџанов магични квадрат

Могу се наметнути одређена додатна ограничења на магичне квадрате.

Ако подизање сваког броја на n-ти степен даје други магични квадрат, резултат је бимагичан (n = 2), тримагичан (n = 3), или, генерално, мултимагични квадрат.

Магични квадрат у којем број слова у имену сваког броја у квадрату генерише још један магични квадрат назива се алфамагични квадрат.

Постоје магични квадрати који се састоје у потпуности од простих бројева. Рудолф Ондрејка (1928–2001) открио је следећи магични квадрат простих бројева 3×3, у овом случају девет Ченових простих бројева:

17	89	71
113	59	5
47	29	101

Теорема Грин-Тао имплицира да постоје произвољно велики магични квадрати који се састоје од простих бројева.

Следећи „реверзибилни магични квадрат” има магичну константу 264 и наопако и у правом положају:

96	11	89	68
88	69	91	16
61	86	18	99
19	98	66	81

Када је додатно ограничење да се прикаже неки датум, посебно датум рођења, онда се такви магични квадрати називају рођенданским магичним квадратима. Рани пример оваквог рођенданског магичног квадрата креирао је Сриниваса Рамануџан. Креирао је квадрат 4×4 у који је унео свој датум рођења у формату ДД–ММ–ВВ–ГГ у горњи ред, а магија се десила са сабирањем и одузимањем бројева у квадратима. Не само да се редови, колоне и дијагонале сабирају у исти број, већ се и четири угла, четири средња квадрата (17, 9, 24, 89), два средња броја у првом и последњем реду (12, 18, 86, 23) и два средња броја у првој и последњој колони (88, 10, 25, 16) сви сабирају у суму 139.

Мултипликативни магични квадрати

Уместо сабирања бројева у сваком реду, колони и дијагонали, може се применити нека друга операција. На пример, мултипликативни магични квадрат има константан производ бројева. Мултипликативни магични квадрат може се извести из адитивног магичног квадрата подизањем броја 2 (или било ког другог целог броја) на степен сваког елемента, јер је логаритам производа 2 броја збир логаритама сваког понаособ. Алтернативно, ако су било која 3 броја у линији 2^a, 2^b и 2^c, њихов производ је 2^a+b+c, што је константно ако је a+b+c константно, као што би било да су a, b и c узети из обичног (адитивног) магичног квадрата. На пример, оригинални Луо Шу магични квадрат постаје:

M = 32768

16	512	4
8	32	128
256	2	64

Остали примери мултипликативних магичних квадрата укључују:

M = 216

2	9	12
36	6	1
3	4	18

M = 6720

1	6	20	56
40	28	2	3
14	5	24	4
12	8	7	10

M = 6.227.020.800

27	50	66	84	13	2	32
24	52	3	40	54	70	11
56	9	20	44	36	65	6
55	72	91	1	16	36	30
4	24	45	60	77	12	26
10	22	48	39	5	48	63
78	7	8	18	40	33	60

Мултипликативни магични квадрати комплексних бројева

Још увек користећи неитеративну методу Алија Скалија, могуће је произвести бесконачност мултипликативних магичних квадрата комплексних бројева који припадају скупу $ℂ$. У примеру испод, реални и имагинарни делови су цели бројеви, али они такође могу припадати читавом скупу реалних бројева $ℝ$. Производ је: −352.507.340.640 − 400.599.719.520 i.

Скали мултипликативни 7×7 комплексних бројева

21

+14i

−70

+30i

−93

−9i

−105

−217i

16

+50i

4

−14i

14

−8i

63

−35i

28

+114i

−14i

2

+6i

3

−11i

211

+357i

−123

−87i

31

−15i

13

−13i

−103

+69i

−261

−213i

49

−49i

−46

+2i

−6

+2i

102

−84i

−28

−14i

43

+247i

−10

−2i

5

+9i

31

−27i

−77

+91i

−22

−6i

7

+7i

8

+14i

50

+20i

−525

−492i

−28

−42i

−73

+17i

54

+68i

138

−165i

−56

−98i

−63

+35i

4

−8i

2

−4i

70

−53i

24

+22i

−46

−16i

6

−4i

17

+20i

110

+160i

84

−189i

42

−14i

Адитивно-мултипликативни магични и полумагични квадрати

Адитивно-мултипликативни магични квадрати и полумагични квадрати задовољавају својства и обичних и мултипликативних магичних квадрата, односно полумагичних квадрата.

Први познати адитивно-мултипликативни магични квадрат Шаблон:Nobold 162 207 51 26 133 120 116 25 105 152 100 29 138 243 39 34 92 27 91 136 45 38 150 261 57 30 174 225 108 23 119 104 58 75 171 90 17 52 216 161 13 68 184 189 50 87 135 114 200 203 15 76 117 102 46 81 153 78 54 69 232 175 19 60

Најмањи познати адитивно-мултипликативни полумагични квадрат Шаблон:Nobold 156 18 48 25 30 144 60 13 16 20 130 81 45 65 9 128

Није познато да ли постоје адитивно-мултипликативни магични квадрати мањи од 7×7, али је доказано да не постоје адитивно-мултипликативни магични квадрати 3×3 или 4×4 и да не постоје адитивно-мултипликативни полумагични квадрати 3×3.

Најмањи познати адитивно-мултипликативни магични квадрат
Шаблон:Nobold

126	66	50	90	48	1	84
20	70	16	54	189	110	6
100	2	22	98	36	72	135
96	60	81	4	10	49	165
3	63	30	176	120	45	28
99	180	14	25	7	108	32
21	24	252	18	55	80	15

Геометријски магични квадрати

Геометријски магични квадрат.

Могу се конструисати магични квадрати који уместо бројева садрже геометријске облике. Такве квадрате, познате као геометријски магични квадрати, измислио је и назвао Ли Селоуз 2001. године.

У приказаном примеру облици који се појављују су дводимензионални. Јасно је да су сви магични квадрати геометријски, јер се бројеви који се појављују у нумеричким магичним квадратима могу тумачити као скраћени запис који означава дужине праволинијских сегмената који су геометријски „облици” који се јављају у квадрату. Односно, нумерички магични квадрати су онај посебан случај геометријског магичног квадрата који користи једнодимензионалне облике.

Површински магични квадрати

Први линеарни површински магични квадрат

У 2017. години, пратећи почетне идеје Вилијама Вокингтона и Индера Танеје, први линеарни површински магични квадрат конструисао је Валтер Трамп.

Остали магични облици

Могу се разматрати и други дводимензионални облици осим квадрата. Општи случај је да се дизајн са N делова сматра магичним ако су N делови означени бројевима од 1 до N, а одређени број идентичних поддизајна даје исту суму. Примери укључују магичне кругове, магичне правоугаонике, магичне троуглове, магичне звезде, магичне шестоуглове, магичне дијаманте. Прелазак у вишу димензију резултује магичним сферама, магичним цилиндрима, магичним коцкама, магичним паралелепипедима, магичним телима и другим магичним хиперкоцкама.

Могући магични облици ограничени су бројем подскупова једнаке величине и једнаког збира из изабраног скупа ознака. На пример, ако неко предложи да се формира магични облик означавањем делова са {1, 2, 3, 4}, поддизајни ће морати да буду означени са {1,4} и {2,3}.

Повезани проблеми

Полумагични квадрат (чије дијагонале не дају магичну константу, 260) такође формира потез скакача – не постоје потпуно магични потези димензија 8×8, иако постоје они димензија 12×12.

Проблем n дама

Демирорс, Рафраф и Таник објавили су 1992. године метод за претварање неких магичних квадрата у решења проблема n дама, и обрнуто.

Магични квадрати у окултизму

Магични квадрати реда 3 до 9, додељени седам планета и описани као средства за привлачење утицаја планета и њихових анђела (или демона) током магијских пракси, могу се наћи у неколико рукописа широм Европе барем од 15. века. Међу најпознатијима, Liber de Angelis, магијски приручник написан око 1440. године, укључен је у рукопис Универзитетске библиотеке у Кембриџу MS Dd.xi.45. Текст дела Liber de Angelis веома је сличан тексту De septem quadraturis planetarum seu quadrati magici, још једном приручнику за магију планетарних слика који се налази у Кодексу 793 Јагелонске библиотеке (Ms BJ 793). Магијске операције укључују гравирање одговарајућег квадрата на плочу направљену од метала додељеног одговарајућој планети, као и извођење различитих ритуала. На пример, квадрат 3×3, који припада Сатурну, мора бити уписан на оловну плочу. Ово би, посебно, требало да помогне женама током тешког порођаја.

Око 1510. године Хајнрих Корнелијус Агрипа написао је De Occulta Philosophia, ослањајући се на херметичка и магијска дела Марсилија Фићина и Пика дела Мирандоле. У његовом издању из 1531. године излагао је о магијским врлинама седам магичних квадрата реда 3 до 9, од којих је сваки био повезан са једном од астролошких планета, на врло сличан начин као што су то чинили старији текстови. Ова књига је била веома утицајна широм Европе све до контрареформације, а Агрипини магични квадрати, понекад звани камеје, настављају да се користе у модерној церемонијалној магији на готово исти начин како их је он први прописао.

Извођење сигила Хагијела, планетарне интелигенције Венере, нацртаног на магичном квадрату Венере. Свако хебрејско слово пружа нумеричку вредност, дајући темена сигила.

Најчешћа употреба ових камеја је пружање обрасца на коме се конструишу сигили духова, анђела или демона; слова имена ентитета претварају се у бројеве, а линије се исцртавају кроз образац који ови узастопни бројеви праве на камеји. У магијском контексту, термин магични квадрат примењује се и на разне словне квадрате или бројевне квадрате који се налазе у магијским гримоарима, укључујући неке који не прате никакав очигледан образац, па чак и оне са различитим бројем редова и колона. Они су генерално намењени за употребу као талисмани. На пример, следећи квадрати су: Саторов квадрат, један од најпознатијих магичних квадрата који се налази у бројним гримоарима укључујући Соломонов кључ; квадрат „за превазилажење зависти”, из Књиге моћи; и два квадрата из Књиге свете магије Абрамелина мага, први да изазове илузију да се појави величанствена палата, а други да се носи на глави детета током анђеоске инвокације:

S	A	T	O	R
A	R	E	P	O
T	E	N	E	T
O	P	E	R	A
R	O	T	A	S

6	66	848	938
8	11	544	839
1	11	383	839
2	73	774	447

H	E	S	E	B
E	Q	A	L
S
E		G
B

A	D	A	M
D	A	R	A
A	R	A	D
M	A	D	A

Види још

• Антимагични квадрат
• Аритметичка прогресија
• Асоцијативни магични квадрат
• Комбинаторни дизајн
• Фројденталов магични квадрат
• Проблем хексагоналне корњаче
• Џон Р. Хендрикс
• Латински квадрат
• Магични круг
• Магична коцка
• Класе магичних коцки
• Магични полигон
• Магични низ
• Квадратна матрица
• Најсавршенији магични квадрат
• Насик магична хиперкоцка
• Магични квадрат реципрочних простих бројева
• Румов квадрат
• Сигил
• Срирамачакра
• Судоку
• Нерешени проблеми у математици
• Ведски квадрат

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal

Спољашње везе

• Min Chen. Unlocking the Occult: 5 Mystical Symbols and Their Secret Histories // Artnet News — 30. 10. 2025.