Кронекер делта функција

У математици, Кронекер делта или Кронекерова делта, названа по Леополду Кронекеру (1823-1891), је функција две променљиве, обично два цела броја, која узима вредност 1 уколико су бројеви исти, а 0 у супротном. Тако, на пример, ${\delta }_{12}=0$, а ${\delta }_{33}=1$. Означава се као симбол δ_-{ij}-, и више се користи као нотацијска скраћеница, него као функција.

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}1,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$

Често се користи и нотација ${\delta }_i$.

${\delta }_i=\{\begin{array}{cc}1,& i=0\\ 0,& i\ne 0\end{array}$

Својства Кронекер делта функције

Кронекер делта функција поседује својство тзв. просејавања за $j\in \mathbb{Z}$, такво да је:

$\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\delta }_{ij}{a}_i=a_j.$

Ово својство је слично једном од главних својстава Диракове делта функције:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (x-y)f(x)dx=f(y),$

а, заправо, Диракова делта функција је и названа по Кронекер делта функцији због овог својства.

Кронекер делта функција се користи у многим областима математике. На пример, у линераној алгебри, јединична матрица се може писати као ${\delta }_{ij}$, док ако се посматра као тензор, Кронекер тензор, може се обележити као ${\delta }_i^j$ са контраваријантним индексом -{j}-.

Проширења Кронекер делта функције

На исти начин, можемо дефинисати аналогну, вишедимензионалну функцију више променљивих

${\delta }_{i_1{i}_2...i_n}^{j_1{j}_2...j_n}:=\prod _{k=1}^n{\delta }_{i_k{j}_k}.$

Ова функција узима вредност 1 ако и само ако сви горњи индекси имају исту вредност као одговарајући доњи, а 0 у супротном.