Поворка импулса

Поворка импулса као бесконачни ред Диракових делта функција на интервалима од T.

У математици поворка импусла (такође Дираков чешаљ и функција одабирања у електротехници) је периодична Шварцова расподела сачињена од Диракових делта функција.

${\mathrm{\Delta }}_T(t)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-kT)$

на неком одређеном интервалу времена T. Неки аутори, конкретно Брејсвел као и неки аутори уџбеника за електротехнику и теорију електричних кола, називају ову функцију Ш функцијом (могуће зато што график подсећа на облик слова Ш). Пошто је ова функција периодична, може да се представи Фуријеовим редом:

${\mathrm{\Delta }}_T(t)=\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i2\pi nt/T}.$

Особина скалирања

Особина скалирања следи директно из особине Диракове делта функције

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-kT)=|\alpha |\cdot \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\alpha \cdot (t-kT)).$

Фуријеов ред

Јасно је да је Δ_T(-{t}-) периодично са периодом T. То јест

${\mathrm{\Delta }}_T(t+T)={\mathrm{\Delta }}_T(t)\mathrm{\forall }t$.

Комплексни Фуријеов ред за такву периодичну функцију гласи

${\mathrm{\Delta }}_T(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{i2\pi nt/T}$

где Фуријеови коефицијенти, -{c}-_-{n}-, износе,

$c_n$	$=\frac{1}{T}\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\int }}{\mathrm{\Delta }}_T(t)e^{-i2\pi nt/T}dt(-\mathrm{\infty }<t_0<+\mathrm{\infty })$
	$=\frac{1}{T}\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}{\mathrm{\Delta }}_T(t)e^{-i2\pi nt/T}dt$
	$=\frac{1}{T}\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}\delta (t)e^{-i2\pi nt/T}dt$
	$=\frac{1}{T}{e}^{-i2\pi n0/T}$
	$=\frac{1}{T}.$

Сви Фуријеови коефицијенти су 1/T, због чега је

${\mathrm{\Delta }}_T(t)=\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i2\pi nt/T}$.

Фуријеова трансформација

Фуријеова трансформација поворке импулса је такође поворка импулса.

Јединична трансформација у фреквенцијски домен (-{Hz}-):

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-nT)\stackrel{ℱ}{⟺}\frac{1}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (f-\frac{k}{T})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-i2\pi fnT}$

Јединична трансформација у угаони фреквенцијски домен (-{rad/s}-):

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-nT)\stackrel{ℱ}{⟺}\frac{\sqrt{2\pi }}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\omega -k\frac{2\pi }{T})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-i\omega nT}$

Одабирање и преклапање

Множење континуалног сигнала поворком импулса понекад се назива идеални одабирач са интервалом одабирања T.

Када се користи као идеални одабирач, може да се употреби за разумевање ефекта преклапања (алијасинга) и као доказ за Никвист-Шенонова теорема одабирања.

Види још

• Поасонова формула сумирања

Литература

• -{Bracewell, R.N., The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2nd ed. 1978, revised 1986)}-