Инверзне хиперболичне функције

Funkcija -{artanh}-.

Инверзне хиперболичне функције су инверзи хиперболичних функција: -{sh}- x - синус хиперболични, -{ch}- x - косинус хиперболични, -{th}- x - тангенс хиперболични, -{cth}- - котангенс хиперболични. Називају се и ареа-фунције по латинској речи -{area}- - површина, јер представљају површину криволинијског троугла између темена хиперболе и исходишта координатног система (в. хиперболичне функције).

ареа-синус $\mathrm{arsh}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1}),-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty },$

ареа-косинус $\mathrm{arch}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1}),1<x<\mathrm{\infty },$

ареа-тангенс $\mathrm{arth}x=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x},-1<x<1,$

ареа-котангенс $\mathrm{arcth}x=\frac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1},x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,\mathrm{\infty }).$

Англосаксонске ознаке за хиперболични синус, косинус, тангенс и котангенс су: -{sinh, cosh, tanh, coth}- па се одговарајуће инверзне функције означавају -{arsinh, arcosh, artanh, arcoth}-. Због аналогија са тригонометријом, исте функције се понекад називају и аркус-функције, са суфиксом хиперболичне да би се разликовале од тригонометријских функција. Отуда скраћенице: -{arcsinh, arccosh, arctanh, arccoth}-. Ми их тада читамо аркус синус хиперболични, итд. Такође, инверзне функције означавају се уопште са индексом "-1", тако да имамо и следеће скраћенице: -{sinh}-^-1, -{cosh}-^-1, -{tanh}-^-1, -{coth}-^-1. Читали би их: синус хиперболични на минус прву, итд.

Изводи инверзиних хиперболичних функција су:

$(\mathrm{arsh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}},$

$(\mathrm{arch}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}},$

$(\mathrm{arth}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1-x^2},$

$(\mathrm{arcth}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2-1}.$

Инверзне хиперболичне функције се често јављају при интеграљењу рационалних функција и квадратних ирационалности.

У комплексној равни ове функције су вишезначне. Када се у њиховим формулама узму главне вредности логаритама добијају се једнозначне гране, тзв. главне вредности, које се пишу -{arsh z, arch z, arth z}-. Инверзне хиперболичне функције су везане с главним вредностима инверзних тригонометријских функција формулама:

$\mathrm{arsh}z=\frac{1}{i}\arcsin iz,$

$\mathrm{arch}z=i\arccos z,$

$\mathrm{arth}z=\frac{1}{i}\mathrm{arctg}iz,$

$\mathrm{arcth}z=i\mathrm{arctg}iz,i^2=-1.$

Види још

• Списак интеграла инверзних хиперболичних функција

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• Шаблон:Springer
• -{Inverse hyperbolic functions at MathWorld}-