Дискретна временска Фуриjеова трансформација

У математици, дискретна Фуријеова трансформација ( ДТФТ ) је облик Фуријеове анализе који је применљив на низ вредности.

ДТФТ се често користи за анализу узорака континуиране функције. Израз дискретно време односи се на чињеницу да трансформација делује на дискретне податке, често узорке чији интервал има јединице времена. Из једнолико распоређених узорака настаје функција фреквенције која је периодична сумација континуиране Фуријеове трансформације изворне континуиране функције. Под одређеним теоријским условима, описаним теоремом узорковања, оригинална континуирана функција може се савршено уклонити из ДТФТ-а, а тиме и из оригиналних дискретних узорака. Сам ДТФТ је континуирана функција фреквенције, али се њени дискретни узорци могу лако израчунати помоћу дискретне Фуријеове трансформације (види Шаблон:Section link ), што је далеко најчешћа метода модерне Фуријеове анализе.

Обе трансформације су инвертибилне. Инверзни ДТФТ је оригинални узорковани низ података. Инверзни ДФТ је периодична сумација оригиналне секвенце. Брза Фуријеова трансформација (ФФТ) је алгоритам за рачунање једног циклуса ДФТ-а, а његов инверзни производи један циклус инверзног ДФТ-а.

Дефиниција

Дискретна Фуријеова трансформација дискретног скупа стварних или сложених бројева Шаблон:Math, за све целе бројеве Шаблон:Mvar, је Фуријеов низ, који производи периодичну функцију фреквенцијске променљиве. Када варијабла фреквенције, ω, има нормализоване јединице радијана/узорка, периодичност је Шаблон:Math, а Фуријеов низ је:

Корисност ове функције фреквенцијске домене налази се у Пуасоновој збирној формули . Нека је Шаблон:Math Фуријеова трансформација било које функције, Шаблон:Math, чији су узорци у неком интервалу Шаблон:Mvar (секунди) једнаки (или пропорционални) с Шаблон:Math секвенцом, тј. Шаблон:Math . Тада је периодична функција представљена Фуријеовим низом периодична сумација Шаблон:Math у погледу фреквенције Шаблон:Mvar у херцима (циклуси/сек): Шаблон:NumBlk

Приказ. 1. Приказ Фуријеове трансформације (горњи леви) и њено периодично сумирање (ДТФТ) у доњем левом углу. Доњи десни угао приказује узорке ДТФТ-а који су израчунати дискретном Фуријеовом трансформацијом (ДФТ).

Цели број Шаблон:Mvar има јединице циклуса/узорака, а Шаблон:Math је стопа узорковања, Шаблон:Mvar (узорци/секунди). Дакле, Шаблон:Math садржи тачне копије Шаблон:Math које су померене умношцима Шаблон:Mvar херца и комбиноване сабирањем. За довољно велике Шаблон:Mvar, Шаблон:Math може се приметити у региону Шаблон:Math са малим или никаквим изобличењем ( алијасинг ) од осталих термина. На слици 1, крајности расподеле у горњем левом углу су маскиране подземним деловањем у периодичном сабирању (доњи леви).

Такође приметимо да је Шаблон:Math Фуријеова трансформација Шаблон:Math . Стога, алтернативна дефиниција ДТФТ је: Шаблон:Efn-ua Шаблон:NumBlk Модулирана функција Диракове поворке импулса је математичка апстракција која се понекад назива и импулсно узорковање .

Инверзна трансформација

Операција која опоравља дискретну секвенцу података из ДТФТ функције назива се инверзни ДТФТ . На пример, инверзна континуирана Фуријеова трансформација са обе стране израза 3 производи секвенцу у облику модулисане функције Диракове поворке импулса:

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]\cdot \delta (t-nT)={ℱ}^{-1}\{X_{1/T}(f)\}\triangleq \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{X}_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}df.$

Међутим, примећујући да је Шаблон:Math периодичан, све потребне информације садрже се у било којем интервалу дужине Шаблон:Math. И у изразу 1 и изразу 2 су суме преко n Фуријеов низ, са коефицијентима Шаблон:Math . Стандардне формуле за Фуријеове коефицијенте су такође инверзне трансформације:

Периодични подаци

Када је низ улазних података Шаблон:Math Шаблон:Mvar , израз 2 се може рачунски свести на дискретну Фуријеову трансформацију (ДФТ), јер:

• Све доступне информације налазе се унутар Шаблон:Mvar узорака.
• Шаблон:Math се свугде конвертује у нулу, осим код целих бројева Шаблон:Math, познатих као хармоничне фреквенције.
• ДТФТ је периодичан, тако да је максимални број јединствених хармонских амплитуда Шаблон:Math

Кернел Шаблон:Math је Шаблон:Mvar периодичан на хармонским фреквенцијама, Шаблон:Math . Уводимо нотацију $\sum _N$ да би представили суму било које Шаблон:Mvar последице дужине Шаблон:Mvar, можемо написати :

$\begin{array}{cc}{X}_{1/T}\left(\frac{k}{NT}\right)& =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{N}x[n-mN]\cdot e^{-i2\pi \frac{k}{N}(n-mN)})\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{N}x[n]\cdot e^{-i2\pi \frac{k}{N}n})=T\underset{X[k]\text{(DFT)}}{\underbrace{(\sum _{N}x(nT)\cdot e^{-i2\pi \frac{k}{N}n})}}\cdot \left(\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}1\right).\end{array}$

Због тога се ДТФТ разилази с хармонијским фреквенцијама, али различитим брзинама зависним од фреквенције. Те стопе даје ДФТ једног циклуса Шаблон:Math секвенце. У погледу функције за Диракове поворке импулса, ово је представљено са :

$X_{1/T}(f)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(T\cdot X[k])\cdot \frac{1}{NT}\delta (f-\frac{k}{NT})=\underset{\text{DTFT of a periodic sequence}}{\underbrace{\frac{1}{N}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X[k]\cdot \delta (f-\frac{k}{NT})}}.$      Шаблон:Efn-uaШаблон:Efn-ua

Узорковање ДТФТ-а

Када је ДТФТ континуалан, уобичајена је пракса да се израчуна произвољни број узорака ( Шаблон:Mvar ) у једном циклусу периодичне функције Шаблон:Math :

$\begin{array}{cc}\underset{X_k}{\underbrace{X_{1/T}\left(\frac{k}{NT}\right)}}& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]\cdot e^{-i2\pi \frac{kn}{N}}k=0,\dots ,N-1\\ & =\underset{DFT}{\underbrace{\sum _N{x}_{{}_N}[n]\cdot e^{-i2\pi \frac{kn}{N}},}}\text{(sum over any }n\text{-sequence of length }N)\end{array}$

где $x_{{}_N}$ је периодична сумација :

$x_{{}_N}[n]\triangleq \sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n-mN].$

Секвенца $x_{{}_N}$ је инверзни ДФТ. Стога, наше узорковање ДТФТ-а узрокује да инверзна трансформација постане периодична. Низ Шаблон:Math вредности су познате као периодограм, а параметар Шаблон:Mvar се назива НФФТ у истоименој Матлаб функцији.

Да би се оценио један циклус $x_{{}_N}$ нумерички, потребан нам је низ Шаблон:Math коначне дужине. На пример, дугачак низ може бити скраћен функцијом прозора дужине Шаблон:Mvar што резултира у три случаја вредна посебне спомена. Ради нотативне једноставности, размотрите вредности Шаблон:Math тако да представљају вредности модификоване функцијом прозора.

Случај: Декимација фреквенције. Шаблон:Math, за неки цели број Шаблон:Mvar (обично 6 или 8)

Циклус од $x_{{}_N}$ своди се на суму Шаблон:Mvar блокова дужине Шаблон:Mvar или кружни додатак . Шаблон:Efn-ua   ДФТ тада иде под различитим именима, као што су :

• ФФТ прозора
• Тежина, преклапање, додавање (ВОЛА) Шаблон:Efn-ua
• полифазни ФФТ
• вишефазни филтерски филтер
• вишеструко блокирање прозора и временско подимање .

Ваља се подсетити да десетковање (децимација) узоркованих података у једној области (у временском или фреквентном) производи преклапање (познати и као алијасинг ), у другом и обрнуто. У поређењу са ДФТ дужином Шаблон:Mvar дужина $x_{{}_N}$ збрајање/преклапање узрокује десетковање у учесталости, остављајући само ДТФТ узорке најмање под утицајем спектралног цурења . То је обично приоритет при имплементацији ФФТ банке филтера (канализатора). С конвенционалном функцијом прозора дужине Шаблон:Mvar, губитак љуштења би био неприхватљив. Тако се мулти-блок прозори стварају помоћу алата за дизајн ФИР филтера .   Њихов профил фреквенције је раван у највишој тачки и брзо отпада у средини између преосталих ДТФТ узорака. Што је већа вредност параметра Шаблон:Mvar, то су веће потенцијалне перформансе.

Случај: Шаблон:Math , при чему је Шаблон:Mvar уједначен

Овај случај настаје у контексту дизајна функције Виндовса, из жеље за реално вреднованим коефицијентима ДФТ.   Када је симетрична секвенца повезана са индексима Шаблон:Nowrap познатим као коначни прозор података о Фуријеовој трансформацији, њен ДТФТ је континуирана функција фреквенције $(f),$ је стварно вреднован. Када се редослед помери у ДФТ прозору података, Шаблон:Nowrap ДТФТ се множи сложеном фазном функцијом: $e^{-i2\pi fM}$ . Али када се узоркује на фреквенцијама $f=k/2M,$ за целе вредности од $k,$ сви узорци су стварно вредновани. Да бисмо постигли тај циљ, можемо извршити: $2M$ ДФТ дужине на периодичном сумирању са 1 узорком преклапања. Наиме, брише се последњи узорак секвенце података и додаје се његова вредност првом узорку. Затим се примењује функција прозора, скраћена за 1 узорак, и извршава се ДФТ. Скраћена функција прозора са једнаком дужином понекад се назива и ДФТ-равном . У стварној пракси људи најчешће користе прозоре који се подударају са ДФТ-ом без преклапања података, јер су штетни ефекти на цурење спектра занемарљиви за дуге секвенце (обично стотине узорака). Шаблон:Efn-ua

Слика 2. ДФТ од Шаблон:Math за Шаблон:Math и Шаблон:Math

Слика 3. ДФТ од Шаблон:Math за Шаблон:Math и Шаблон:Math

Случај: Интерполација фреквенције. Шаблон:Math

У овом случају, ДФТ поједностављује познатији облик:

$X_k=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\cdot e^{-i2\pi \frac{kn}{N}}.$

Да би се искористио алгоритам брзе Фуријеове трансформације за рачунање ДФТ-а, сабирање се обично врши преко свих Шаблон:Mvar термина, иако је Шаблон:Math нула. Стога се случај Шаблон:Math често назива нула-пединг.

Спектрално цурење, које се повећава како Шаблон:Mvar опада, штетно утиче на неке важне метрике перформанси, као што су резолуција компоненти више фреквенција и количина буке која се мери у сваком узорку ДТФТ. Али те ствари нису увек важне, на пример када је Шаблон:Math низ синусоида без буке (или константа), обликован функцијом прозора. Тада је уобичајена пракса да се графички приказују и упоређују детаљни обрасци цурења функција прозора помоћу графичког приказивања нула . Да бисмо то илустровали за правоугаони прозор, узмимо у обзир редослед:

$x[n]=e^{i2\pi \frac{1}{8}n},$ и $L=64.$

Слике 2 и 3 су графикони величине двају ДФТ различитих величина, како је назначено на њиховим ознакама. У оба случаја доминантна компонента је на фреквенцији сигнала: Шаблон:Math . Такође је на слици 2 видљив дијаграм спектралног цурења правоугаоног прозора Шаблон:Math . Илузија на слици 3 резултат је узорковања ДТФТ-а само на његовим нултим прелазима. Уместо ДТФТ секвенце коначне дужине, оставља утисак бесконачно дугог синусоидног низа. Фактори који доприносе илузији су употреба правоугаоног прозора и избор фреквенције (1/8 = 8/64) са тачно 8 (целих бројева) циклуса на 64 узорка. Ханов прозор дао би сличан резултат, осим што би се врх проширио на 3 узорка.

Конволуција

Теорема конволуције за низове је:

$x*y={\text{DTFT}}^{-1}\left[\text{DTFT}\{x\}\cdot \text{DTFT}\{y\}\right].$

Важан посебан случај је кружна конволуција низова Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar дефинисаних са $x_{{}_N}*y,$ где $x_{{}_N}$ је периодично сумирање. Начин дискретне фреквенције Шаблон:Math } "бира" само дискретне вредности из континуиране функције Шаблон:Math }, што резултира знатним поједностављивањем инверзне трансформације. Као што је приказано у теореми конволуције, функције дискретних променљивих низова :

$x_{{}_N}*y={\text{DTFT}}^{-1}\left[\text{DTFT}\{x_{{}_N}\}\cdot \text{DTFT}\{y\}\right]={\text{DFT}}^{-1}\left[\text{DFT}\{x_{{}_N}\}\cdot \text{DFT}\{y_{{}_N}\}\right].$

За Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar низове чија је нулта вредност трајања мања или једнака Шаблон:Mvar, коначно поједностављење је:

$x_{{}_N}*y={\text{DFT}}^{-1}\left[\text{DFT}\{x\}\cdot \text{DFT}\{y\}\right].$

Значај овог резултата објашњен је у алгоритмима кружне конволуције и брзе конволуције .

Својства симетрије

Када се стварни и замишљени делови сложене функције разграде на њихове парне и непарне делове, постоје четири компоненте, које доле означавају претплатници RЕ, RО, IЕ и IО. Постоји и мапирање један на један између четири компоненте сложене временске функције и четири компоненте његове сложене фреквентне трансформације : Шаблон:Rp

$\begin{array}{cccccccccc}𝖳𝗂𝗆𝖾𝖽𝗈𝗆𝖺𝗂𝗇& x& =& x_{{}_{RE}}& +& x_{{}_{RO}}& +i& x_{{}_{IE}}& +& \underbrace{i{x}_{{}_{IO}}}\\ & \Updownarrow ℱ& & \Updownarrow ℱ& & \Updownarrow ℱ& & \Updownarrow ℱ& & \Updownarrow ℱ\\ 𝖥𝗋𝖾𝗊𝗎𝖾𝗇𝖼𝗒𝖽𝗈𝗆𝖺𝗂𝗇& X& =& X_{RE}& +& \overbrace{i{X}_{IO}}& +i& X_{IE}& +& X_{RO}\end{array}$

Из овога су видљиве различите везе, на пример :

• Трансформација реално вредноване функције ( Шаблон:Math ) је равномерна симетрична функција Шаблон:Math . Супротно томе, равномерна симетрична трансформација подразумева реалну вредност временске домене.
• Трансформација функције замишљене вредности ( Шаблон:Math ) је непарна симетрична функција Шаблон:Math, а обратно је тачна.
• Трансформација равномерне симетричне функције ( Шаблон:Math ) је реално вреднована функција Шаблон:Math, а обратно је тачно.
• Трансформација непарне симетричне функције ( Шаблон:Math ) је замишљена вредност функције Шаблон:Math, а обратно је тачно.

Однос према Z-трансформацији

$X_{2\pi }(\omega )$ је Фуријеов ред која се такође може изразити у смислу билатералне Z-трансформације . На пример:

$X_{2\pi }(\omega )={\hat{X}(z)|}_{z=e^{i\omega }}=\hat{X}(e^{i\omega }),$

где $\hat{X}$ нотација разликује Z-трансформацију од Фуријеове трансформације. Стога можемо изразити и Z-трансформацију у смислу Фуријеове трансформације:

$\begin{array}{cc}\hat{X}(e^{i\omega })& =X_{1/T}\left(\frac{\omega }{2\pi T}\right)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(\frac{\omega }{2\pi T}-k/T)\\ & =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X\left(\frac{\omega -2\pi k}{2\pi T}\right).\end{array}$

Имајте на уму да када се параметар Шаблон:Mvar промени, услови $X_{2\pi }(\omega )$ остају стална одвојеност oд $2\pi$ , а њихова ширина се повећава или смањује. Услови Шаблон:Math остају сталне ширине и њихово одвајање Шаблон:Math скала се повећава или смањује.

Табела дискретних Фуријеових трансформација

Неки уобичајени парови трансформација приказани су у табели испод. Следећа нота се примењује:

• $\omega =2\pi fT$ је стварни број који представља непрекидну угаону фреквенцију (у радијанима по узорку). ( $f$ је у циклусима/секунди, и $T$ је у секундама/узорку. ) У свим случајевима у табели, ДТФТ је 2π-периодичан (у $\omega$ ).
• $X_{2\pi }(\omega )$ означава функцију дефинисану на $-\mathrm{\infty }<\omega <\mathrm{\infty }$ .
• $X_o(\omega )$ означава функцију дефинисану на $-\pi <\omega \le \pi$ и нула гдегод. Онда:

$X_{2\pi }(\omega )\triangleq \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_o(\omega -2\pi k).$

• $\delta (\omega )$ је Диракова делта функција
• $\mathrm{sinc}(t)$ је нормализована синк функција
• $\mathrm{rect}(t)$ је функција правоугаоника
• $\mathrm{tri}(t)$ је функција троугла
• Шаблон:Mvar је цели број који представља домену дискретног времена (у узорцима)
• $u[n]$ је функција корака јединице дискретне временске јединице
• $\delta [n]$ је Кронекерова делта функција ${\delta }_{n,0}$

Временски домен x[n]	Фреквенцијски домен X2π(ω)	Напомене	Референце
$\delta [n]$	$X_{2\pi }(\omega )=1$		Шаблон:Rp
$\delta [n-M]$	$X_{2\pi }(\omega )=e^{-i\omega M}$	целобројно $M$
$\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta [n-Mm]$	$X_{2\pi }(\omega )=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-i\omega Mm}=\frac{2\pi }{M}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\omega -\frac{2\pi k}{M})$ $X_o(\omega )=\frac{2\pi }{M}\sum _{k=-(M-1)/2}^{(M-1)/2}\delta (\omega -\frac{2\pi k}{M})$     odd M $X_o(\omega )=\frac{2\pi }{M}\sum _{k=-M/2+1}^{M/2}\delta (\omega -\frac{2\pi k}{M})$     even M	целобројно $M>0$
$u[n]$	$X_{2\pi }(\omega )=\frac{1}{1-e^{-i\omega }}+\pi \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\omega -2\pi k)$ $X_o(\omega )=\frac{1}{1-e^{-i\omega }}+\pi \cdot \delta (\omega )$	$1/(1-e^{-i\omega })$ термин се мора тумачити као дистрибуција у смислу главне вредности Кошија око његових полова на $\omega =2\pi k$.
$a^{n}u[n]$	$X_{2\pi }(\omega )=\frac{1}{1-a{e}^{-i\omega }}$	$0<|a|<1$	Шаблон:Rp
$e^{-ian}$	$X_o(\omega )=2\pi \cdot \delta (\omega +a),$     -π < a < π $X_{2\pi }(\omega )=2\pi \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\omega +a-2\pi k)$	реални број $a$
$\cos (a\cdot n)$	$X_o(\omega )=\pi [\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)],$ $X_{2\pi }(\omega )\triangleq \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_o(\omega -2\pi k)$	$-\pi <a<\pi$
$\sin (a\cdot n)$	$X_o(\omega )=\frac{\pi }{i}[\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)]$	реални број $a$ при чему је $-\pi <a<\pi$
$\mathrm{rect}\left[\frac{n-M}{N}\right]$	$X_o(\omega )=\frac{\sin [N\omega /2]}{\sin (\omega /2)}{e}^{-i\omega M}$	целобројне вредности $M$ и $N$
$\mathrm{sinc}(W(n+a))$	$X_o(\omega )=\frac{1}{W}\mathrm{rect}\left(\frac{\omega }{2\pi W}\right)e^{ia\omega }$	реални бројеви$W,a$ при чему је $0<W<1$
${\mathrm{sinc}}^2(Wn)$	$X_o(\omega )=\frac{1}{W}\mathrm{tri}\left(\frac{\omega }{2\pi W}\right)$	реални број $W$, $0<W<0.5$
$\{\begin{array}{cc}0& n=0\\ \frac{(-1{)}^n}{n}& \text{иначе}\end{array}$	$X_o(\omega )=j\omega$	ради као филтер диференцијатор
$\frac{1}{(n+a)}\{\cos [\pi W(n+a)]-\mathrm{sinc}[W(n+a)]\}$	$X_o(\omega )=\frac{j\omega }{W}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{\omega }{\pi W}\right)e^{ja\omega }$	реални бројеви$W,a$ при чему је $0<W<1$
$\{\begin{array}{cc}\frac{\pi }{2}& n=0\\ \frac{(-1{)}^n-1}{\pi n^2}& \text{ иначе}\end{array}$	$X_o(\omega )=|\omega |$
$\{\begin{array}{cc}0;& n\text{ парно}\\ \frac{2}{\pi n};& n\text{ непарно}\end{array}$	$X_o(\omega )=\{\begin{array}{cc}j& \omega <0\\ 0& \omega =0\\ -j& \omega >0\end{array}$	Хилбертова трансформација
$\frac{C(A+B)}{2\pi }\cdot \mathrm{sinc}\left[\frac{A-B}{2\pi }n\right]\cdot \mathrm{sinc}\left[\frac{A+B}{2\pi }n\right]$	$X_o(\omega )=$	реални бројеви$A,B$ комплексно $C$

Својства

Ова табела приказује неке математичке операције у временском домену и одговарајуће ефекте у фреквенцијском домену.

• $*$ је дискретна конволуција две секвенце
• $x[n{]}^{*}$ је сложена конјугација Шаблон:Math .

Својство	Временски домен Шаблон:Math	Фреквенцијски домен $X_{2\pi }(\omega )$	Напомене	е
Линеарност	$a\cdot x[n]+b\cdot y[n]$	$a\cdot X_{2\pi }(\omega )+b\cdot Y_{2\pi }(\omega )$	complex numbers $a,b$	Шаблон:Rp
Временски преокретl / Фреквенцијски преокрет	$x[-n]$	$X_{2\pi }(-\omega )$		Шаблон:Rp
Временска конјугација	$x[n{]}^{*}$	$X_{2\pi }(-\omega {)}^{*}$		Шаблон:Rp
Временски преокрет и конјугација	$x[-n{]}^{*}$	$X_{2\pi }(\omega {)}^{*}$		Шаблон:Rp
Реални део у времену	$\mathrm{\Re }(x[n])$	$\frac{1}{2}(X_{2\pi }(\omega )+X_{2\pi }^{*}(-\omega ))$		Шаблон:Rp
Имагинарни део у времену	$\mathrm{\Im }(x[n])$	$\frac{1}{2i}(X_{2\pi }(\omega )-X_{2\pi }^{*}(-\omega ))$		Шаблон:Rp
Реални део у фреквенцији	$\frac{1}{2}(x[n]+x^{*}[-n])$	$\mathrm{\Re }(X_{2\pi }(\omega ))$		Шаблон:Rp
Имагинарни део у фреквенцији	$\frac{1}{2i}(x[n]-x^{*}[-n])$	$\mathrm{\Im }(X_{2\pi }(\omega ))$		Шаблон:Rp
Померање у времену/ Модулација у фреквенцији	$x[n-k]$	$X_{2\pi }(\omega )\cdot e^{-i\omega k}$	integer Шаблон:Mvar	Шаблон:Rp
Померање у фреквенцији / Модулација у времену	$x[n]\cdot e^{ian}$	$X_{2\pi }(\omega -a)$	реална вредност $a$	Шаблон:Rp
Децимација	$x[nM]$	$\frac{1}{M}\sum _{m=0}^{M-1}{X}_{2\pi }\left(\frac{\omega -2\pi m}{M}\right)$  Шаблон:Efn-ua	целобројно $M$
Временско ширење	$\{\begin{array}{cc}x[n/M]& n=\text{умножак oд M}\\ 0& \text{иначе}\end{array}$	$X_{2\pi }(M\omega )$	целобројно $M$
Извод у фреквенцији	$\frac{n}{i}x[n]$	$\frac{d{X}_{2\pi }(\omega )}{d\omega }$		Шаблон:Rp
Интеграција у фреквенцији	$$	$$
Извод по вреемену	$x[n]-x[n-1]$	$(1-e^{-i\omega })X_{2\pi }(\omega )$
Сума у времену	$\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{n}x[m]$	$\frac{1}{(1-e^{-i\omega })}{X}_{2\pi }(\omega )+\pi X(0)\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\omega -2\pi k)$
Конволуција у времену/ Мултипликација у фреквенцији	$x[n]*y[n]$	$X_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )$		Шаблон:Rp
Мултипликација у времену / Конволуција у фреквенцији	$x[n]\cdot y[n]$	$\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{X}_{2\pi }(\nu )\cdot Y_{2\pi }(\omega -\nu )d\nu$	Периодична конволуција	Шаблон:Rp
Унакрсна корелација	${\rho }_{xy}[n]=x[-n{]}^{*}*y[n]$	$R_{xy}(\omega )=X_{2\pi }(\omega {)}^{*}\cdot Y_{2\pi }(\omega )$
Парсевалова теорема	$E_{xy}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]\cdot y[n{]}^{*}$	$E_{xy}=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{X}_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega {)}^{*}d\omega$		Шаблон:Rp

Види још

• Вишедимензионална трансформација
• Зак трансформација

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book